1、考研数学二（二次型）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列矩阵中，正定矩阵是（A）（B）（C）（D）2 矩阵 A 合同于（A）（B）（C）（D）3 设 则 A 与 B（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D）不合同也不相似4 设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充要条件是（A）A，B 有相同的特征值（B） A，B 有相同的秩（C） A，B 有相同的行列式（D）A，B 有相同的正负惯性指数二、填空题5 二次型 f(1， 2， 3)(a 11a 22a 33)2 的矩阵是_6 二次型 f(1， 2， 3
2、) 222 13 的负惯性指数 q_7 若二次型 212 22 322 122t 23 的秩为 2，则 t_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 求正交变换化二次型 12 22 324 124 234 13 为标准形9 二次型 f(1， 2， 3)5 125 22c 322 126 236 13 的秩为 2，求 c 及此二次型的规范形，并写出相应的变换10 设 A 是凡阶实对称矩阵，若对任意的 n 维列向量 恒有 TA0，证明 A011 若 A 是 n 阶正定矩阵，证明 A-1，A *也是正定矩阵12 设 A 是 mn 实矩阵，r(A)n，证明 ATA 是正定矩阵13 设 A
3、是 n 阶正定矩阵，证明A2E2 n14 已知 A 是正定矩阵，证明 015 用配方法化下列次型为标准型 (1)f( 1， 2， 3) 122 222 122 132 23 (2)f(1， 2， 3) 12 13 2316 已知二次型 2123 223 322a 23(a0)可用正交变换化为 y122y 225y 32，求 a 和所作正交变换17 设二次型 f(1， 2， 3)X TAXa 122 222 322b 13，(b0)其中 A 的特征值之和为 1，特征值之积为12 (1)求 a，b (2)用正交变换化 f(1， 2， 3)为标准型18 已知二次型 f(1， 2， 3)(1a) 12
4、(1a) 222 322(1a) 12 的秩为 2 (1)求 a (2)求作正交变换 XQY，把 f(1， 2， 3)化为标准形 (3)求方程f(1， 2， 3)0 的解19 二次型 f(1， 2， 3)X TAX 在正交变换 XQY 下化为 10y124y 224y 32，Q的第 1 列为 (1)求 A (2)求一个满足要求的正交矩阵Q20 A 求作一个 3 阶可逆矩阵 P，使得 PTAP 是对角矩阵21 已知 3 是矩阵 A (1)求 y (2)求作可逆矩阵 P，使得(AP)TAP 是对角矩阵22 二次型 f(1， 2， 3) 12a 22 322 122 132 23 的正惯性指数为 2
5、，a应满足什么条件?23 设 A 是一个可逆实对称矩阵，记 Aij 是它的代数余子式二次型f(1， 2， n) ij (1)用矩阵乘积的形式写出此二次型 (2)f(1， 2， n)的规范形和 XTAX 的规范形是否相同?为什么?24 判断 A 与 B 是否合同，其中考研数学二（二次型）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 二次型2 【正确答案】 B【知识模块】 二次型3 【正确答案】 A【试题解析】 由EA 33 2，知矩阵 A 的特征值为 3，0，0 又因 A 是实对称矩阵，A 必能相似对角化，所以 AB 因为
6、 A，B 有相同的特征值，从而有相同的正、负惯性指数，所以 A B故应选 A【知识模块】 二次型4 【正确答案】 D【知识模块】 二次型二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 f( 1， 2， 3)a 1212a 2222a 32322a 1a2122a 1a3132a 2a323， 二次型矩阵 A【知识模块】 二次型6 【正确答案】 1【试题解析】 令() ： ，故()是坐标变换，那么经此变换二次型化为 fy 222(y 1y 3)(y1y 3)2y 12y 222y 32 所以负惯性指数 q1【知识模块】 二次型7 【正确答案】 【知识模块】 二次型三、解答题解答应写出文字说明、证明过程
