1、考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 g(x) 则 gf(x)为（A）（B）（C）（D）2 设 f(x)是连续函数，F(x) 是 f(x)的原函数，则（A）当 f(x)是奇函数时， F(x)必是偶函数（B）当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数（C）当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数（D）当 f(x)是单调增函数时， F(x)必是单调增函数 3 设 f(x) ，则 fff(x)等于（A）0 （B） 1（C） （D）4 设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数， 表示“M 的充分必
2、要条件是 N”，则必有（A）F(x)是偶函数 f(x)是奇函数（B） F(x)是奇函数 f(x)是偶函数（C） F(x)是周期函数 f(x)是周期函数（D）F(x)是单调函数 (x)是单凋函数 5 设数列 xn 与 yn 满足 ，则下列断言正确的是（A）若 xn 发散，则 yn 必发散 （B）若 xn 无界，则 yn 必有界（C）若 xn 有界，则 yn 必为无穷小 （D）若 为无穷小，则 yn 必为无穷小 6 “对任意给定的 (0，1)，总存在正整数 N，当，nN 时，恒有x na2”是数列x n收敛于 a 的（A）允分条件但非必要条件 （B）必要条件但非充分条件（C）允分必要条件 （D）既
3、非充分条件又非必要条件 7 设a n，b n，c n均为非负数列，且，则必有（A）a nb n 对任意 n 成立 （B） bnc n 对任意 n 成立（C）极限 不存在 （D）极限 不存在8 设 j，yy(x) 是二阶常系数微分方程， ynpyqye 3x 满足初始条件 y(0)y(0)0 的特解，则当 x0 时，函数 的极限（A）不存在 （B）等于 1 （C）等于 2 （D）等于 3 9 若（A）0 （B） 6（C） 36（D）10 等于（A） 12ln2xdx（B） 212lnxdx（C） 212ln(1x)dx（D） 12ln2(1x)dx11 设函数 f(x)在(0，)内具有二阶导数，
4、且 f(x)0，令 unf(n)(n 1，2，)，则下列结论正确的是（A）若 u1u 2，则u n2必收敛 （B）若 u1u 2，则u n必发散（C）若 u1u 2，则u n必收敛 （D）若 u1u 2，则u n必发散 二、填空题12 。13 14 。15 16 17 18 已知函数 f(x)连续，且 ，则 f(0)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 求极限 。20 求 。21 求极限 。22 求极限23 求极限24 确定常数 a，b，c 的值，使 。25 已知函数 f(x)在(0， )内可导，f(x) 0， ，且满足，求 f(x)26 已知函数 ，设 ，试求 a 的取值
5、范围27 当 x0 时，1cosxcos2xcos3x 与 axn 为等价无穷小，求 n 与 a 的值28 设 f(x)是区间0，)上单调减少且非负的连续函数，证明数列a n)的极限存在29 。30 设 0x 13，x n1 (n1，2，)，证明数列x n的极限存在，并求此极限31 设数列x n满足 0x 1 ，x n1 sinx n(n1，2 ，)(1) 证明 存在，并求该极限；(2)计算考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 详解gf(x)故应选(D)【知识模块】 函数、极
6、限、连续2 【正确答案】 A【试题解析】 分析 本题涉及原函数的基本特性，由于原函数有无穷多个，如何表示它是问题的关键实际上，只要找出一个原函数，则所有的原函数就可表示出来，而 F(x) 0xf(t)dt 正好就是所需要的一个原函数详解f(x)的原函数 F(x)可以表示为 F(x) 0xf(t)dtC，于是当 f(x)为奇函数时，f(u)f(u) ，从而有 即 F(x)为偶函数， 故应选(A) 至于选项 (B)、(C) 、(D)，可分别举反例如下：f(x)x 2 是偶函数，但其原函数 F(x) ，不是奇函数，可排除 (B)；f(x)cos 2x 是周期函数，但其原函数 F(x) 不是周期函数，
7、可排除 (C)；f(x) x 在区间(， )内是单调增函数，但其原函数 在区间( ，)内非单调增函数，可排除(D) 评注 1 有些考生将原函数写成形如：F(x) 0af(t)dtC ，结果在推导 F(x)F(x)时遇到困难，因此特殊形式的原函数 0xf(t)dt 是值得注意的评注 2 函数的基本性质有：奇偶性、周期性、单凋性和有界性，当 f(x)具有某性质时，F(x)是否也具有相应的性质 ?或反过来考虑，当 F(x)具有某性质时，f(x)是否也具有相应的性质?本题也可变形为考虑 f(x)与 f(x)(或 f(x)与 f(x)的性质之间的关系，对于常见的结论与反例应做到心中有数【知识模块】 函数
8、、极限、连续3 【正确答案】 B【试题解析】 由于f(x)1，于是 f(x)1，故 fff(x)1，故应选(B)【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 A【试题解析】 分析 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案详解 1 任一原函数可表示为 F(x) 0xf(t)dtC ，且 F(x)f(x)当 F(x)为偶函数时，有 F(x) F(x)，于是 F(x).(1)F(x)，即f(x)f(x)，也即f(x)f(x)，可见 f(x)为奇函数；反过来，若 f(x)为奇函数，则 0xf(t)dt 为偶函数，从而 F(x) 0xf(t)dtC 为偶函数，故选(A) 详解 2 令
