1、考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (87 年 )f(x)=|xsinx|ecosa(一 x+) 是 （A）有界函数（B）单调函数（C）周期函数（D）偶函数 2 (87 年 )函数 f(x)=xsinx（A）当 x时为无穷大（B）在 (一，+)内有界（C）在 (一，+)内无界（D）当 x时有有限极限 3 (90 年 )已知 =0，其中 a，b 是常数则（A）a=1 ，b=1（B） a=一 1，b=1（C） a=1，b=-1（D）a= 一 1，b=-1 4 (92 年 )设 f(x)= 则5 (92 年
2、 )当 x1 时，函数 的极限（A）等于 2（B）等于 0（C）为 （D）不存在但不为6 (93 年 )当 x0 时，变量 是（A）无穷小。（B）无穷大。（C）有界的，但不是无穷小的，（D）无界的，但不是无穷大7 (95 年 )设 f(x)和 (x)在(一+)上有定义，f(x)为连续函数，且 f(x)0，(x)有间断点，则（A）f(x)必有间断点。（B） (x)2 必有间断点（C） f(x)必有间断点（D） 必有间断点8 (97 年 )设 x0 时e tanx 一 ex 与 xn 是同阶无穷小，则 n 为（A）1（B） 2（C） 3（D）49 (97 年 )设 g(x)= 则 gf(x)为10
3、 (98 年) 设数列 xn 与 yn 满足 则下列断言正确的是（A）若 xn 发散，则 yn 必发散（B）若 xn 无界则 yn 必无界（C）若 xn 有界则 yn 必为无穷小（D）若 为无穷小，则 yn 必为无穷小11 (99 年)“ 对任意给定 (0，1)总存在正整数 N，当 nN 时，恒有|x n-a|2”，是数列x n收敛于 a 的（A）充分条件但非必要条件（B）必要条件但非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件又非必要条件12 (00 年) 设函数 f(x)= 在(一 ，+)内连续，且 则常数 a,b 满足（A）a0.b 0（B） a0，b0（C） a0，b0（D）a0,b
4、013 (01 年) 设 则 fff(x)等于（A）0（B） 1（C）（D）14 (01 年) 设当 x0 时,(1 一 cosx)ln(1+x2)是比 xsinxn 高阶的无穷小而 xsinxn 是比高阶的无穷小则正整数 n 等于（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题15 (87 年)16 (88 年) 设 f(x)= 在(一 ，+)内连续，则 a=_17 (89 年)18 (89 年) 设 f(x)= 在 x=0 处连续，则常数 a 与 b 应满足的关系是_19 (90 年) 设函数 f(x)= 则函数 ff(x)=_20 (91 年)21 (92 年) 求22 (94 年) 若
5、f(x)= 在(-， +)上连续，则 a=_23 (95 年)24 (97 年) 已知 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a=_25 (01 年)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。26 (88 年) 设 f(x)= f(x)=1 一 x，且 (x)0求 (x)及其定义域27 (89 年) 求28 (90 年) 已知 ，求常数 a29 (93 年) 求30 (95 年) 求31 (96 年)32 (96 年) 设函数 f(x)= (1)写出 f(x)的反函数 g(x)的表达式；(2)g(x)是否有间断点、不可导点，若有，指出这些点33 (97 年) 求极限34 (98 年) 求
6、函数 在区间(02)内的间断点，并判断其类型35 (01 年) 求极限 记此极限为 f(x)求函数 f(x)的间断点并指出其类型考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于 f(一 x)=|xsin(一 x)|ecos(-x)=|xsinx|ecosx=f(x)，则 f(x)为偶函数【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(2k)=2knsin(2k)=0 则 f(x)在(一，+)内无界，但 x时，f(x)不是无穷大，也没有有限极限则应选(C)【
7、知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 C【试题解析】 1-a=0，a+b=0 ，则 a=1，b=一 1【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 D【试题解析】 则极限不存在，但不是【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 D【试题解析】 取 f(xn)=(n)2sin(n)=0则当 x0 时，是无界的，但不是无穷大【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 D【试题解析】 排除法：举反例 f(x)1，(x)= f(x)1，处处连续，不能选(A);(x) 21，处处连续，不能选(B)；f(x)1，处处连续，不
8、能选(C)则应选 (D)【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 C【试题解析】 由于 则应选(C)【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 D【试题解析】 当 x0 时，f(x)=x 20，则 gf(x)=f(x)+2=x2+2；当 x0 时，f(x)=一 x0，则 gf(x)=2 一 f(x)=2 一(一 x)=2+x;故 gf(x)= 故应选(D)【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 D【试题解析】 排除法 若取 xn=n, 则显然(A)不正确；若取 xn=n,yn0则显然(B)不正确；若取 xn0。y n=n，则显然(C) 不正确故只有 (D)正确【知识模块】
9、函数、极限、连续11 【正确答案】 C【试题解析】 由数列极限的“”定义可知本题中 “对任意给定 (0，1)，总存在正整数 N，当 nN 时，恒有|x n 一 a|2”与原定义等价，故应选 (C)【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 D【试题解析】 由 可知，b0，又 f(x)在(一 ，+) 上连续,则a0所以应选(D)【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 B【试题解析】 先求 ff(x)由于当 x1 时 f(x)=1，从而 ff(x)=1当 x1 时，f(x)=0 ，则 ff(x)=1因此 ff(x)=1显然 fff(x)=1【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确
10、答案】 B【试题解析】 当 x0 时1 一 cosx ln(1+x2)x 2，sinx nx n, -1x 2，则，当 x0 时(1 一 cosx)ln(1+x2) xsinxnx n+1, 一 1x 2 由于当 x0 时，(1 一cosx)ln(1+x2)是比 xsinxn 高阶的无穷小，则 4n+1；又 当 x0 时，xsinx n 是比高阶的无穷小，则 n+12故 n+1=3，即 n=2【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题15 【正确答案】 e -3【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 1【试题解析】 f(00)= (2x+a)=af(0+0)= (sinx
11、+cosx)=1要使 f(x)在(一+)上连续，只需 a=1=f(0)=a，即 a=1【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 【试题解析】 由于【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 a=b【试题解析】 由于 f(0+0)= ，f(0)=a要使f(x)在 x=0 连续，则应有 f(0+0)=f(00)=f(0)，即 a=b【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 1【试题解析】 由 f(x)= 知，对一切的 x，|f(x)1，则 ff(x)=1【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 一 1【试题解析】 由于【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】
12、【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 一 2【试题解析】 由于 =2+2a，又 f(0)=a要使 f(x)在(一，+)上连续，只要 2+2a=a，即 a=一 2【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 【试题解析】 由夹逼原理可知：原式=【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 【试题解析】 将分子有理化,分母分解因式得【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。26 【正确答案】 由 f(x)= 又 (x)0则 (x)=,x0【知识模块】 函数、极限、
13、连续27 【正确答案】 则原式=e 2【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 由和差化积公式得【知识模块】 函数、极限、连续32 【正确答案】 (1) (2)g(x)处处连续，没有间断点；g(x)不可导的点是 x=0 及 x=一 1【知识模块】 函数、极限、连续33 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续34 【正确答案】 f(x)在(0，2)上的间断点为则 x= 为第二类间断点，而 为可去间断点.【知识模块】 函数、极限、连续35 【正确答案】 由于由于 则 x=0 为 f(x)的可去间断点，x=k(k=1，2，)为 f(x)的第二类间断点【知识模块】 函数、极限、连续
