1、考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x，y)= 则 f(x，y)在(0，0)处( )（A）连续但不可偏导（B）可偏导但不连续（C）可微（D）一阶连续可偏导2 对二元函数 z=f(x，y)，下列结论正确的是( )（A）z=f(x，y)可微的充分必要条件是 z=f(x，y)有一阶连续的偏导数（B）若 z=f(x，y)可微，则 z=f(x，y)的偏导数连续（C）若 z=f(x，y)偏导数连续，则 z=f(x，y)一定可微（D）若 z=f(x，y)的偏导数不连续，则 z=f(x，y)一定不可微3 设 f(x，y
2、)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件，则( )（A）f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 内（B） f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上（C） f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上（D）f(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上二、填空题4 设 z=xf(x+y)+g(xy，x 2+y2)，其中 f，g 分别阶连续可导和二阶连续可偏导，则=_5 设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx ，ty)=t 3f(x，y) ，且 f1(1，2)=1，f 2(1，2)=4，则f(1，2)=_6 设 z=f(x，y)二阶可偏
3、导， =2，且 f(x，0)=1 ， fy(z，0)=x，则 f(x，y)=_7 设 u=u(x，y)二阶连续可偏导，且 ，若 u(x，3x)=x ，u x(x，3x)=x 3，则uxy(x，3x)=_8 设(ay-2xy 2)dx+(bx2y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，则a=_，b=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设 u=f(x，y ，xyz)，函数 z=z(x，y)由 h(xy+z-t)dt 确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求9 设 u=u(x，y，z)连续可偏导，令10 若 ，证明：u 仅为 与 的函数11 若 ，证明：u 仅为 r 的函数12
4、 求二元函数 z=f(x，y)=x 2y(4-x-y)在由 x 轴、y 轴及 x+y=6 所围成的闭区域 D 上的最小值和最大值13 设 f(x，y)= 证明：f(x ，y)在点(0，0)处可微，但 在点(0，0)处不连续13 设 f(x，y)=14 f(x，y)在点(0，0)处是否连续 ? 15 f(x，y)在点(0，0)处是否可微 ?16 设 z=17 设 u= ，其中 f(s，t)二阶连续可偏导，求 du 及18 设函数 f(x，y，z) 一阶连续可偏导且满足 f(tx，ty，tz)=t kf(x，y，z)证明：19 设 z=20 设 u=u(x，y)由方程组 u=f(x，y，z ，t)
5、，g(y，z，t)=0 ，h(z，t)=0 确定，其中f，g， h 连续可偏导且21 设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+ 确定 u 为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，(u)连续，且 (u)1，求22 设 z=z(x，y)满足 证明：23 求 z=x2+12xy+2y2 在区域 4x2+y225 上的最值24 设二元函数 f(x，y)=x-y(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0) 处的某邻域内连续证明：函数 f(x，y)在点(0 ，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)=0 25 已知二元函数 f(x，y)满足 且 f(x，y)=g(u，v) ，若 =u2+v2
6、，求 a，b考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 =0=f(0，0)，所以 f(x，y)在(0，0)处连续；因为，所以 fx(0，0)=0 ，根据对称性，f y(0，0)=0，即 f(x，y)在(0，0)处可偏导；由，得f(x，y)在(0，0)处可微；当 (x，y)(0，0)时，f x(x，y)=则 fx(x，y)=因为不存在，所以fx(x，y)在点(0，0)处不连续，同理 fy(x，y)在点(0，0)处也不连续，选(C) 【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解
7、析】 因为若函数 f(z，y)一阶连续可偏导，则 f(z，y)一定可微，反之则不对，所以若函数 f(x，y) 偏导数不连续不一定不可微，选(C)【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(x，y)的最大点在 D 内，不妨设其为 M0，则有，因为 M0 为最大值点，所以 AC-B2 非负，而在 D 内有，即 AC-B20，所以最大值点不可能在 D 内，同理最小值点也不可能在 D 内，正确答案为(B)【知识模块】 多元函数微分学二、填空题4 【正确答案】 f+xf+x y-1g1+yxy-1lnxg1+yx2y-1lnxg“11+2y2xy-1g12+2xy+1lnxg“