9、 f(x)=1，则取 F(x)=x+1，可排除(B) ，(C)；令 f(x)=x，则取 ，可排除 (D)，故应选(A)【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 D【试题解析】 分析 通过举反例用排除法或直接推导详解 1 举反例：取yn 0，可排除(A) ；取 可排除(B)；若取xn 0，则 yn 可为任意数列，可排除 (C)故应选(D)详解 2 若 为无穷小，则，必为无穷小，故应选(D)【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 C【试题解析】 分析 本题考查对数列收敛性定义的理解，注意到 2 仍是可任意小的正数，因此上述条件也是数列收敛的充要条件当然也可严格推导出它与标准定义是等价
10、的 详解 由数列x n收敛于 a “对任意给定的 10，总存在正整数N1，当 nN1 时，恒有x na 1”，显然可推导出： “对任意给定的 (0，1)，总存在正整数 N，当 nN 时，恒有x 2na2” 反过来，若有“对任意给定的(0，1)，总存在正整数 N，当 nN 时，恒有x na2”，则对任意的1 0(不妨设 0 11，当 11 时，取 ，代替即可)。取，存在正整数 N，当 nN 时，恒有 xna2 ，令N1N1，则满足“对任意给定的 10，总存在正整数 N1，当 nN 1 时，恒有x na 1”可见上述两种说法是等价的，故应选(C) 评注 在复习过程中，对基本概念要理解透彻，而不仅仅
11、在于是否记住本题若真正理解了数列极限的概念，并注意到 2 仍是可任意小的正数，则可立即得到正确选项【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 D【试题解析】 详解 1 本题考查极限的概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A) ，(B)；而极限 是“0.” 型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限 属“1.”型，必为无穷大量，即不存在故应选(D)详解 2 用举反例法，取 ，b n1 (n12)，则可立即排除(A) ，(B)，(C)，故应选(D)【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 C【试题解析】 分析 本题为 型未定式的极限，可用洛必塔法则或用泰勒展开式
12、详解 1 根据题设，有 y“(0)py(0)qy(0)1y“(0)1 于是利用洛必塔法则，有故应选(C)详解 2 利用泰勒公式，有于是，故应选(C)【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 C【试题解析】 分析 本题已知某函数的极限，推求另一相关函数的极限，基本方法有：无穷小量的等价代换、洛必塔法则和泰勒展开其中用洛必塔法则时，应注意分子、分母求导以后的极限必须存在，本题 f(x)未知是否可导，不能用洛必塔法则，泰勒展开的阶数一般可由分母的幂次来确定，本题可将 sin6x 展开到 x3。即可详解 1 因为 所以有可见详解 2 本题也可这样求解：因为所以评注 注意若采用下述方法求解：从而选
13、择(A) 是错误的，这相当于用错了四则运算公式或是无穷小量的等价代换的思想【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 B【试题解析】 分析 将原极限变形，使其对应一函数在一区间上的积分和式作变换后求解详解故应选(B)评注 此题是将无穷和式的极限化为定积分的题型，值得注意的是化为定积分后还必须作一变换，才能化为四选项之一【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 D【试题解析】 分析 利用反例通过排除法进行讨论 详解 设 f(x)x 2，则 f(x)在(0， )上具有二阶导数，且 f“(x)0，u 1u 2，但 unn 2发散，排除(C)；设f(x) ，则 f(x)在(0，)上具有二
14、阶导数，且 f“(x)0，u 1“2u 2，但u n收敛，排除(B)；设 f(x)lnx ，则 f(x)在(0 ，)上具有二阶导数，且 f“(x)0，u 1u 2，但(u n)lnn)发散，排除(A)故应选(D)【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题12 【正确答案】 应填【试题解析】 分析 本题为 型未定式，可直接用洛必塔法则求解详解 1详解 2 考虑到分母为 x2，利用泰勒公式将分子 展开到 x 的二次幂。有评注 一般地，当分母(或分子) 为 xn 时，可考虑将分子(或分母)用泰勒公式展开到 xn 进行计算，这样往往比较简便【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 应填【试题解析
