1、考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 19 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(，y) sin ，则 f(，y)在(0，0)处( )（A）对 可偏导，对 y 不可偏导（B）对 不可偏导，对 y 可偏导（C）对 可偏导，对 y 也可偏导（D）对 不可偏导，对 y 也不可偏导2 设 f(0，y 0)，f y(0，y 0)都存在，则( )（A）f(，y)在( 0，y 0)处连续（B） f(，y)存在（C） f(，y)在( 0，y 0)处可微（D） f(0，y 0)存在3 设 f(，y) 在点 (0，0)的某邻域内连续，且满足 3，则函数 f(，y)在
2、点(0 ，0)处( )（A）取极大值（B）取极小值（C）不取极值（D）无法确定是否有极值4 设 f(，y) 在 (0，0)的某邻域内连续，且满足 3，则f(，y) 在(0 ，0)处( ) （A）取极大值（B）取极小值（C）不取极值（D）无法确定是否取极值二、填空题5 设 z( 2 y2)y，则 _6 设 f 二阶可导，且 z f(y)，则 _7 设 f 二阶可偏导，z f(y，y 2)，则 _8 设 f(，y) 连续，且 f(，y)3 4y6o() ，其中 ，则dz (1， 0)_9 设 zf(，y)二阶连续可导，且 1，f (，0)2 ，f(0 ，y)sin2y，则f(，y) _ 10 _1
3、1 设 z ，则 _12 设 z ，则 dz _13 设 z ，则 _14 设 zf(，y) 2arctan y 2arctan ，则 _15 设 f(，y)满足 2，f( ，0)1，f y(，0) ，则 f(，y)_16 z f(y)yg( 2y 2)，其中 f，g 二阶连续可导，则 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设 zyf( 2y 2)，其中 f 可导，证明：18 设 z ，其中 f，g 二阶可导，证明： 019 设 uf(y， 2y 2)，其中 f 二阶连续可偏导，求20 设 zfg(y)，y，其中 f 二阶连续可偏导， g 二阶可导，求21 设 zz(，y)
4、由 yzyz 确定，求22 举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续23 设 f(，y) 讨论函数 f(，y)在点(0，0)处的连续性与可偏导性24 讨论 f(，y) 在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性25 讨论 f(，y) 在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性26 设 zf(esint ，tant)，求27 设 z siny，求28 设 z f(t，e t)，f 有一阶连续的偏导数球29 设 u ，求 du30 设函数 z z(，y)由方程 2y 2z 2yf(z 2)所确定，其中 f 是可微函数，计算并化成最简形式31 设 f(t)二阶可导，g(u，v)二阶连续可偏
5、导，且 zf(2y)g(，y)，求32 设 zf(e siny， 2y 2)，且 f(u，v)二阶连续可偏导，求33 设 zf( 2y 2，y，)，其中 f(u，v，)二阶连续可偏导，求34 设 zz(，y)由 yz yez y 0 确定，求 及 dz35 设 zf(yg( yz)，其中 f，g 可微，求36 设 uf(z) ，其中 z 是由 zy(z) 确定的 z，y 的函数，其中 f(z)与 (z)为可微函数证明：考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 19 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 不存在，所以 f(，y
6、)在(0，0)处对 不可偏导； 因为0， 所以 ft(0，0)0，即f(，y)在(0，0)处对 y 可偏导，应选 B【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，A 不对； 函数 f(，y)在(0，0)处可偏导，但 (，y)不存在，B 不对； f(，y)在( 0，y 0)处可偏导是可微的必要而非充分条件，C 不对，应选D 事实上由 f(0，y 0) 存在得 f(0，y 0)f( 0，y 0)【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 3，根据极限保号性，存在 0，当 0 时，有 0，而 21siny0，所以当 0 时
7、有 f(，y) f(0，0)0，即 f(，y)f(0，0)，所以f(，y)在点(0，0)处取极大值，选 A【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 A【知识模块】 多元函数微分学二、填空题5 【正确答案】 ( 2y 2)y.yln(2y 2) 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 f(y) f(y)y 2f(y)【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 f 1yf 11(2y)f 122yf 22【试题解析】 yf 1f 2， f 1y(f 112yf 12)f 212yf22f 1 yf 11( 2y)f 122yf 22【知识模块】 多元函数微
8、分学8 【正确答案】 3d 4dy【试题解析】 因为 f(，y)连续，所以 f(1，0)9， 由 f(，y)34y6o()得 zf(，y)f(1，0)3(1)4yo( )， 由可微的定义得dz (1，0) 3d4dy 【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 ( )y 2sin2y【试题解析】 由 1 得 (1)y()， 由 f(，0)2 得 ()2，即 (1)y2， 再由 (1)y2 得 z( )y 2h(y) ， 由 f(0，y)sin2y 得 h(y)sin2y，故 f(，y)( )y 2sin2y【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微
