1、考研数学二（向量）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 n 维向量组 1,2 m(3mn)线性无关的充分必要条件是( )（A）存在一组不全为零的数 k1，k 2，k m，使 k11+k22+kmm0（B） 1,2 m 中任意两个向量都线性无关（C） 1,2 m 中存在一个向量，它不能由其余向量线性表示（D） 1,2 m 中任何一个向量都不能由其余向量线性表示2 已知向量组 1,2,3,4 线性无关，则向量组 ( )（A） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1 线性无关（B） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1 线性无关（C
2、） 1+2， 2+3， 3+4， 4 一 1 线性无关（D） 1+2， 2+3， 3 一 4， 4 一 1 线性无关3 设向量组 1,2,3，线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )（A） 1+2， 2+3， 3 一 1?（B） 1+2， 2+3， 1+22+3（C） 1+22，2 2+33，3 3+1（D） 1+2+3，2 1-32+3，4 1 一 2+33?4 设 1,2 s 均为 n 维列向量，下列结论不正确的是( )（A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2， ks，都有 k11+k22+kss0，则 1,2 s 线性无关（B）若 1,2 s 线性相关，则对任意一组不全为零的数
3、k1，k 2，k s，有k11+k22+kss=0（C） 1,2 s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s（D） 1,2 s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关5 设向量组 1,2,3 线性无关，向量 1 可由向量组 1,2,3 线性表示，而向量 2 不能由 1,2,3 线性表示，则对于任意常数 k，必有( )（A） 1,2,3，k 1+2 线性无关（B） 1,2,3，k 1+2 线性相关（C） 1,2,3， 1+k2 线性无关（D） 1,2,3， 1+k2 线性相关6 设向量组 I： 1,2 r 可由向量组： 12 s 线性表示，则( )（A）当 rs 时，向量组必线性相关（
4、B）当 rs 时，向量组必线性相关（C）当 rs 时，向量组 I 必线性相关（D）当 rs 时，向量组 I 必线性相关7 设 A，B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有( )（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关8 设 1,2 s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是( )（A）若 1,2 s 线性相关，则 A1，A 2， As 线性相关（B）若 1,2 s 线性相关，则 A1，A 2，A s
5、 线性无关（C）若 1,2 s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关（D）若 1,2 s 线性无关，则 A1，A 2， As 线性无关9 设 A 为 mn 矩阵，且 r(A)=m，则( )（A）A 的行向量组和列向量组都线性无关（B） A 的行向量组线性无关，列向量组线性相关（C）当 mn 时，A 的行向量组线性无关，列向量组线性相关（D）当 mn 时，A 的行向量组和列向量组都线性无关10 若向量 ，, 线性无关，向量组 ， ， 线性相关，则( )（A） 必可由 ， 线性表出（B） 必不可由 ， ， 线性表出（C） 必可由 ， 线性表出（D） 必不可由 ， ， 线性表出11 设向量
6、可由向量组 1,2 m 线性表示，但不能由向量组 (I)： 1,2 m-1线性表示，记向量组 ()： 1， 2， m-1，则( )（A） m 不能由 (I)线性表示，也不能由()线性表示（B） m 不能由(I)线性表示，但可由()线性表示（C） m 可由(I)线性表示，也可由()线性表示（D） m 可由 (I)线性表示，但不可由()线性表示二、填空题12 设 3 阶矩阵 已知 A与 线性相关，则a=_13 已知向量组 1=(a，0，c)， 2=(b，c，0)， 3=(0，a ，b)线性无关，则 a，b，c 必满足的关系式_14 若向量组 1=(1，3，4，一 2)T， 2=(2，1，3，t)
