1、考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 23 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 不连续的点集为 ( )（A）y 轴上的所有点（B） x=0，y0 的点集（C）空集（D）x=0，y0 的点集2 考虑二元函数 f(x，y)的下面 4 条性质： f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续； f(x，y) 在点 (x0，y 0)处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微； f(x，y) 在点 (x0，y 0)处的两个偏导数存在 若用“P Q”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有 ( ) 3 函数 在点(0，0)处 ( )（A）连续，但偏
2、导数不存在（B）偏导数存在，但不可微（C）可微（D）偏导数存在且连续4 函数 z=x3+y3 一 3x2 一 3y2 的极小值点是 ( )（A）(0 ，0)（B） (2，2)（C） (0，2)（D）(2 ，0)5 函数 则极限 ( )（A）等于 1（B）等于 2（C）等于 0（D）不存在6 设函数 则点(0，0)是函数 z 的 ( )（A）极小值点且是最小值点（B）极大值点且是最大值点（C）极小值点但非最小值点（D）极大值点但非最大值点7 设 则 fx(2，1)= ( )8 zx(x0，y 0)一 0 和 zy(x0， y0)=0 是函数 z=z(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极值的 (
3、 )（A）必要条件但非充分条件（B）充分条件但非必要条件（C）充要条件（D）既非必要也非充分条件9 函数 在点(0，0)处 ( )（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在10 极限 ( )（A）等于 0（B）不存在（C）等于（D）存在，但不等于 也不等于 0二、填空题11 设 则在极坐标 下，12 函数 f(x， y)=ln(x2+y2 一 1)的连续区域是_13 设 则14 若函数 z=2x2+2y2+3xy+ax+by+c 在点( 一 2，3)处取得极小值一 3，则常数a，b，c 之积 abc=_15 设 u=x4+y4 一 4x2y
4、2，则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)可导，且 16 求17 求18 求19 设 f 在点(a，b)处的偏导数存在，求20 设函数 f(x，y)可微，又 f(0，0)=0 ，f x(0，0)=a ，f y(0，0)=b，且 (t)=ft，f(t，t 2)，求 (0)21 已知 其中 a0，a1，求 dz22 求 u=xyzex+y+z 的全微分23 设 其中 f，g 均可微，求24 设 其中 f， 二阶可微，求25 设 其中函数 f，g 具有二阶连续偏导数，求26 设 zf(2xy)+g(x，xy)，其中函数 f(t)二阶可导，g(u，v)具有连续二阶偏导数
5、，求27 设函数 z=f(u)，方程 确定 u 是 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，(u)连续，且 (u)1求28 设 求29 设 u=f(x， y，z)有连续偏导数，y=y(x)和 z=z(x)分别由方程 exy 一 y=0 和 ez 一xz=0 所确定，求30 设 求常数 a，使31 求二元函数 z=f(x，y)=x 2y(4 一 xy)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的极值、最大值与最小值31 某公司可通过电台及报纸两种方式做某种商品的广告，根据统计资料，销售收入 R(万元)与电台广告费 x1(万元)及报纸广告费用 x2(万元)之间的关系
6、有如下经验公式： R=15+14x 1+32x28x1x22x12 一 10x2232 在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；33 若提供的广告费用为 15 万元，求相应的最优广告策略考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 23 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 当 x0 时，f(x，y)为二元连续函数，而当 x0，yy 0 时， 所以(0，y 0)为 f(x，y)的连续点，故此函数的不连续点集为空集【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 A【试题解析】 如图 141 所示，本题考查因果关系的认知： 【知识模块】 多
7、元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 从讨论函数是否有偏导数和是否可微入手 由于所以 fx(0，0)=0 ，同理可得 fy(0，0)=0 令 =zfx(0，0) x 一 fy(0，0) y=当( x， y)沿 y=x 趋于(0，0)点时，即 不是 的高阶无穷小，因此 f(x，y)在点(0，0)处不可微，故选 (B)【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 由 和 可得到 4 个驻点(0，0)，(2，2)，(0，2) ，(2，0) 在(0，2)点和(2，0)点，均有 ACB22=36O，且 A=一 62=360，且 A=60，所以(2，2)点是极小值点，故选(B)【知
