1、考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 21 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x，y)= 则 f(x，y)在点(0，0)处（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在2 下列函数在(0，0) 处不连续的是3 设 z=f(x，y)= ，则 f(x，y)在点(00)处（A）可微（B）偏导数存在，但不可微（C）连续，但偏导数不存在（D）偏导数存在，但不连续4 设 z=f(x，y)= 则 f(x，y)在点(0，0) 处（A）偏导数存在且连续（B）偏导数不存在，但连续（C）偏导数存在，可微（D）偏导数
2、存在，但不可微二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 求下列极限：6 证明极限 不存在7 ()设 f(x，y)=x 2+(y-1)arcsin ()设8 求下列函数在指定点处的二阶偏导数：9 设 z=f(u，v，x)，u=(x，y)，v=(y)都是可微函数，求复合函数 z=f(x，y)，(y)， x)的偏导数10 设 z=f(u，v)，u=(x ，y)，v=(x ，y) 具有二阶连续偏导数，求复合函数z=f(x，y) ，(x ，y)的一阶与二阶偏导数11 设 u=f(x， y，z，t)关于各变量均有连续偏导数，而其中由方程组确定 z，t 为 y 的函数，求12 设 u=u(x，y
3、)有二阶连续偏导数，证明：在极坐标变换 x=rcos，y=rsin 下有13 设 z=f(x，y)在区域 D 有连续偏导数，D 内任意两点的连线均属于 D求证：对A(x0，y 0)， B(x0+x，y 0+y)D， (0，1)，使得 f(x0+x，y 0+y)-f(x0，y 0)14 设 z(x，y)=x 3+y3-3xy ()- x+ ，- y+ ，求 z(x，y)的驻点与极值点 ( )D=(x，y)0x2，-2y2 ，求证：D 内的唯一极值点不是 z(x，y)在 D上的最值点15 求函数 z=x2y(4-x-y)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的区域 D 上的最大值与最小值16
4、 已知平面曲线 Ax2+2Bxy+Cy2=1(C0，AC-B 20)为中心在原点的椭圆，求它的面积17 设 z(x，y)满足求 z(z， y)18 设 f(x，y)= ；() 讨论 f(x，y)在点(0， 0)处的可微性，若可微并求 af (0,0)19 设 z=(x2+y2)20 设 z= f(xy)+y(x+y)，且 f， 具有二阶连续偏导数，求21 设22 设 z=z(x，y)是由方程 xy+x+y-z=ez 所确定的二元函数，求23 设由方程 (bz-cy，cx-az，ay-bx)=0 (*)确定隐函数 z=z(z，y)，其中 对所有变量有连续偏导数，a ，b， c 为非零常数，且 b
5、-a20，求24 设25 设 z=z(x，y)有连续的二阶偏导数并满足()作变量替换 u=3x+y， v=x+y，以 u，v 作为新的自变量，变换上述方程；() 求满足上述方程的 z(x，y)26 在半径为 R 的圆的一切内接三角形中，求出其面积最大者27 在空间坐标系的原点处，有一单位正电荷，设另一单位负电荷在椭圆z=x2+y2，x+y+z=1 上移动，问两电荷间的引力何时最大，何时最小?28 设 f(u)(u0)有连续的二阶导数且 z=f(ex2-y2)满足方程 =4(x2+y2)，求f(u)29 若函数 f(x，y)对任意正实数 t，满足 f(tx ，ty)=t nf(x，y)， (71
6、2)称 f(x，y)为 n次齐次函数设 f(x，y)是可微函数，证明：f(x ， y)为 n 次齐次函数考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 21 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 这是讨论 f(x，y)在点(0 ，0)处是否连续，是否可偏导先讨论f(x，y)在点(0，0)处是否可偏导由于 f(x，0)=0( (-，+)，则=0因此(B)，(D)被排除再考察 f(x，y)在点(0，0)处的连续性令 y=x3，则 f(0，0)，因此f(x，y)在点(0，0)处不连续故应选 (C)【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】