7、T， 3=(3，一 1，2，0) T 线性相关，则 t=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知向量组 1,2 s(s2)线性无关， 设 1=1+2， 2=2+3， s-1=s-1+s， s=s+1试讨论向量组 12 s 的线性相关性16 设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，其中 nm，E 是 n 阶单位矩阵，若AB=E，证明 B 的列向量组线性无关17 设 A 为 n 阶矩阵， 为 n 维列向量，若存在正整数 m，使得 Am-10，A m=0(规定 A0 为单位矩阵)，证明向量组 ，A，A m-1线性无关18 设 1,2 n 是 n 维向量组，证明 1,2 n
8、线性无关的充分必要条件是任何一个 n 维向量都可被它们线性表示19 设向量组 1， 2， m(m1)线性无关，且 =1+2+ m，证明： 一 1一 2， ， 一 m 线性无关20 设 A 是 n 阶矩阵， 1,2,3 是 n 维列向量，且10，A 1=1，A 2=1+2，A 2=1+2，试证 1,2,3 线性无关21 设 n 维列向量组 1,2 s 线性无关，A 是 mn 矩阵，且 r(A)=n，则向量组As，A 2，A s 线性无关22 已知 =(1，4，0，2) T， =(2，7，1，3) T，=(0，1，一 1，)T， =(3，10，b，4) T，问(1)a，b 取何值时， 不能由 1,
9、2,3 线性表出?(2)a，b 取何值时， 可由 1,2,3 线性表出?并写出此表示式23 已知向量组 1=(1，0，2，3) T， 2=(1，1，3，5) T， 3=(1，一 1，1+2，1)T， 4=(1，2，4，a+8)=(1，1，6+3 ，5) T问：(1)a，b 为何值时， 不能由1,2,3,4 线性表示； (2)a，b 为何值时， 可由 1,2,3,4 唯一线性表示；(3)a，b为何值时， 可由 1,2,3,4 线性表示，且表示式不唯一，并写出表示式24 设向量组 1=(1，1，1，3) T， 2=(一 1，一 3，5，1) T， 3=(3，2，一 1，p+2)T， 4=(一 2，
10、一 6，10，p) T，(1)p 为何值时，该向量组线性无关? 并在此时将=(4， l，6， 10)T 用 1,2,3,425 设 4 维向量组 1=(1+a，1，1，1) T， 2=(2，2+a，2，2) T， 3=(3，3，3+a ，3)T， 4=(4，4，4，4+a) T，问 a 为何值时， 1,2,3,4 线性相关?当 1,2,3,4 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示考研数学二（向量）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查向量组线性无关的概念若只有当 k1
11、=k2=km=0 时，有k11+k22+kmm=0其等价的说法是向量组 1,2 m 中任意一个向量都不能用其余的向量线性表出因为 1,2 m 线性相关的充分必要条件是“向量组中至少存在一个向量可用其余的向量线性表示”，而与这个条件对立的是“1,2 m 中任意一个向量都不能用其余的向量线性表示”，故选 D【知识模块】 向量2 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查向量组线性相关与线性无关的概念可以用观察的方法排除错误选项，也可以用分析法证明正确选项由于( 1+2)一( 2+3)+(3+4)一(4+1)=0，所以选项 A 不正确由于( 1 一 2)+(2 一 3)+(3 一 4)+(4 一 1)=
12、0，所以选项 B 不正确由于( 1+2)一( 2+3)+(3 一 4)+(4 一 1)=0，所以选项 D 不正确由排除法知选项 C 正确，事实上，若设有数 k1,k2,k3,k4，使 k1(1+2)+k2(2+3)+k3(3+4)+k4(4 一 1)=0，即(k 1 一 k4)1+(k1+k2)2+(k2+k3)3+(k3+k4)4=0由于向量组 1,2,3,4 线性无关，从而 于是 k1=k2=k3=k4=0，所以向量组 1+2， 2+3， 3+4， 4 一 1 线性无关故应选 C本题也可以这样分析首先有如下命题：设向量组 1,2,3,4 线性无关，向量组 1， 2， 3， 4 可由向量组
