1、考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列函数在(0，0) 处不连续的是（A）（B）（C）（D）2 设 zf(，y) 则 f(，y)在点(00)处（A）可微（B）偏导数存在，但不可微（C）连续，但偏导数不存在（D）偏导数存在，但不连续3 设 zf(，y) 则 f(，y)在点(0，0)处（A）偏导数存在且连续（B）偏导数不存在，但连续（C）偏导数存在，可微（D）偏导数存在，但不可微4 设 f(，y) y(，y)，其中 (，y)在点(0，0)处连续且 (0，0)0，则f(，y) 在点(0，0)处（A）连续，但偏导数
2、不存在（B）不连续，但偏导数存在（C）可微（D）不可微二、填空题5 设 z f(t，e t)dt，其中 f 是二元连续函数，则 d_6 设 zz(，y)满足方程 2ze z2y 3 且 z(1，2)0，则 dz (1，2) _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 设 zf(，y)满足 2，f(，1)0， sin 求 f(，y)8 设 u 9 设 uu(，y)由方程 u(u) y(t)dt 确定，求 ，其中 (u)110 设函数 M(，y)有连续二阶偏导数，满足 0，又满足下列条件：u(， 2)，u (，2) 2(即 u(，y) y2 2 2)，求 (，2)，u y (，2) ，
3、uyy ，(，2)11 设 u ，求 du 及 12 已知函数 f(，y，z) 2y2z 及方程 yz3e -3e -(yz) ， (*) ()如果(y，) 是由方程(*)确定的隐函数满足 (1，1)1，又 uf(y，z)，y，z)，求() 如果 zz( ，y)是由方程(*) 确定的隐函数满足 z(1，1)1，又Wf(，y，z(，y)，求13 设 zf(，y，u)，其中 f 具有二阶连续偏导数，u( ，y)由方程 u55y5u1确定求14 设 yf(，t)，且方程 F(，y，t)0 确定了函数 tt( ，y)，求 15 若可微函数 zf(，y)在极坐标系下只是 的函数，证明： 0(r0)16
4、作自变量与因变量变换：uy，v y，y z，变换方程0 为 关于 u，v 的偏微分方程，其中 z 对 ，y 有连续的二阶偏导数17 设 uu(，y)，vv(，y)有连续的一阶偏导数且满足条件：F(u，v)0，其中F 有连续的偏导数且18 设 zf(，y)满足 ，由 zf(，y)可解出 yy(z，) 求：() ；()yy(z，)19 设 f(，y)2(y 2)2 7y 2，()求 f(，y)的驻点；()求 f(，y)的全部极值点，并指明是极大值点还是极小值点20 求 2y 在区域 D： 2 1 上的最大值与最小值21 设函数 z (1e y)cosye y，证明：函数 z 有无穷多个极大值点，而
5、无极小值点22 设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，函数 g(y)连续可导，且 g(y)在 y1 处取得极值 g(1)2 求复合函数 zf(g(y)，y)的二阶混合偏导数 在点(1，1)处的值23 设 f(，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且 fy(a，b)0，证明由方程f(，y) 0 在 a 的某邻域所确定的隐函数 y()在 a 处取得极值 b(a)的必要条件是：f(a，b)0，f (a，b)0，且当 r(a，b)0 时，b(a)是极大值；当r(a，b) 0 时， b(a)是极小值其中 r(a，b) 24 造一容积为 V0 的无盖长方体水池，问其长、宽、高为何值时有最小的表
6、面积25 已知三角形的周长为 2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形26 证明条件极值点的必要条件(79)式，并说明(79)式的几何意义27 求下列极限：28 证明极限 不存在29 考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 B【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 C【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 C【知识模块】 多元函数微分学二、填空题5 【正确答案】 f( 2y， )(2yd 2dy)【知识模块】 多元函数
7、微分学6 【正确答案】 4d 2dy【试题解析】 方程两边求全微分得 2dezd2yd2dy 0令1，y2，z0 得 dz (1，2) 4d2dy【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 2y()，()为 的任意函数(，y)y 2()y()，()也是 的任意函数 由 sin, 得2y() y0 sin，则 ()sin 由 f(，1)0，得y()y () y1 sin()0，则 ()sin 因此，f( ，y)y 2ysin sin 【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 将方程对 求导 对
8、y 求导得分别乘 P(y)，P()后相加得由于 (u)0【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 将 u(， 2) 两边对 求导，由复合函数求导法及 u(，2) 2 得 u (， 2)2u y(，2) 1，u y(，2) (1 2) 现将 u(，2) 2，u y(， 2) (1 2)分别对 求导得 u (，2)2u y(，2)2 ， u y(，2)2u yy(，2) 式2 式，利用条件 u (，2)u yy(，2)0 及 u y(，2)u y(，2) 得 3u y，( ，2)5，uy(，2) 代入式得 u (，2)u yy(，2) 【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 u 是
9、uf(s，t)与 复合而成的 ，y，z 的三元函数 先求 du由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则，得【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 () 依题意， 为 f(y，z)，y，z 对 y 的偏导数，故有因为题设方程(*)确定 为y，z 的隐函数，所以在 (*)两边对 y 求导数时应将 z 看成常量，从而有由此可得1代入式，得 3 2y2z2 3yz， 321 ()同()一样，求得 在题设方程(*)中将 看成常量，对 y 求导，可得 1，故有 2yzy， 211【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 将方程 u55y5u1 两端对 求导数，得5u4u 5y 5u0，解得
