1、考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列函数在(0，0) 处不连续的是2 设 z=f(x，y)= 则 f(x，y)在点(0，0) 处（A）偏导数存在且连续（B）偏导数不存在，但连续（C）偏导数存在，可微（D）偏导数存在，但不可微3 在下列二元函数中，f“ xy(0，0)f“ yx(0，0)的二元函数是（A）f(x，y)=x 4+2x2y2+y10（B） f(x，y)=ln(1+x 2+y2)+cosxy（C） f(x，y)=（D）f(x，y)=二、填空题4 设 z= f(t，e t)dt，其中 f 是二元连续
2、函数，则 dz=_5 设 z=yf(x2y 2)，其中 f(u)可微，则 =_6 设 x=x(y，z)，y=y(z ，x)，z=z(x，y)都是方程 F(x，y，z)=0 所确定的隐函数，并且 F(x，y，z)满足隐函数存在定理的条件，则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 求下列极限：8 ()设 f(x，y)=x 2+ ()设 f(x，y)=9 求下列函数在指定点处的二阶偏导数：10 设 z=f(u，v)，u=(x ，y)，v=(x ，y) 具有二阶连续偏导数，求复合函数z=f(x，y) ，(x ，y)的一阶与二阶偏导数11 设 u=u(x，y)有二阶连续偏导数，证明：
3、在极坐标变换 x=rcos，y=rsin 下有12 设 z(x，y)=x 3+y33xy () x+， y+，求 z(x，y)的驻点与极值点 ()D=(x，y)0x2，2y2 ，求证： D 内的唯一极值点不是 z(x，y)在 D 上的最值点13 已知平面曲线 Ax2+2Bxy+Cy2=1 (C0，ACB 20)为中心在原点的椭圆，求它的面积14 设 f(x，y)= ()求 ；()讨论 f(x，y)在点(0，0)处的可微性，若可微并求 df (0，0) 15 设 z= f(xy)+y(x+y)，且 f， 具有二阶连续偏导数，求16 设 z=z(x，y)是由方程 xy+x+yz=e z 所确定的二
4、元函数，求 dz，17 设18 在半径为 R 的圆的一切内接三角形中，求出其面积最大者19 设 f(u)(u0)有连续的二阶导数且 z= 满足方程 =4(x2+y2)，求f(u)20 设21 设函数 u(x，y) 有连续二阶偏导数，满足 =0，又满足下列条件：u(x，2x)=x ， ux(x，2x)=x 2(即 ux(x，y) y=2x=x2)，求 u“xx(x，2x) ，u“ xy(x，2x)，u“yy(x， 2x)22 已知函数 f(x，y，z)=x 3y2z 及方程 x+y+z 3+e 3 =e(x+y+z) ， (*) ( )如果x=x(y，z)是由方程(*) 确定的隐函数满足 x(1
5、，1)=1，又 u=f(x(y，z)，y，z) ，求； () 如果 z=z(x，y)是由方程(*) 确定的隐函数满足 z(1，1)=1，又w=f(x， y，z(x，y)，求23 设 y=f(x， t)，且方程 F(x，y，t)=0 确定了函数 t=t(x，y)，求 24 作自变量与因变量变换：u=x+y，v=x yw=xyz变换方程为 w 关于 u，v 的偏微分方程，其中 z 对 x，y 有连续的二阶偏导数25 设 z=f(x，y)满足 0，由 z=f(x，y)可解出 y=y(z，x)求：() ；()y=y(z，x)26 求 z=2x+y 在区域 D： x2+ 1 上的最大值与最小值27 设函
6、数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，函数 g(y)连续可导，且 g(y)在 y=1 处取得极值 g(1)=2求复合函数 z=f(xg(y)，x+y) 的二阶混合偏导数 在点(1，1)处的值28 建一容积为 V0 的无盖长方体水池，问其长、宽、高为何值时有最小的表面积考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 注意 1在 A，B 中分别有= =0=f(0，0)，f(x，y) 在(0，0)连续在 D 中， 有界 =f(x，y)在(0，0)连续因此选 C【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案