13、1,2,3,4 线性表示，且( 1， 2， 3， 4)=(1,2,3,4)C，则向量组1， 2， 3， 4 线性无关的充分必要条件是C0证明：若向量组1， 2， 3， 4 线性无关，则 4=r(1， 2， 3， 4)=r(1,2,3,4)Cr(C)，于是r(C)=4矩阵 C 可逆，C0反之，若C0，矩阵 C 可逆，则有(1， 2， 3， 4)C 一=( 1,2,3,4)，于是 4=r( 1,2,3,4)=r(1， 2， 3， 4)C 一r(1， 2， 3， 4)，故 r(1， 2， 3， 4)=4，向量组 1， 2， 3， 4 线性无关。利用上述命题可以很快进行判断，由于所以选项 C的向量组线
14、性无关，选项 D 的向量组线性相关【知识模块】 向量3 【正确答案】 C【试题解析】 本题与前题类似，容易观察的可用观察法判断，不易观察的可用前一题中的命题来判断，也可用特殊值法判定由于 ( 2+3)一( 1+2)=3 一1， (1+2)+(2+3)=1+22+3，所以选项 A、B 中的向量组均线性相关，由于所以选项 C 中的向量组线性无关，而 且所以选项 D 中的向量线性相关故选 C本题也可用特殊值法令则选项 A、B、C、D 的向量组可依次合成如下矩阵：这 4 个矩阵的行列式值依次是0，0，12，0，因此 C 组向量线性无关【知识模块】 向量4 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查向量组线
15、性相关、线性无关的概念及其等价命题由向量组线性相关的定义知，向量组 1,2 s 线性相关 存在一组不全为零的数k1，k 2，k s，使 k11+k22+kss=0，这里要求的是“存在”，不是“任意”，故B 选项的结论不正确应选 B向量组 1,2 s 线性无关 方程组x11+x22+xss=0 只有零解 矩阵的秩 r(1,2 s)=s所以 C 的结论正确，不应选向量组 1,2 s 线性无关 方程组 x11+x22+xss=0 只有零解对于任意一组不全为零的数 k1，k 2，k s，都有 k11+k22+kss=0，所以A 的结论正确，不应选由于线性无关向量组的任意部分组必线性无关，所以 D的结论
16、正确不应选【知识模块】 向量5 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查向量组线性相关与线性无关的概念及相关定理由于1,2,3 线性无关，若 1,2,3，k 1+2 线性相关，则 k1+2 可由 1,2,3 线性表示，而 k1 可由 1,2,3 线性表示，从而 2 可由 1,2,3 线性表示，与题设矛盾 因此1,2,3，k 1+2 线性无关，选项 A 正确，选项 B 不正确 当 k=0 时，选项 C 不正确当 k=1 时，选项 D 不正确【知识模块】 向量6 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查一组向量能由另一组向量线性表示与它们秩的关系要求考生掌握若向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则
17、r(A)r(B)；向量组 1,2 r，线性相关 r(1,2 r)r向量组 I 的秩记为 r(I)，的秩记为 r()由于向量组 I 可由向量组线性表示，所以 r(I)r()s，若 rs ，则有 r(I)sr，故此时向量组 I 必线性相关故应选 D也可用下述方法否定 A、B、C令向量组I、分别为 I：(1，0，0)，(0，1，0)：(1，0，0)，(0，1，0)，(0 ，0，1)显然，向量组 I 可由向量组线性表示，且此时 r=2s=3，但向量组 I、均线性无关，故排除选项 A、C令向量组 I、分别为 I：(1，0，0)，(2，0， 0) ：(1，0，0)显然，向量组 I 可由向量组线性表示，且此
18、时r=2s=1 ，但向量组线性无关，故排除选项 B【知识模块】 向量7 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查矩阵的秩及其矩阵行、列向量组的线性相关性注意向量组 1,2 r 线性相关的充分必要条件是方程组 x11+x22+xrr=0 有非零解，若令矩阵 A=(1,2 r)，则矩阵 A 的列向量组线性相关的充分必要条件 Ax=0有非零解本题的 4 个选项的差别在于行与列，所以应从已知条件出发进行分析，若举反例，则更容易找出正确选项设 A 为 mn 矩阵，B 为 np 矩阵，当 AB=O时，有 r(A)+r(B)n，又 A，B 为非零矩阵，则必有 r(A)0，r(B)0，可见 r(A)n，r(B)