10、 u ，故 z f 1f 3uf f3 在上式对 求导数时，应注意其中的 f1，f 3 仍是 ，y，u 的函数，而 u 又是 ，y 的函数，于是【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 由 yf(，y)两端对 求导得而 tt(，y)由 F(，y，t) 0 所确定，则将 的表达式代入式即得【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 由 zf(rcos，rsin)与 r 无关 0【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 由于 z y ，则【知识模块】 多元函数微分学17 【正确答案】 将方程 F(u，v)0 分别对 ，y 求偏导数，由复合函数求导法得按题设，这个齐次方程有非零解 ，
11、其系数行列式必为零，即【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 () 以 z， 为自变量，y 为因变量 yy(y，)，它满足zf( ， y(z，) 将 zf(，y)对 求偏导数，得 0 再对 求偏导数，得 将代入上式，得利用条件得()因 yy(z，)， 与 无关由 y(z)(z)【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 解即驻点为(0 ，0) 与 (2，8) ()A 8y24 6 ，B 8 ，C 2 在(2，8)处，ACB 20，A0 得(2，8)为极小值点 在(0，0)处，ACB 20，该方法失效但令 0 则 f(0，y)y 2,这说明原点邻域中 y 轴上的函数值比原点函数值大，
12、又令 y 2，f( ， 2) 7 4 4(1 3)，这说明原点邻域中抛物线 y 2 上的函数值比原点函数值小，所以(0，0) 不是极值点【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 令 F(，y，)2y( 2 1)，解方程组由， 得 y2，代入得相应地 因为z 在 D 存在最大、最小值，得 z 在 D 的最大值为 2 ，最小值为2 【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 () 先计算()求出所有的驻点由 解得(，y)(2n，0)或(， y)(2n1)，2)， 其中 n0，1 ，2， ()判断所有驻点是否是极值点，是极大值点还是极小值点 在(2n0)处，由于 (2)(1) 02 0，
13、20，则(2n，0)是极大值点 在(2n1)，2)处，由于 (1e2)(e) 0，则(2n1)， ，2) 不是极值点因此函数 z 有无穷多极大值点 (2n，0)(n0，1 ，2，) ，而无极小值点【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 先求其中由条件 g(1)2， g(1)0 因为 连续，所以这里 f 21(2，2)f12(2，2)【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 y()在 a 处取得极值的必要条件是 (a)0按隐函数求导法，()满足 f (，()f y(，()()0 (*) 因 b(a)，则有 f(a ，b)0，(a) 0， 于是 f(a，b)0 将(*)式两边对 求导
14、得 f(，()f y(，()() fy(，() ()f y(，() ()0， 上式中令 a，(a) b，(a)0，得 (a) 因此当 0时， (a)0，故 b(a)是极大值； 当 时，(a)0，故 b(a) 是极小值【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 令 F(，y，z，)y2(zyz)(yz V 0)，则有由得 y，再由得y ，再代入 得 z y，z ，最后由 得zy ，z 【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 设三角形的三边长为 a，b，c ，并设以 AC 边为旋转轴(见图 81)，AC 上的高为 h，则旋转所成立体的体积为 V h2b 又设三角形的面积为 S，于是有
15、问题化成求 V(a，b，c)在条件abc2p0 下的最大值点，等价于求 V0(a，b，c)ln (pa)(Pb)(Pc)ln(pa)ln(pb) ln(pc)lnb 在条件 ab c2p0 下的最大值点用拉格朗日乘子法令 F(a，b，c，)V 0(a，b，c) (abc2p)，求解方程组比较， 得 ac，再由 得b2(p a) 比较 ，得 b(pb)(Pa)P 由， 解出，又 c a 由实际问题知，最大体积一定存在，而以上解又是方程组的唯一解因而也是条件最大值点所以当三角形的边长分别为时，绕边长为 的边旋转时，所得立体体积最大【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 由所设条件，(，y)
16、0 在 0 的某邻域确定隐函数 yy()满足 y0y( 0)，于是 P0(0，y 0)是 zf(，y)在条件 (，y)0 下的极值点f(，y()在 0 取极值 f(0，y 0)f y(0，y 0)y(0)0 又由 (，y()0，两边求导得 (0， y0) y(0，y 0)y(0)0，解得y(0) (0，y 0) y(0，y 0) 将式代入式得 f(0，y 0)f y(0，y 0)(0，y 0) y(0，y 0)0 因此 在Oy 平面上看， (，y)0 是一条曲线，它在 P0(0，y 0)的法向量是( (P0)， y(P0)，而 f(，y) f(0，y 0)是一条等高线，它在 P0 的法向量是(f (P0)，f y(P0)，(79)式表示这两个法向量平行，于是曲线 (，y)0 与等高线 f(，y)f(P 0)在点 P0 处相切【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 因此原极限为 0【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 (，y)沿不同的直线 yk 趋于(0 ，0) ，有再令(，y)沿抛物线 y2 趋于(0，0)，有 由二者不相等可知极限 不存在【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 () 因 f(，1) 2， 故又因 f(2，y)4(y 1)arcsin ，故()按定义类似可求 0(或由 ，y 的对称性得) 【知识模块】 多元函数微分学