7、】 C【试题解析】 由偏导数定义可知这说明fx(0，0)存在且为 0，同理 fy(0，0)存在且为 0所以 f(x，y)在点(0，0)处可微分故选 C【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 对于 A，B：f(x，y)均是二元初等函数， 均连续，所以因而 C，D 中必有一个是 f“xy(0，0)=f“ yx(0，0)，而另一个是f“xy(0，0)f yx(0，0)现考察 C当(x，y)(0，0)时，因此，f“ xy(0，0)f“ yx(0，0)选 C【知识模块】 多元函数微分学二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 dz=【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 【试
8、题解析】 【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 1【试题解析】 由隐函数求导法知(如，由 F(x，y，z)=0 确定x=x(y，z)，将方程对 y 求偏导数得 其余类似)将这三式相乘得 =1【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 ()由x4+y22x2y = 而 =0，因此原极限为 0【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 () 因 f(x，1)=x 2，故=4又因 f(2，y)=4+，故()按定义类似可求 =0(或由 x，y 的对称性得) 【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 () 按定义()【知识模块】 多元函数
9、微分学10 【正确答案】 已求得第一步，先对 的表达式用求导的四则运算法则得 (*)第二步，再求 这里 f(u，v)对中间变量 u，v 的导数仍然是 u，v 的函数，而 u，v 还是 x，y 的函数，它们的复合仍是 x，y 的函数，因而还要用复合函数求导法求 即第三步，将它们代入(*)式得 (*)用类似方法可求得【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 利用复合函数求导公式，有再对用复合函数求导法及(*)式可得【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 () 解方程组 得全部驻点(0，0)与(1，1)再求 考察 (0，0)处，ACB 20=(0，0)不是极值点(1，1)处，ACB 2
10、0，A0=(1，1)是极小值点因此 z(x，y)的驻点是(0 ，0) ， (1，1)，极值点是 (1，1)且是极小值点( )D 内唯一极值点(1，1)是极小值点，z(1，1)=1D 的边界点(0，2)处 z(0，2)=( 2) 3=8z(1，1)因 z(x，y)在有界闭区域 D 上连续，必存在最小值，又 z(0，2)z(1，1)，(0， 2)D=z(1，1)不是 z(x，y)在 D 的最小值【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 椭圆上点(x，y)到原点的距离平方为 d2=x2+y2，条件为Ax2+2Bxy+Cy21=0 令 F(x，y，)=x 2+y2(Ax 2+2Bxy+Cy21)
11、，解方程组将式乘 x，式乘 y，然后两式相加得 (1A)x 2Bxy+Bxy+(1C)y 2=0，即 x2+y2=(Ax2+2Bxy+Cy2)=，于是可得 d= 从直观知道，函数 d2 的条件最大值点与最小值点是存在的，其坐标不同时为零，即联立方程组 Fx=0，F y=0 有非零解，其系数行列式应为零，即该方程一定有两个根1， 2，它们分别对应 d2 的最大值与最小值因此，椭圆的面积为【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 () 当(x ，y)(0 ，0)时， 当(x，y)=(0 ，0)时，因 f(x， 0)=0( x)，于是 =0由对称性得当(x，y)(0，0)时=0() 考察 在点
12、(0，0)处的连续性注意 即在点(0 ，0) 处均连续，因此 f(x，y)在点(0，0)处可微于是【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 先求 由于 f(xy)是一元函数 f(u)与二元函数 u=xy 的复合，u 是中间变量，(x+y) 是一元函数 (v)与二元函数 v=x+y 的复合，v 是中间变量由题设知 方便，由复合函数求导法则得【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 将方程两边求全微分后求出 dz，由 dz 可求得 再将 分别对 x，y 求导求得 将方程两边同时求全微分，由一阶全微分形式不变性及全微分的四则运算法则，得 ydx+xdy+dx+dydz=e zdz解出从而