8、21+4xyg“22【试题解析】 由 z=xf(x+y)+g(x2，x 2+y2)，得 =f(x+y)+xf(x+y)+yxy-1g1(xy，x 2+y2)+2xg2(xy，x 2+y2) =f+xf+xy-1g1+yxy-1lnxg1+yx2y-1lnxg“11+2y2xy-1g12+2xy+1lnxg“21+4xyg“22【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 3【试题解析】 f(tx，ty)=t 3f(x，y)两边对 t 求导数得 xf 1(tx，ty)+yf 2(tx，ty)=3t2f(x，y)， 取 t=1，x=1，y=2 得 f1(1，2)+2f 2(1，2)=3f(1 ，2
9、)，故 f(1，2)=3【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 y 2+xy+1【试题解析】 由 =2y+(x)，因为 fy(z，0)=x ，所以 (x)=x，即=2y+x，z=y 2+xy+C，因为 f(x，0)=1，所以 C=1，于是 z=y2+xy+1【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 【试题解析】 u(x，3x)=x 两边对 x 求导，得 ux(x，3x)+3u y(x，3x)=1，再对 x 求导，得 uxx(x，3x)+6u yy(x，3x)+9u yy(x，3x)=0由 ，得10u“xx(x，3x)+6u xy(x，3x)=0，u x(x，3x)=x 3 两边对 x
10、 求导，得 uxx(x，3x)+3uxy(x，3x)=3x 2，解得 uxy(x，3x)=【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 4,-2【试题解析】 令 P(x，y)=ay-2xy 2，Q(x ，y)=bx 2y+4x+3，因为(ay-2xy 2)dx+(bx2y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，所以 =a-4xy，于是 a=4，b=-2 【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 因为所以 u 是不含 r 的函数，即 u 仅为 与 的函数【知识模块】
11、 多元函数微分学11 【正确答案】 因为=t(r2coss2cossin)+t(r2sin2cossim)+t(-r2sincos)=0，故 u 仅是 r 的函数，即 u 不含 与 【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 (1)求 f(x，y)在区域 D 的边界上的最值， 在 L1：y=0(0x6) 上，z=0； 在 L2： x=0(0y6)上，z=0； 在 L3：y=6-x(0x6)上，z=-2x 2(6-x)=2x3-12x2由 =6x2-24x=0 得 x=4，因为 f(0，6)=0，f(6，0)=0，f(4 ，2)=-64，所以f(x，y)在 L3 上最小值为-64，最大值为
12、0(2)在区域 D 内，由得驻点为(2，1)，因为 AC-B20 且 A0，所以(2，1)为 f(x，y) 的极大点，极大值为 f(2，1)=4，故 z=f(x，y)在 D 上的最小值为 m=(4，2)-64 ，最大值为 M=f(2，1)=4【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 因为所以 f(x，y)在点(0，0)处对 x，y 都可偏导，且 fx(0，0)=f y(0，0)=0f(x，y)-f(0，0)-f x(0，0)x-f y(0，0)y= 2sin 因为 ，所以 f(x，y)在(0，0)处可微当 (x，y)(0，0)时，【知识模块】 多元函数微分学【知识模块】 多元函数微分学1
13、4 【正确答案】 因为 =0=f(0，0)，故 f(x，y)在点(0，0)处连续【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 f(x ，y)=f(x，y)=f(0，0)=【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 由【知识模块】 多元函数微分学17 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 令 u=tx， v=ty，w=tz ，f(tx ，ty，tz)=t kf(x,y，z)，两边对 t 求导得【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中x，y 为自变量，由 u
14、=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0 ，得三个方程两边对 y 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 z=f(u)两边对 x 及 y 求偏导，得【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 由【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 当 4x2+y225 时，由 得驻点为(x，y)=(0，0) 当 4x2+y2=25 时，令 F=x2+12xy+2y2+2(4x2+y2-25)，由因为z(0， 0)=0，z(2，3)=-50， ，所以目标函数的最大和最小值分别为【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 (必要性)设 f(x，y)在点(0，0)处可微，则 fx(0，0)，f y(0，0)存在(充分性) 若 (0，0)=0，则 fx(0，0)=0 ，f y(0，0)=0【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学
