1、考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x，y)= ，则 f(x，y)在(0，0) 处( )（A）对 x 可偏导，对 y 不可偏导（B）对 x 不可偏导，对 y 可偏导（C）对 x 可偏导，对 y 也可偏导（D）对 x 不可偏导，对 y 也不可偏导2 设 fx(x0，y 0)，f y(x0，y 0)都存在，则( )（A）f(x，y)在(x 0，y 0)处连续（B） f(x，y) 存在（C） f(x，y)在(x 0，y 0)处可微（D） f(x，y 0)存在3 设 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且
2、满足 ，则函数 f(x， y)在点(0，0)处( )（A）取极大值（B）取极小值（C）不取极值（D）无法确定是否有极值二、填空题4 =_5 设 =_6 设 z= ，则 dz=_7 设 =_8 设 z=f(x，y)=x 2arctan =_9 设 f(x，y)满足 =2，f(x，0)=1，f y(x，0)=x，则 f(x，y)=_10 z= f(xy)+yg(x2+y2)，其中 f，g 二阶连续可导，则 =_11 设 ，且 f(u，v)具有二阶连续的偏导数，则 =_12 设 ，其中 f(u)可导，则 =_13 设 z=f(x2+y2+z2，xyz)且 f 一阶连续可偏导，则 =_三、解答题解答应
3、写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 u= ，求 du15 设 z=yf(x2-y2)，其中 f 可导，证明：16 设17 设 u=f(x+y，x 2+y2)，其中 f 二阶连续可偏导，求18 设 z=fxg(y)，x-y ，其中 f 二阶连续可偏导，g 二阶可导，求19 设 z=z(x，y)由 xyz=z+y+z 确定，求20 举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续21 设 f(x，y)= 讨论函数 f(x，y)在点(0，0)处的连续性与可偏导性22 讨论 f(x， y)= 在点(0，0) 处的连续性、可偏导性及可微性23 讨论 f(x， y)= 在点(0，0) 处的连续性
4、、可偏导性及可微性24 设 z=f(etsint，tant)，求25 设26 设27 设 u= ，求 du28 设函数 z=z(z，y)由方程 x2+y2+z2=xyf(z2)所确定，其中厂是可微函数，计算并化成最简形式29 设 f(t)二阶可导，g(u，v)二阶连续可偏导，且 z=f(2x-y)+g(x，xy)，求考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 不存在，所以f(x，y)在(0，0)处对 x 不可偏导；因为，所以 fy(0，0)=0 ，即 f(x，y)在(0，0)处对 y
5、可偏导，应选(B)【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，(A)不对；函数 f(x，y)=不存在，(B)不对；f(x，y)在(x 0，y 0)处可偏导是可微的必要而非充分条件，(C)不对，应选(D)，事实上由 fx(x0， y0)=【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 ，根据极限保号性，存在 0，当0，有 f(x，y)-f(0，0)0，即 f(x，y)f(0 ，0)，所以 f(x，y)在点(0，0)处取极大值，选(A)【知识模块】 多元函数微分学二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元
6、函数微分学5 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 y 2+xy+1【试题解析】 由 =2y+1(x)，因为 fy(x，0)=x ，所以 1(x)=x，即再由 =2y+x 得 f(x，y)=y 2+xy+(z)，因为 f(x，0)=1，所以 2(x)=1，故 f(x，y)=y 2+xy+1【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】
7、 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 2z【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 【试题解析】 z=f(x 2+y2+z2，xyz) 两边对 x 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学17 【正确答案】 =f1+2yf2， =f11+2xf12+2f2+2x(f21+2xf22)=f11+4xf12+4x2f22+2f2， =f11+2yf12【知识模块】
8、多元函数微分学18 【正确答案】 =g(y)f1+f2， =g(y)f1+g(y)xg(y)f11-f12+xg(y)f21-f22=g(y)f1+xg(y)g(y)f11+xg(y)-g(y)f12-f22【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 方法一 令 F=xyz-x-y-z，【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 设 f(x，y)=不存在，所以 f(x，y)在点(0，0)处对 x 不可偏导，由对称性， f(x，y)在点(0，0)处对 y 也不可偏导所以 f(x,y)在点(0，0)处可偏导，且 fx(0，0)=f(0，0)=0 因为不存在，而 f(0，0)=0，故f(x，
9、y)在点(0，0)处不连续【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 因为不存在，故函数 f(x，y)在点(0 ，0)处不连续因为，所以函数 f(x，y)在点(0，0)处对 x，y 都可偏导【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 因为=0=f(0，0)，即函数 f(x， y)在点(0，0)处连续因为 ，所以 fx(0，0)=0，根据对称性得 fy(0，0)=0，即函数 f(x，y)在(0 ，0) 处可偏导 z-fx(0，0)x-fy(0，0)y=f(x，y)-f x(0，0)x-f y(0，0)y= 因为不存在，所以函数 f(x，y)在(0，0)不可微【知识模块】 多元函数微分学2
10、3 【正确答案】 因为 f(x，y)=0=f(0，0)，所以 f(x，y)在点(0，0)处连续因为 ，所以 fx(0，0)=0，由对称性得 fy(0，0)=0，即函数 f(x，y)在点(0，0)处可偏导 z=fx(0，0)x-f y(0，0)y=f(x ，y)-f x(0，0)x-fy(0，0)y=xysin 因为所以函数 f(x，y)在点(0，0)处可微【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 x 2+y2+z2=xyf(z2)两边对 x 求偏导得解得x2+y2+z2=xyf(z2)两边对 y 求偏导得解得【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 =2f(2x-y)+g1(x，xy)+yg 2(x，xy)， =-2f(2x-y)+xg12(x，xy)+g 2(x，xy)+xyg 22(x，xy)【知识模块】 多元函数微分学