19、 n，即 A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关故选 A注：本题也可以用齐次线性方程组有非零解考虑正确选项由于 AB=O，则矩阵 B 的每一列向量均为方程组 Ax=0 的解，而 BO，于是方程组 Ax=0 有非零解，所以矩阵 A 的列向量组线性相关又 BTAT=O，而 ATO，于是方程组 BTx=0 有非零解，所以 BT 的列向量组，也即 B 的行向量组线性相关，选项 A 正确本题还可以用取特殊值法：如若取 A=(1，0)， ，易知 AB=O，且有 A 的行向量组线性无关，B 的列向量组也线性无关即选项 B、C、D 均不正确【知识模块】 向量8 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查矩
20、阵的乘法和向量组线性相关性 可用定义分析：11+22+ ss=0 中，若存在 1， 2， s 是一组不全为零数时，向量组1,2 s 是线性相关的；若只有当 1,2 s 都为零数时，向量组 1,2 s是线性无关的也可用向量组的秩分析：向量组线性相关的充分必要条件是其秩小于向量组中向量的个数 若 1,2 s 线性相关，则存在不全为零的数k1,k2,，k s，使 k11+k22+kss=0，在等式的两端左乘矩阵 A 得k1A1+k2A2+ksAs=A(k11+k22+kss)=A0=0由于 k1,k2,，k s 不全为零，故 A1,A2A s 线性相关 所以 A 选项正确， B 不正确设 1,2 s
21、线性无关，若 m=n，且 A=E，则 A1，A 2，A s 线性无关 所以 C 不正确若 A=O，则 A1，A 2，A s 线性相关所以 D 不正确故选 A本题也可以用秩分析 由于(A 1，A 2，A s)=A(1,2 s)，所以r(A1，A 2， ，A s)=rA(1,2 s)r(1,2 s)若 1,2 s 线性相关，则 r(1,2 s)s于是 r(A1，A 2，A s)s故 A1，A 2，A s 线性相关故选项 A 正确【知识模块】 向量9 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查矩阵的秩与其行秩和列秩的关系，并用其秩来判定向量组的线性相关性由 r(A)=A 的行秩=A 的列秩，因此由 r(
22、A)=m，可得 A 的行向量组线性无关，而无法判断 A 的列向量组的线性相关性，所以 A、B 不正确，而当mn 时，A 的 n 个列向量都是 m 维的，所以这 n 个 m 维的列向量必线性相关，故排除 D 选项，从而只能选 C【知识模块】 向量10 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查向量组的线性相关性和线性表示的概念要求考生掌握线性无关的向量组的任何部分组都线性无关；若向量组 1,2 m 线性无关，而1,2 m， 线性相关，则 能由 1,2 m 线性表示，而且表示法是唯一的 由于向量组 ， 线性无关，所以 ， 线性无关，又 ， ， 线性相关，知向量 可由 ， 线性表示，所以 也可由 ， 线
23、性表示，故选项 C 正确，D 不正确 选项 A、B 均不正确，例如，令 =(1，0，0) T，=(0，1，0)T，=(0，0， 1)T，=(0，2，0) T，显然， ， 线性无关， 线性相关，但 不能由 ， ， 线性表示 而 可由 ， ， 线性表示【知识模块】 向量11 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查向量组的线性表示的概念若向量 m 可由(I) 线性表示，则 可由(I) 线性表示，与题设矛盾，故 m 不能由(I)线性表示，排除选项 C 与 D又向量 可由向量组 1,2 m 线性表示，故存在数 k1，k 2，k m，使得k11+k22+kmm=，而 不能由 1,2 m-1 线性表示，所以
24、 km0，从而即 m 可由()线性表示故选项 B 正确注：本题解题的关键是 可由 1,2 m 线性表示，但不能由前 m 一 1 个向量1,2 m-1 线性表示，可知 km0，于是可得 m 能由 1,2 m-1， 线性表示【知识模块】 向量二、填空题12 【正确答案】 一 1【试题解析】 本题考查向量组线性相关的概念与判定两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例由于 线性相关的充要条件是对应坐标成比例，即 故应填一 1【知识模块】 向量13 【正确答案】 abc0【试题解析】 本题考查向量组线性无关的概念与判定3 个 3 维向量线性无关的充分必要条件是由它们排成的行列式不为 0由于 1,2