7、C【试题解析】 直接证(C) 中 f(x，y)在(0，0)不连续当(x，y)沿直线 y=x 趋于(0，0)时 因此 f(x，y)在(0，0)不连续故选(C)【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 设z=f(x，y)-f(0 ，0)，则可知 这表明 f(x，y)= 在点 (0，0) 处连续因 f(x，0)=0( )，所以 fx(0，0)= f(x，0) x=0=0，同理 fy(0，0)=0令 =z-fx(0，0)x-f y(0，0) y=，当( x，y)沿 y=x 趋于点(0，0)时即 不是 的高阶无穷小，因此 f(x，y)在点(0，0)处不可微，故选 (B)【知识模块】
8、多元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 由偏导数定义可知这说明 fx(0， 0)存在且为 0，同理 fy(0，0)存在且为 0又所以 f(x，y)在点(0，0)处可微分故选 (C)【知识模块】 多元函数微分学二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 【正确答案】 ()因此 () 由 x4+y22x2y 而，因此原极限为 0【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 (x，y) 沿不同的直线 y=kx 趋于(0， 0)，有再令(x，y)沿抛物线 y2=x趋于(0 ，0) ，有 由二者不相等可知极限不存在【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 () 因 f(x，1)=
9、2，故=2x x=2=4又因 f(2，y)=4+(y-1)arcsin ，故()按定义类似可求 =0(或由 x，y 的对称性得) 【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 () 按定义故()【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 由复合函数求导法可得=f1 +f2 +f3=f1 +f3， =f1 +f2(y) (*)【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 已求得 ，下面进一步求 第一步，先对 的表达式用求导的四则运算法则得第二步，再求 (f2)这里 f(u，v)对中间变量 u，v 的导数 f1=仍然是 u，v 的函数，而 u，v 还是 x，y 的函数，它们的复合仍是x，y 的
10、函数，因而还要用复合函数求导法求 (f1)， (f2)即第三步，将它们代入(木)式得用类似方法可求得 【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 注意 z=z(y)，t=t(y)，于是因此，我们还要求 ，将方程组两边对 y 求导得记系数行列式为 W=(y-t2)(ez+zcost)+2zt(tez+sint)，则代入得【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 利用复合函数求导公式，有再对 用复合函数求导法及(*)式可得于是即【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 连接 A，B 两点的线段属于 D： t0，1，在上 f(x，y)变成 t 的一元函数 (t)=f(x0+tx，y
11、0+ty)，(t) 在0，1可导，由复合函数求导法 现在二元函数的增量看成一元函数 (t)的增量，由一元函数微分中值定理 f(x0+x，y 0+y)-f(x0，y 0)=(1)-(0)=()【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 () 解方程组 得全部驻点(0，0)与(1，1)再求 考察(0，0)处 ，AC-B20 (0，0)不是极值点(1，1)处 ，AC-B20， A0 (1，1)是极小值点 因此 z(x，y)的驻点是 (0，0) ，(1，1)，极值点是(1， 1)且是极小值点 ()D 内唯一极值点(1，1)是极小值点，z(1，1)=-1D 的边界点(0 ，-2)处 z(0，-2)=
