1、考研数学二（无穷级数）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 级数 (常数 0)( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性与 有关2 设 ，则级数( )3 设常数 0，且（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性与 A 有关4 如果级数（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）前三种结果都有可能5 设有以下命题：以上命题正确的是( )（A） （B） （C） （D） 6 设 为正项级数，则下列结论正确的是( )7 设 下列命题正确的是( )8 设级数 收敛，则级数( )9 设 考虑以下命题： 其中正确的是( )（A） （
2、B） （C） （D） 10 设幂级数 的收敛半径为 R，则下列幂级数中收敛半径仍为 R 的是( )11 幂级数 的收敛域为( )二、填空题12 级数13 已知幂级数 在 x=1 处发散，在 x=5 处收敛，则幂级数的收敛域为_14 设幂级数 的收敛半径为 3，则幂级数 的收敛区间为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 判别下列级数的敛散性：16 判别下列级数的敛散性17 设正项数列a n单调减少，且 是否收敛，说明理由18 设 f(x)在点 x=0 某一邻域内具有二阶连续导数，且绝对收敛19 设 f(x)= 在0，1上收敛，证明级数 绝对收敛20 没有两条抛物线 记它们交点
3、的横坐标的绝对值为an，(1)求这两条抛物线所围成的平面图形的面积 Sn；(2)求级数 的和21 设 an 为曲线 y=xn 与 y=xn+1(n=1，2，)所围区域的面积，记求 S1，S 2 的值22 求数项级数 的和23 求级数 的和24 设 an= (1)求级数 (an+an+2)的值；(2)试证对任意的正数 ，25 求级数 的和26 求下列函数项级数的收敛域：27 求下列幂级数的收敛域：28 求幂级数 的和函数29 求幂级数 的和函数考研数学二（无穷级数）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由于收敛，即
4、原级数绝对收敛，应选 C【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 n时发散，故应选 C【知识模块】 无穷级数3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 绝对收敛，由绝对收敛与收敛的关系，即绝对收敛的级数必收敛知应选(C)【知识模块】 无穷级数4 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 无穷级数5 【正确答案】 B【试题解析】 如果令 un=(一 1)n，则 发散，故不正确 去掉前 1000 项，不改变敛散性，故 正确如果发散，所以正确，令 un=(一 1)n，v n=(一 1)n+1，则显然不正确，综上应选(B)【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 B【试题解析】 【知识
5、模块】 无穷级数7 【正确答案】 B【试题解析】 又绝对收敛的级数必收敛，而收敛级数的和或差都收敛【知识模块】 无穷级数8 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 无穷级数9 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 无穷级数10 【正确答案】 A【试题解析】 对于选项(C)，由于缺少奇次幂项，由比值判别法，有 当 x2R ，即 时收敛，收敛半径为 同理可得(D)选项的收敛半径也为 因此应选(A) 【知识模块】 无穷级数11 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 无穷级数二、填空题12 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 无穷级数13 【正确答案】 (一 4，0【试题解析】
6、 由于 在 x=1 处发散，由阿贝尔定理，级数收敛半径R3 一 1=2又因为该级数在 x=5 收敛，从而 R53=2，故 的收敛半径 R=2，收敛域为(1，5，所以 的收敛域为一 2x+22，即收敛域为(一 4，0【知识模块】 无穷级数14 【正确答案】 (一 2，4)【试题解析】 由已知条件， 的收敛半径为 3，即 又的收敛半径也为 3，从而收敛区间为一 3x一 13，即收敛区间为(一 2，4)【知识模块】 无穷级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (1)当 x0 时，sinxx，且又 为收敛的几何级数，由比较判别法的极限形式，原级数收敛当 z9 时，f(
7、x) 0，即 n9 时， 由莱布尼茨判别法，原级数条件收敛【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 (1)由于x n是单调递增且有界的正数列，由单调有界准则，【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 由于正项数列a n单调减少，且 an0，由单调有界准则，有若 a=0，则由莱布尼茨定理 收敛，与已知矛盾，故a0【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 因为 f(x)在点 x=0 某一邻域内具有二阶连续导数，且 所以 f(0)=0,f(0)=0，且在某一邻域内，存在正数 M，使得 |f”(x)|M，由麦克劳林公式，有 因为 收敛，由比较判别法 绝对收敛【知识模块】 无穷级数19 【正确答案】 由
8、于 f(x)= 在0，1上收敛，因而 x=1 时，级数 收敛，所以 ak 有界不妨设|a k|M则 n1 时，【知识模块】 无穷级数20 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数21 【正确答案】 由曲线方程得交点(0，0)，(1，1)于是【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 考虑幂级数 ，收敛域为(一 1，1)，显然【知识模块】 无穷级数23 【正确答案】 考虑幂级数 ，收敛域为(一，+)【知识模块】 无穷级数24 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数25 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数26 【正确答案】 又 t=1时， 发散，所以原级数收敛域即 x一 1 或 (2)将戈看成 p，即是
9、 p 级数的形式，此时比值判别法失效 当，由莱布尼茨定理，原级数条件收敛(3)当|x|=1 时，级数无意义当|x|1 时，由比值判别法，有 故当|x|1 时，所给级数是绝对收敛的综上可得原级数的收敛域为(一 1，1) 【知识模块】 无穷级数27 【正确答案】 当x=-1 时，级数为 且 unun+1，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，因此原级数的收敛域为-1，1)(3)由比值判别法，有(4)由比值判别法，有 故当 x24，即|x|2 时，原级数收敛 综上，原级数收敛域为(一 2，2)【知识模块】 无穷级数28 【正确答案】 设 S(x)= ，收敛域为( 一 1，1)，又S(0)=0，从而【知识模块】 无穷级数29 【正确答案】 设 S(x)= 收敛域为 一 1，1即 S(x)=一 ln(1 一 x)，一 1x1， 0xS(t)dt=S(x)一 S(0)=一 0xln(1 一 t)dt=x+(1 一 x)ln(1 一 x) 又 S(0)=0，从而 S(x)=x+(1 一 x)ln(1 一 x)，一 1x1当 x=1 时，级数化为其和为 1【知识模块】 无穷级数