13、【知识模块】 多元函数微分学17 【正确答案】 将方程组对 x 求偏导数得解得 将方程组对 y 求偏导数同样可得【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 用 x，y，z 表示三角形各边所对的中心角，则三角形的面积 S 可用 x，y，z， R 表示为 其中 z=2xy，将其代入得 s= R2sinx+sinysin(x+y) ，定义域是 D=(x ，y)x0，y0，x+y2 现求 S(x，y)的驻点： 解，得唯一驻点：(x，y)= 在 D 内部，又在 D 的边界上即 x=0或 y=0 或 x+y=2 时 S(x，y)=0 因此，S 在 取最大值 因 z=y=，因此内接等边三角形面积最大【知
14、识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 令 u= ，则有由题设条件，得 u2f“(u)+uf(u)1=0这是可降阶的二阶方程，令 P=f(u)，则方程化为+uP=1解此一阶线性方程将上述方程改写成其中 C1， C2 为任意常数【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 将 u(x，2x)=x 两边对 x 求导，由复合函数求导法及 ux(x，2x)=x 2得 u x(x，2x)+2u y(x，2x)=1，u y(x，2x)= (1x 2)现将 ux(x，2x)=x 2，u y(x，2x)=(1 x2)分别对 x 求导得 u“ xx(x，2x
15、)+2u“ xy(x，2x)=2x， u“ yx(x，2x)+2u“yy(x，2x)= x 式2 式，利用条件 u“xx(x，2x)u“ yy(x，2x)=0 及u“xy(x， 2x)=u“yx(x，2x) 得 3u“ xy(x，2x)=5x，u“ xy(x，2x)= 代入式得u“xx(x， 2x)=u“yy(x，2x)=【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 () 依题意， 为 fx(y，z)，y，z对 y 的偏导数，故有因为题设方程 (*)确定 x 为 y，z 的隐函数，所以在(*)两边对 y 求导数时应将 z 看成常量，从而有由此可得 =1代入式，得 ()同()一样，求得在题设方
16、程(*)中将 x 看成常量，对 y 求导，可得= 1，故有【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 由 y=f(x，t(x，y)两端对 x 求导得 而 t=t(x，y)由 F(x，y，t)=0 所确定，则 将 的表达式代入式即得【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 由于 z=xyw，则【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 () 以 z，x 为自变量，y 为因变量 y=y(z，x)，它满足z=f(x，y(z ， x)将 z=f(x，y)对 x 求偏导数，得 0= 再对 x 求偏导数，得 将 代入上式，得利用条件得()因 y=y(z，x)，【知识模块】 多元函数微分学26
17、 【正确答案】 令 F(x，y，)=2x+y+(x 2+ 1)，解方程组由，得 y=2x，代入得 相应地 因为 z 在 D 存在最大、最小值=z 在 D 的最大值为 ，最小值为 【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 计算可得f“12(xg(y)，x+y)+f“21(xg(y)，x+y).xg(y)+f“ 22(xg(y)，x+y) 将 x=1 与 y=1 代入并利用 g(1)=2，g(1)=0 即得 =g(1)f1(2，2)+g(1)f“ 11(2，2)g(1)+f“ 12(2，2)+f“ 21(2，2)g(1)+f“22(2，2)=2f“ 12(2，2)+f“ 22(2，2)【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 设长、宽、高各为 x，y，z，则表面积为 S=xy+2(xz+yz)，容积V0=xyz问题是求三元函数 S 在条件 xyzV 0=0 下的最小值点化为无条件最值问题由条件解出 z= ，代入 S 表达式得因该实际问题存在最小值，所以当长、宽、高分别为 时无盖长方体水池的表面积最小【知识模块】 多元函数微分学