12、(-2) 3=-8z(1 ，1)因 z(x，y)在有界闭区域 D 上连续，必存在最小值，又 z(0，-2)z(1，1)，(0，-2) D z(1，1)不是 z(x，y) 在 D 的最小值【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 区域 D 如图 71 所示，它是有界闭区域 z(x，y)在 D 上连续，所以在 D 上一定有最大值与最小值，它或在 D 内的驻点达到，或在 D 的边界上达到为求 D 内驻点，先求 =2xy(4-x-y)-x2y=xy(8-3x-2y)， =x2(4-x-y)-x2y=x2(4-x-2y)再解方程组 得 z(x，y)在 D 内的唯一驻点(x ，y)=(2，1)且z(
13、2， 1)=4 在 D 的边界 y=0，0x6 或 x=0，0y6 上 z(x，y)=0 ； 在边界x+y=6(0x6)上将 y=6-x 代入得 z(x，y)=x 2(6-x)(-2)=2(x3-6x2)，0x6令 h(x)=2(x3-6x2)，则 h(x)=6(x2-4x)，h(4)=0，h(0)=0 ，h(4)=-64，h(6)=0，即 z(x，y)在边界 x+y=6(0x6)上的最大值为 0，最小值为-64因此， z(x，y)=4， =-64【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 椭圆上点(x，y)到原点的距离平方为 d2=x2+y2，条件为Ax2+2Bxy+Cy2-1=0令 F
14、(x，y，)=x 2+y2-(Ax2+2Bxy+Cy2-1)，解方程组将式乘 x， 式乘 y，然后两式相加得 (1-A)x2-Bxy+-Bxy+(1-C)y2=0，即 x2+y2=(Ax2+2Bxy+Cy2)=，于是可得 d= 从直观知道，函数 d2 的条件最大值点与最小值点是存在的，其坐标不同时为零，即联立方程组 Fx=0，F y=0 有非零解，其系数行列式应为零，即该方程一定有两个根 1， 0，它们分别对应 d2 的最大值与最小值因此，椭圆的面积为【知识模块】 多元函数微分学17 【正确答案】 把 y 看作任意给定的常数，将等式两边对 x 求积分得 z(x，y)=-xsiny- ln1-x
15、y+(y) ，其中 (y)为待定函数由 式得-siny- ln1-y+(y)=siny，故 (y)=2siny+ ln1-y因此，z(x，y)=(2-x)siny+【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 () 当(x ，y)(0 ，0)时， 当(x，y)=(0，0) 时，因 f(x，0)=0 ，于是 由对称性得当(x，y)(0，0)时()因为，考察 f(x，y)在(0 ，0) 是否可微，就是考察下式是否成立即 =o(p) (p0)，亦即当 p0 时 是否是无穷小量因为所以当p0 时 是无穷小量，因此，f(x，y)在点(0，0)处可微，且 df (0，0)=0【知识模块】 多元函数微分学
16、19 【正确答案】 由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则得由出的表达式得 对 y 求导得【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 先求 由于 f(xy)是一元函数 f(u)与二元函数 u=xy 的复合，u 是中间变量，(x+y) 是一元函数 (v)与二元函数 v=x+y 的复合，v 是中间变量由题设知 方便，由复合函数求导法则得【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 是 u=f(s，t)与 s= 复合而成的 x，y，z 的三元函数先求 du(从而也就求得 也就可求得 du，然后再由 由一阶全微分形式的不变性及全微分的四则运算法则，得 从而 因此【知识模块】 多元函数微分学2
17、2 【正确答案】 将方程两边求全微分后求出 dz，由 dz 可求得 分别对 x，y 求导求得 将方程两边同时求全微分，由一阶全微分形式不变性及全微分的四则运算法则，得 ydx+xdy+dx+dy+dz=ezdz解出 dz= (y+1)dx+(x+1)dy从而 再将 对 x 求导得代入 的表达式得 最后求出【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 由一阶全微分形式不变性，对方程(*)求全微分得 1(bdz-cdy)+2(cdx-adz)+3(ady-bdx)=0，即 (b 1-a2)dz=(b3-c2)dx+(c1-a3)dy 于是a(b3-c2)+b(c1-a3)=c【知识模块】 多元函