9、分学11 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 sin2y(yddy)【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 y 2y 1【试题解析】 由 2 得 2y 1()， 因为 fy(，0) ，所以 1()，即2y， 再由 2y 得 f(，y)y 2y1 因为 f(，0)1，所以2() 1，故 f(，y)y 2y1【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 f(y) f(y)y 2f(y) 2g(2y 2)4y 2g(2y 2)【
10、知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 2yf( 2y 2)， f( 2y 2)2y 2f(2y 2)，则【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 f 12f 2， f 12yf 2 f 112f122f 22(f 212f 22)f 114f 124f 222f 2， f 112yf122f 22y(f 212yf 22)f 114yf 124yf 222f 2， 则 2f114(y)f 124(y)f 224f 2【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 g(y)f 1f 2
11、 g(y)f 1g(y)g(y)f 11f 12g(y)f 21 f 22 g(y)f 1g(y)g(y)f 11g(y)g(y)f 12f 22【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 令 Fyz yz，【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 设 f(，y) ，显然 f(，y)在点(0，0)处连续 但不存在，所以 f(，y)在点(0，0)处对 不可偏导，由对称性，f(，y)在点(0，0)处对 y 也不可偏导所以 f(，t) 在点 (0，0)处可偏导，且 f(0，0)f y(00)0 因为， 所以 (，y)不存在，而 f(0，0)0，故 f(，y)在点(0 ，O)处不连续【知识
12、模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 因为所以 (，y)不存在，故函数 f(，y)在点(0，0)处不连续 因为0， 所以函数 f(，y)在点(0， 0)处对 ，y 都可偏导【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 因为所以 (，y)0f(0，0)，即函数 f(，y)在点(0，0)处连续 因为0，所以 f(0，0)0，根据对称性得 fy(0，0)0，即函数 f(，y) 在 (0，0)处可偏导 z f (0，0)f y(0，0)yf(，y)f (0，0)f y(0，0)y ， 因为不存在，所以函数 f(，y)在(0， 0)不可微【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 因为 f(，
13、y)0f(0，0)，所以 f(，y)在点(0，0)处连续 因为 0，所以 f(0，0)0，由对称性得 fy(0，0)0，即函数 f(，y)在点(0，0)处可偏导 z f (0，0)f y(0，0)yf(，y)f (0，0) fy(0，0)y ysin ， 因为所以函数 f(，y)在点(0 ，0)处可微【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 et(sintcost)f 1f 2sec2t【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学30 【正确答案】 2y 2 z
14、2yf(z 2)两边对 求偏导得 22z yf(z 2)2yzf(z 2) ， 解得 2y 2z 2yf(z 2)两边对y 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学31 【正确答案】 2f(2y)g 1(，y) yg 2(，y)， 2f(2 y)g 12(， y)g 2(，y)yg 22(，y)【知识模块】 多元函数微分学32 【正确答案】 f 1esiny2f 2， f 1ecosye siny(f11ecosy2yf 12)2(f 21ecosy2yf 22) f 1ecosy f11e2sin2y2e (ysinycosy)f 124yf 22【知识模块】 多元函数微分学33 【正确答案】 2f 1yf 2f 3， 2(2yf 11f 12)f 2y(2yf 21f 22)2yf 31f 32 4yf 112( 2y 2)f 12f 2yf 222yf31f 32【知识模块】 多元函数微分学34 【正确答案】 方程 yy zy 0 两边对 求偏导得方程 yzy zy 0 两边对 y 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学35 【正确答案】 等式 z f(yg(yz)两边对 求偏导得等式zf( yg(yz) 两边对 y 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学36 【正确答案】 ，zy(z)两边对 求偏导得两边对 y 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学