15、】 分析 结合无穷小量等价代换和洛必塔法则进行计算即可详解。【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 应填 。【试题解析】 分析 本题为求极限的常规题，注意到分子部分含有根式，应先有理化再求极限详解。【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 应填【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 应填 。【试题解析】 分析 是未定式“1 ”型，属基础题型详解。【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 应填 。【试题解析】 详解 属于“1 ”未定式评注若 lim f(x)1，lim g(x) ，则 lim f(x)g(x)(“1”型)e limg(x)f(x)
16、1 【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 应填 2【试题解析】 详解 由知 f(0)2【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 分子分母同除以 x，考虑到 x 为负，有【试题解析】 本题为 型未定式，可考虑分子分母同除以最大的项，但应注意 x 为负【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 【试题解析】 分析 含有根式函数的极限问题，一般应先有理化，然后再用四则运算、无穷小量等价代换以及洛必塔法则等求极限评注 在利用洛必塔法则求极限之前，应尽量通过无穷小量的等价代换进行简化，另外非零因子项的极限要先计算出来，不要再放在
17、分子、分母的求导过程中比如，本题有理化后，应先将项的极限求出，再用洛必塔法则去求导，这样就简便多了【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 详解 1。详解 2。【试题解析】 此极限属于 型未定式可利用洛必塔法则，并结合无穷小代换求解【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 利用无穷小量的等价代换以及洛必塔法则，有【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 【试题解析】 利用无穷小量替换及洛必塔法则【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 因 ，而原极限c0，得知 b0所以 a1原极限 即 a1，b0， 【试题解析】 一般情况下，若 limf(x)0， ，则 lim
18、g(x)0【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 由有 ，两边积分得 f(x) ，又由知，C1故 f(x) 【试题解析】 本题为“1 ”型未定式，利用公式 limf(x)g(x)f(x)1 lime g(x)f(x)1 求极限即可【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 欲使 ，用洛必塔法则，只需，所以 2a1，即 a3欲使，用洛必塔法则，只需所以a1故 a 的取值范围为 1a3【试题解析】 本题是极限的反问题，利用洛必塔法则求解【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 详解 1 当 x0 时，1COSrcos2xcos3x 与 axn 为等价无穷小，由三角函数的积化
19、和差公式以及洛必塔法则得故 n2，a 7详解 2 当 x0 时，由泰勒公式于是cos3ccos2x ，cosxcos2xcos3x17x 2o(x 2)因此1cosxcos2xcos3ax7x 2o(x 2)，即当 x0 时，1cosxcos2xcos3x 与 7x2 为等价无穷小量，故 n2，a 7【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 由题设可得 f(k1) kk1 f(x)dxf(k)(k1，2，) ，因此有an1 a nf(n1) nn1 f(x)dx0，即数列a n单调下降又即数列a n)有下界故由单调有界数列必有极限的准则知，数列a n的极限存在【试题解析】 分析 证明抽
20、象数列a n的极限存在，一般用单调有界数列必有极限定理来判断因此只需证明a n)足单调(增加或减少 )且有界(上界或下界)即可评注 本题的证明过程中，用到了，这种处理技巧值得注意【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 应填 。【试题解析】 分析 利用定积分的定义计算即可详解 由定积分的定义，知【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 先用归纳法证明x n有上界：首先，由 0x 13 得又设，则有再证x n单调增加：由有xn1 xn由单调有界准则知， 存在 在递推公式 xn1 两边取极限，得 ，解得 ，a0(不合题意)【试题解析】 利用单调有界数列必有极限，先证明极限存在，再求极限【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 (1)因为 0x 1 ，则 0x 2sinx 11 可推得0x n1 sinx n1 ，n1，2，则数列x n有界 于是 (因为当 x0 时，sinxx)，则有 xn1 x n，可见数列x n单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知，极限 存在 设，在 xn1 1sinx n 两边令 n ，得 sin，解得 0，即(2)因 ，由(1)知该极限为“1 ”型，令 tx n，则 n，t0，而又故【试题解析】 题设数列由递推公式给出，一般利用单调有界数列必有极限的准则来证明数【知识模块】 函数、极限、连续