18、数微分学24 【正确答案】 利用一阶全微分形式不变性分别对两个方程求全微分得du=f1d(x-ut)+f2d(y-ut)+f3d(z-ut)=f1(dx-udt-tdu)+f2(dy-udt-tdu)+f3(dz-udt-tdu)，整理得1+t(f 1+f2+f3)du=f1dx+f2dy+f3dz-u(f1+f2+f2)dt (*)对题设中第二个方程求全微分得 g1dx+g2dy+g3dz=0，解得 dz= (g1dx+g2dy)将上式代入(*)，得1+t(f1+f2+f3)du= (f1g3-f3g1)dx+(f2g3-f3g2)dy-u(f1+f2+f3)dt，因此【知识模块】 多元函数
19、微分学25 【正确答案】 () 将 z 对 x，y 的偏导数转换为 z 对 u，v 的偏导数由复合函数求导法得 这里 仍是 u，v 的函数，而u，v 又是 x，y 的函数，因而又将，代入原方程得 即原方程变成()由题() ，在变量替换 u=3x+y，v=x+y 下，求解满足 的 z=z(x，y)转化为求解满足的 z=z(u，v)由 式 =0，对 v 积分得 =f(u)，其中 f(u)为任意的有连续导数的函数再对 u 积分得 z=(u)+(v)，其中 ， 为任意的有连续的二阶导数的函数回到原变量得 z=(3x+y)+(x+y)【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 用 x，y，z 表示三
20、角形各边所对的中心角，则三角形的面积 S 可用 x，y，z， R 表示为 S= R2sinx+ R2siny+ R2sinz，其中 z=2-x-y，将其代入得S= R2sinx+siny-sin(x+y)，定义域是 D=(x，y) x0，y0，x+y2现求S(x，y)的驻点： R2cosx-cos(x+y)， R2cosy-cos(x+y)解，得唯一驻点：(x，y)= 在 D 内部，又在 D 的边界上即 x=0 或 y=0 或 x+y=2 时 S(x，y)=0因此，S 在 取最大值因 x=y=，因此内接等边三角形面积最大【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 当负电荷在点(x，y，z)
21、 处时，两电荷间的引力大小为 f(x，y，z)=负电荷又在椭圆上，于是问题化为求函数 f(x，y，z)在条件 x2+y2-z=0，x+y+z-1=0 下的最大值和最小值：为简单起见，考虑函数 g(x，y，z)=x2+y2+z2，f 的最大值(或最小值 )就是 g 的最小值 (或最大值)( 差一倍数)于是问题又化为求函数 g(x，y，z)=x 2+y2+z2 在条件 x2+y2-z=0，x+y+z-1=0 条件下的最大值和最小值用拉格朗日乘子法令 F(x，y，z，)=x 2+y2+z2+(x2+y2-z)+(x+y+z-1)，解方程组 由前三个方程得 x=y，代入后两个方程得可算得 g(M1)=
22、 ，g(M 2)= 从实际问题看，函数 g 的条件最大与最小值均存在，所以 g 在点 M1，M 2 分别达到最小值和最大值，因而函数 f 在点M1，M 2 分别达到最大值和最小值，即两个点电荷间的引力当单位负电荷在点 M1处最大，在点 M2 处最小【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 z=f(e x2-y2)是 z=f(u)与 u=ex2-y2 的复合函数，由复合函数求导法可导出 与 f(u)，f(u)的关系式，从而由 =4(x2+y2)导出 f(u)的微分方程式，然后解出 f(u)令 u=ex2-y2，则有其中 =2xx2-y2=2xu， =-2yex2-y2=-2yu进而可得 =
23、4x2u2f(u)+(2u+4x2u)f(u)，=4y2u2f(u)-(2u-4y2u)f(u)所以 =4(x2+y2)u2f(u)+4(x2+y2)uf(u)由题设条件，得 u2f(u)+uf(u)-1=0这是可降阶的二阶方程，令 P=f(u)，则方程化为 u2+uP=1解此一阶线性方程将上述方程改写成uP=lnu+C1，即 P= 记 y=f(u)，于是ln2u+C1lnu+C2 (u0)，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 设 f(x，y)是 n 次齐次函数，按定义，得 f(tx，ty)=t nf(x，y)为恒等式将该式两端对 t 求导，得 xf1(tx，ty)+yf 2(tx，ty)=nt n-1f(x，y)，令 t=1，则 xf x(x，y)+yf y(x，y)=nf(x，y)现设上式成立考察 (t)=，由复合函数求导法则，可得 (t)= xf1(tx，ty)+yf2(tx，ty)- f(tx，ty)= txf1(tx，ty)+tyf 2(tx，ty)-nf(tx，ty)=0，即 (t)为常数，(t)=(1)=f(x，y)，即 f(tx，ty)=t nf(x，y).【知识模块】 多元函数微分学