25、,3 线性无关，所以，故应填 abc0【知识模块】 向量14 【正确答案】 一 1【试题解析】 本题考查向量组线性相关的概念，可以用线性相关的定义判定，也可用向量组的秩判定对矩阵 A=(1,2,3)施行初等行变换，得由于 1,2,3 线性相关，所以 r(A)3从而 t+1=0，即 t=一 1故应填一 1【知识模块】 向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 若有一组数 x1，x 2，x s，使得 x11+x22+xss=0，则x1(1+2)+x2(2+3)+xs(s+1)=0，即(x 1+xs)1+(x1+x2)2+(xs-1+xs)s=0，由于1,2 s 线性
26、无关，所以 方程组的系数行列式为当 s 为奇数时， D=20，方程组只有零解，所以 x1=0，x 2=0， ，x s=0，此时向量组 12 s 线性无关当 s 为偶数时，D=0，方程组有非零解，即有不全为零的 k1，k 2， ，k s 使得k11+k22+kss=0，故向量组 12 s，线性相关【试题解析】 本题考查向量组线性相关的概念与克拉默法则要求考生掌握向量组 12 n 线性相关的充分必要条件是方程组 x11+x22+xnn=0 有非零解【知识模块】 向量16 【正确答案】 由于 B 是 mn 矩阵，所以 r(B)n，另一方面，r(B)r(AB)=r(E)=n，所以 r(B)=n，故 B
27、 的列向量组 12 n 线性无关【试题解析】 本题考查向量组线性无关的概念和抽象的向量组线性相关性的证明方法可以用向量组线性相关性的定义证明，也可以用矩阵的秩进行证明【知识模块】 向量17 【正确答案】 反证法，设 ，A，A m-1线性相关，则存在一组不全为零的数 k0，k 1，k m-1，使 k0+k1A+k m-1Am-1=0，设从左起第一个不为零的数为ki，上式变为 kiAi+ki+1A+kAi+1+k m-1A=0 由于 Am=0，用 Am-i-1 左乘等式两边得 kiAm-1=0由于 ki0，则 Am-1=0，矛盾，从而 ，A，A m-1线性无关【试题解析】 本题考查向量组线性无关的
28、概念，可以用定义证明根据本题的条件，我们给出的如下证明也是证明向量组线性无关的典型方法【知识模块】 向量18 【正确答案】 必要性：由于 n 维的向量组 1,2 n 线性无关，则对于任意一个 n 维向量 ，则 1,2 n， 必线性相关，从而存在不全为零的数k1，k 2，k n，使得 k11+k22+knn+=0若 =0，则k11+k22+knn=0，由 1， 2， n 线性无关得 k1=k2=kn=0，这与k1，k 2，k n， 不全为零矛盾，从而 0，于是 充分性：由于任意一个 n 维向量都可由 1,2 n 线性表示，特别地取 n 维基本向量组 e1，e 2，e n，则 e1，e 2，e n
29、 能由 1,2 n 线性表示即(e 1,e2en)=(1,2 n)K，其中 K 是 nn 矩阵两边取行列式( 1,2 n)K=e 1,e2en=10，从而 1,2 n0，从而1,2 n，线性无关【试题解析】 本题考查向量组线性相关性的概念和线性表示的概念及向量组线性相关性的判定要求考生掌握 n 个 n 维向量线性无关的充分必要条件是由它们排成的 n 阶行列式不为零【知识模块】 向量19 【正确答案】 设有数组 1， 2， m，使 1(-1)+2(一 2)+ m(一 m)=0，即 (2+3+ m)1+(1+3+ m)m+( 1+2+ m-1)m=0，由于1,2 m 线性无关，所以有 由于方程组的
30、系数行列式所以方程组只有零解，即1=2= m=0，故 1， 2， 一 m 线性无关【试题解析】 本题考查向量组线性相关性的概念及判定【知识模块】 向量20 【正确答案】 由 A1=1，A 2=1+2，A 3=2+3，得(AE) 1=0，(AE)2=1，(A E)3=2. 设数 1， 2， 3，使 11+22+33=0， (1) 用 AE 左乘上式两边，得 21+32=0 (2) 再用 AE 左乘(2)式两边，得 31=0而 10，于是3=0 代入(1) 、(2)，得 2=0， 1=0，故 1,2,3 线性无关【试题解析】 本题考查向量组线性相关性的概念，是比较典型的证明方法【知识模块】 向量2