7、或演算步骤。8 【正确答案】 二次型矩阵 A ，由特征多项式 EA (3)(3) 2， 得特征值为 1 23， 33 由(3EA) 0 得基础解系 1(1，1，0) T， 2(1，0，1) T，即 3 的特征向量是 1， 2 由(3EA)0 得基础解系 3(1，1，1) T 对 1， 2 经 Schmidt正交化，有 1 1， 2 2 单位化，得那么，令 Qy，其中Q( 1， 2， 3)，则有 f(1， 2， 3) TAy Ty3y 123y 223y 32【知识模块】 二次型9 【正确答案】 二次型矩阵 A ，由二次型的秩为 2，即矩阵A 的秩 r(A)2，则有 A 24(c3)0 得 c3
8、 用配方法求规范形和所作变换 f( 1， 2， 3)5 12 5223 322 126 136 23 3( 3 1 2)23( 1 2)25 125 22 212 3( 1 2 3)22 122 224 12 3( 1 2 3)22( 1 2)2 令 则 f(1， 2， 3)y 12y 22，为规范二次型 所作变换为【知识模块】 二次型10 【正确答案】 n 维向量 恒有 TA0，那么令 1(1，0，0，0) T，有 1TA1(1，0，0，0) a 110 类似地，令i(0，0，0，1，0，0) T(第 i 个分量为 1)，由 iTAi ii0 (i1，2，n) 令 12(1 ，1，0，0)
9、T，则有 12TA12(1，1，0，0)a 11a 222a 120 故 a120类似可知aij0(i ，j1，2，n)所以 A0【知识模块】 二次型11 【正确答案】 因 A 正定，所以 ATA那么(A -1)T(A T)-1A -1，即 A-1 是实对称矩阵 设 A 的特征值是 1， 2， n，那么 A-1 的特征值是 由A 正定知 i0(i1，2，n)因此 A-1 的特征值 0(i1，2，n)从而A-1 正定 A *AA -1，A0，则 A*也是实对称矩阵，并且特征值为都大于 0从而 A*正定【知识模块】 二次型12 【正确答案】 由(A TA)TA T(AT)T=ATA，知 ATA 是
10、实对称矩阵 又 r(A)n，a0，恒有 A0从而 T(ATA)(A) T(A)A 20 故 ATA 正定【知识模块】 二次型13 【正确答案】 设矩阵 A 的特征值是 1， 2， n因为 A 正定，故特征值i0(i 1，2，n) 又 A2E 的特征值是 12， 22， n2 所以 A2E ( 12)( 22)( n2) 2 n【知识模块】 二次型14 【正确答案】 令 C1 ，C 2 ，则 C 是可逆矩阵，且 CTACC 2TC1TAC1C2 则A B由于 A 正定，故 B 正定，从而 B 的顺序主子式 0【知识模块】 二次型15 【正确答案】 (1)f( 1， 2， 3) 122 222 1
11、22 132 23 122 122 13( 2 3)2( 2 3)22 222 23 ( 1 2 3)2 224 23 32 ( 1 2 3)2 224 234 325 32 ( 1 2 3)2( 22 3)25 32 令 原二次型化为 f(1， 2， 3)y 12y 225y 32 从上面的公式反解得变换公式： 变换矩阵 C(2)这个二次型没有平方项，先作一次变换 f(1， 2， 3)y 12y 222y 1y3 虽然所得新二次型还不是标准的，但是有平方项了，可以进行配方了： y 12y 222y 1y3(y 1y 3)2y 22y 32 则 f(1， 2， 3)z 12z 22z 32 变
12、换公式为 变换矩阵C【知识模块】 二次型16 【正确答案】 原二次型的矩阵 A 和化出二次型的矩阵 B 相似于是A B10而A2(9a 2)，得 a24，a2 A 和 B 的特征值相同，为 1，2， 5对这 3 个特征值求单位特征向量 对于特征值 1： AE 得(AE)X0 的同解方程组 得属于 1 的一个特征向量 1(0，1，1) T，单位化得1 对于特征值 2： A2E 得(A 2E)X0 的同解方程组 得属于 2 的一个单位特征向量2 (1，0，0) T 对于特征值 5： A5E 得(A 5E)X0 的同解方程组 得属于 5 的一个特征向量3(0，1，1) T 单位化得 3 令 Q( 1