8、识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 当 xy0 时， 当(x，y)(0， 0)时，由夹逼准则，可得极限值为 0【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 B【试题解析】 由极值点的判别条件可知【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 D【试题解析】 若 则点(0，0)为其极小值点，但zx(0，0)，z y=(0，0) 均不存在【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 C【试题解析】 取 y=kx，可得 f(x，y)在(0，0)处不连续由偏导数定义，可得f(x，y)在点(0，0)处的偏导数存在【知识模块
9、】 多元函数微分学10 【正确答案】 B【试题解析】 当取 y=kx 时， 与 k 有关，故极限不存在【知识模块】 多元函数微分学二、填空题11 【正确答案】 一 sin【试题解析】 由 x=rcos，y=rsin ，得 u=cos，【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 (x，y)|x 2+y21【试题解析】 一切多元初等函数在其有定义的区域内都是连续的【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 0【试题解析】 本题属于基本计算，考研中多次考过这种表达式【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 30【试题解析】 由极值的必要条件知在点(一 2，3)处，z x=0，z y=0
10、，从而可分别求出 a，b，c 之值【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 12x 2 一 8y2【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学17 【正确答案】 由于 故【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 在 (t)=ft，f(t，t 2)中令 u=t，v=f(t，t 2)，得 (t)=f(u ，v)， 所以 (0)=f 1(0，0)+f 2(0，0)f 1(
11、0，0)+f 2(0，0)20 =a+b(a+0)=a(1+b) 【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 因 故 【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 因 ux=(1+x)yzex+y+z，u y=(1+y)xzex+y+z，u z=(1+x)xyex+y+z， 故 du=ex+y+z(1+x)yzdx+(1+y)xzdy+(1+z)xydz【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 方法一 设 z=f(u，v)+g() ，u=xy， 则 方法二 由链式法则直接求导得 【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 令 u=xy，v=x+y ，则 由于 f 及 二阶可微，
12、又 u=xy， v=x+y 均为初等函数，故满足 这里先求 较为简便一些，由复合函数的求导法则，得 【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 因为 所以 【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 由 z=f(u)，可得 在方程两边分别对 x，y 求偏导数，得 由此得于是 【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 方程 exy 一 y=0 两边关于 x 求导，有 方程 ez 一 xz=0 两边关于 x 求导，有 于是 【知识模块】 多元函数微分学30 【正确答案】 因为将式，代入 中
13、并整理得 解得 a=1【知识模块】 多元函数微分学31 【正确答案】 由方程组 得线段x=0(0y6)及点(4，0)，(2，1)而点(4，0)及线段 x=0(0y6)在 D 的边界上，只有点(2 ，1) 在 D 内部，可能是极值点又 f“xx=8y 一 6xy 一 2y2，f“ xy=8x 一 3x24xy，f“ yy=一 2x2 在点(2 ，1)处，有 且 A0，因此点(2，1) 是 z=f(x，y)的极大值点，极大值 f(2，1)=4 在 D 的边界x=0(0y6)及 y=0(0x6)上，f(x，y)=0在边界 x+y=6 上，y=6 一 x代入 f(x，y)中得，z=2x 3 一 12x
14、2(0x6) 由 z=6x2 一 24x=0 得 x=0，x=4在边界 x+y=6 上对应 x=0，4，6 处 z 的值分别为： 因此知 z=f(x，y)在边界上的最大值为 0，最小值为 f(4，2)=一 64 将边界上最大值和最小值与驻点(2，1) 处的值比较得，z=f(x，y)在闭区域 D 上的最大值为f(2，1)=4，最小值为 f(4，2)=一 64【知识模块】 多元函数微分学【知识模块】 多元函数微分学32 【正确答案】 利润函数为 z=f(x1，z2)=15+14x 1+32x28x1x22x12 一 10x22 一(x1+x2) =15+13x1+31x28x1x22x12 一 1
15、0x22 由解得 函数 z=f(x1，x 2)在点(075 ，125)处的二阶导数为由于 B2 一 AC=6480=一 160，A=一 40，所以函数 z=f(x1，x 2)在(0 75，125)处达到极大值，也即最大值所以投入电台广告费 075 万元，报纸广告费 125 万元时，利润最大【知识模块】 多元函数微分学33 【正确答案】 若广告费用为 15 万元，则需求利润函数 z=f(x1，x 2)在x1+x2=15 时的条件极值 构造拉格朗日函数 F(x 1，x 2，)=15+13x 1+31x28x1x22x12 一 10x22+(x1+x215) ， 由方程组 得 x1=0，x 2=15，即将广告费 15万元全部用于报纸广告，可使利润最大【知识模块】 多元函数微分学