31、1 【正确答案】 设有数组 k1，k 2，k s，使 k1A1+k2A2+ksAs=0，即A(k11+k22+kss)=0由于 r(A)=n，所以方程组 Ax=0 只有零解，即k11+k22+kss=0又 1， 2， s 线性无关，于是 k1=k2=ks=0，故向量组 A1，A 2，A s 线性无关【试题解析】 本题考查向量组线性相关性的概念和线性相关性的判定要求考生掌握向量组的线性相关性与其对应的齐次线性方程组的解的关系【知识模块】 向量22 【正确答案】 考虑线性方程组 x11+x22+x33=，对增广矩阵进行初等行变换：从而(1)当 b2时，线性方程组 x11+x22+x33=无解，这时
32、 不能由 1,2,3 线性表出(2)当b=2，a1 时，线性方程组 x11+x22+x33=有唯一解 x=(x1，x 2，x 3)T=(一 1，2，0)T， 可由 1,2,3 唯一地线性表出，且表示式为 =一 1+22当 b=2，a=2 时，线性方程组 x11+x22+x33=有无穷多解 x=(x1，x 2，x 3)T=k(一 2，1，1) T+(一1，2，0) T，其中 k 为任意常数此时 可由 1,2,3 线性表出，且表示式不唯一，表示式为 =一(2k+1) 1+(k+2)2+k3【试题解析】 本题考查向量的线性表示要求考生掌握向量 可由向量组1,2 m 线性表示的充分必要条件是线性方程组
33、 x11+x22+xmm= 有解，不能表示是线性方程组 x11+x22+xmm= 无解【知识模块】 向量23 【正确答案】 是否能由 1,2,3,4 线性表示、即非齐次线性方程组x11+x22+x33+x44=是否有解于是对方程组的增广矩阵( 1,2,3,4，)=(A，)=B 施以初等行变换，得 显然，(1)当 a=一 1 时，b0 时，r(A)=2，r(B)=3 ，方程组无解，所以 不能由 1,2,3,4线性表示；(2)当 a一 1 时， b 为任何值时，r(A)=r(B)=4，方程组有唯一解，所以能由 1,2,3,4 唯一的线性表示； (3)当 a=一 1 时，b=0 时，r(A)=r(B
34、)=2，方程组有无穷多个解，所以 能由 1,2,3,4 线性表示，且表示法不唯一，此时于是方程组的通解为k1，k 2 为任意常数故 p=(一 2k1+k2)1+(k 一 2k2+1)2+k13+k24，其中 k1，k 2 为任意的常数【试题解析】 本题考查向量线性表示的概念和表示方法要求考生掌握向量线性表示与其对应的非齐次线性方程组解的关系本题可归结为非齐次线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解的问题【知识模块】 向量24 【正确答案】 (2)p=2时，向量组 1,2,3,4 线性相关，其秩为 3，并且 1,2,3(或 1,3,4)为其个极大线性无关组【试题解析】 本题综合考查向量组的极大线性无
35、关组和秩的求法，解题时常将向量组转化为矩阵，再作初等行变换解答要求考生掌握向量组线性相关性、向量线性表示，向量组极大线性无关组和秩的概念【知识模块】 向量25 【正确答案】 记 A=(1,2,3,4)，则 于是当a=0 或 a=10 时， 1,2,3,4 线性相关当 a=0 时， 1 为向量组 1,2,3,4 的一个极大线性无关组，且 2=21， 3=31， 4=41当 a=-10 时，对 A 施以初等行变换，有 由于 2， 3， 4 为1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组，且 1=2 3 4，故 2,3,4 为 1,2,3,4的一个极大线性无关组，且 1=一 2 一 3 一 4当 a=
36、0 时，r(A)=1，因而1,2,3,4 线性相关，此时 2 为 1,2,3,4 的一个极大线性无关组，且2=21， 2=31， 4=41当 a0时，再对 B 施以初等行变换，得如果 a一 10，r(C)=4，从而 r(A)=4，故 1,2,3,4 线性无关如果 a=一 10，r(C)=3，从而 r(A)=3，故 1,2,3,4 线性相关， 2,3,4 为 1,2,3,4 的一个极大线性无关组，且 1=一 2 一 3 一 4【试题解析】 本题考查向量组的线性相关性、极大线性无关组和线性表示要求考生掌握向量组线性相关与线性无关的概念、向量线性表示的概念、向量组极大线性无关组的概念、向量组 1,2,3,4 线性相关 1,2,3， 4=0，向量组1,2,3,4 线性相关 r(1,2,3,4)4【知识模块】 向量