13、， 2， 3)，则正交变换XQY,把原二次型化为 y122y 225y 32【知识模块】 二次型17 【正确答案】 (1)A 由条件知， A 的特征值之和为 1，即a2(2)1，得 a1 特征值之积12，即 A12，而 A2(2b 2) 得 b2(b0) 则 A (2)AEA (2) 2(3) ， 得 A 的特征值为 2(二重)和 3(一重 ) 对特征值 2 求两个单位正交的特征向量，即(A2E)X0 的非零解 A2E 得(A2E)X0 的同解方程组12 30，求出基础解系 1(0，1，0) T， 3(2，0，1) T它们正交，单位化：1 1， 2 求3 的一个单位特征向量： A3E(A3E)
14、X0 的同解方程组 得一个1(1，0， 2)T，单位化得 3 作正交矩阵 Q( 1， 2， 3)，则 Q TAQ 作正交变换 XQY 则它把 f 化为 Y 的二次型f2y 122y 223y 32【知识模块】 二次型18 【正确答案】 (1)此二次型的矩阵为 A 则 r(A)2，A0求得A8a，得 a0 A (2)EA (2) 2， 得 A 的特征值为2，2，0 对特征值 2 求两个正交的单位特征向量： A 2E 得(A2E)X0 的同解方程组 1 20，求出基础解系 1(0，0，1) T， 3(1，1，0) T它们正交，单位化： 1 1， 2求 0 的一个单位特征向量：A 得AX0 的同解方
15、程组 得一个解 1(1，1，0) T，单位化得 3作正交矩阵 Q( 1， 2， 3)，则 QTAQ 作正交变换 XQY，则 f 化为 Y 的二次型 f2y 122y 22 (3)f(X) 12 222 322 12( 1 2)22 32 于是 f(1， 2， 3)0 求得通解为：c ，c 任意【知识模块】 二次型19 【正确答案】 (1)Q 的第 1 列 1 是 A 的属于 10 的特征向量，其 倍 1(1，2，3) T 也是属于 10 的特征向量于是 A 的属于4 的特征向量和(1，2，3) T 正交，因此就是方程 12 23 30 的非零解求出此方程的一个正交基础解系 2(2，1，0) T
16、， 3(1，2， )T 建立矩阵方程A(1， 2， 3)(10 1，4 2，4 3)，用初等变换法解得 A (2)将 2， 3 单位化得 2 (2，1，0) T， 3 (3，6，5) T 则正交矩阵Q( 1， 2， 3)满足要求【知识模块】 二次型20 【正确答案】 f( 1， 2， 3)X TAX 124 222 324 124 23( 12 2)22 324 23 ( 12 2)22( 2 3)22 22 令 原二次型化为 f(1， 2， 3)y 122y 222y 32 从上面的公式反解得变换公式：变换矩阵 P 则 PTAP【知识模块】 二次型21 【正确答案】 (1)因为 3 是 A
17、的特征值，所以 A3E0求出A3E 8(2 )，于是 2 (2)(AP) TAP PTA2P因此，本题即要将 A2用合同变换化为对角矩阵 A 2 用配方法把对称矩阵 A2 所对应的二次型标准化： f( 1， 2， 3， 4)X TA2X 12 225 325 428 34 12 225 作变量替换则 f(1， 2， 3， 4)y 12y 225y 32 y42 即令【知识模块】 二次型22 【正确答案】 用其矩阵的特征值做f( 1， 2， 3)的矩阵为A 的特征值为 0 和 2(a2) 2a2的两个根于是 正惯性指数为 2 2(a2)2a 2的两个根都大于 0 (a2) 和 2a2 都大于 0
18、 于是得 a1【知识模块】 二次型23 【正确答案】 (1)由于 A 是实对称矩阵，它的代数余子式 AijA ji i，j 并且 A-1也是实对称矩阵，其(i，j)位的元素就是 AijA，于是 f(1， 2， n)X TA-1X (2)A -1 的特征值和 A 的特征值互为倒数关系，因此 A-1 和 A 的正的特征值的个数相等，负的特征值的个数也相等，于是它们的正，负惯性指数都相等，从而A-1 和 A 合同，f( 1， 2， n)和 XTAX 有相同的规范形【知识模块】 二次型24 【正确答案】 用惯性指数，看它们的正负惯性指数是否都一样B 的正惯性指数为 2，负惯性指数为 1A 的惯性指数可通过对二次型 XTAX 进行配方法化标准形来计算 X TAX 124 222 324 124 23 ( 12 2)22 324 23 ( 12 2)22( 3 2)2 22， 今 则 XTAXy 122y 222y 32， 于是 A 的正惯性指数也为 2，负惯性指数也为 1 A 与 B 合同【知识模块】 二次型
