1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则 A 的伴随矩阵 A*的特征值之一是( )（A） 1 A n。（B） 1 A。（C） A。（D）A n。2 设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵( A2)1 有特征值( )3 已知 1=(一 1，1，a，4) T， 2=(一 2，1，5，a) T， 3=(a，2，10，1) T 是四阶方阵A 的三个不同特征值对应的特征向量，则( )（A）a5 。（B） a一 4。（C） a一 3。（D）a一 3 且
2、a一 4。4 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P 1 AP)T 属于特征值 的特征向量是( )（A）P 1 。（B） PT。（C） P。（D）(P 1 )T。5 设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是( )（A）若 是 AT 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。（B）若 是 A*的特征向量，那么 是 A 的特征向量。（C）若 是 A2 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。（D）若 是 2A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。6 已知矩阵 A= ，那么下列矩阵中与矩阵A 相似的矩阵个数为( )（A）1
3、。（B） 2。（C） 3。（D）4。7 下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( )8 已知 P1 AP= ， 1 是矩阵 A 的属于特征值 =2 的特征向量， 2， 3 是矩阵 A 的属于特征值 =6 的特征向量，则矩阵 P 不可能是( )（A）( 1，一 2， 3)。（B） (1， 2+3， 2 一 23)。（C） (1， 3， 2)。（D）( 1+2， 1 一 2， 3)。二、填空题9 设 A= 有二重特征根，则 a=_。10 设矩阵 A= 有一特征值 0，则 a=_，A 的其他特征值为_。11 已知 A= ，A *是 A 的伴随矩阵，那么 A*的特征值是_。12 设 x 为三维单位列向量，
4、E 为三阶单位矩阵，则矩阵 ExxT 的秩为_。13 已知 =(a，1，1) T 是矩阵 A= 的逆矩阵的特征向量，则a=_。14 设 A 为二阶矩阵， 1， 2 为线性无关的二维列向量，A 1=0，A 2=21+2，则A 的非零特征值为_。15 已知矩阵 A= 有两个线性无关的特征向量，则 a=_。16 已知矩阵 A= 和对角矩阵相似，则 a=_。17 设 A 是三阶实对称矩阵，特征值分别为 0，1， 2，如果特征值 0 和 1 对应的特征向量分别为 1=(1，2，1) T， 2=(1，一 1，1) T，则特征值 2 对应的特征向量是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17
5、 设向量 =(a1，a 2，a n)T，=(b 1，b 2，b n)T 都是非零向量，且满足条件T=0，记 n 阶矩阵 A=T。18 求 A2；19 求矩阵 A 的特征值和特征向量。20 设矩阵 ，B=P 1 A*P，求 B+2E 的特征值与特征向量，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 为三阶单位矩阵。21 设 A 为正交矩阵，且A=一 1，证明：=一 1 是 A 的特征值。22 设矩阵 A 与 B 相似，且 ，求可逆矩阵 P，使 P1 AP=B。22 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的三维列向量，且满足A1=1+2+3，A 2=22+3，A 3=22+33。23 求矩阵 A 的
6、特征值；24 求可逆矩阵尸使得 P 1AP=A。25 已知矩阵 A 与 B 相似，其中 。求 a，b 的值及矩阵P，使 P1 AP=B。25 在某国，每年有比例为 p 的农村居民移居城镇，有比例为 q 的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为 xn 和 yn(xn+yn=1)。26 求关系式 中的矩阵 A；27 设目前农村人口与城镇人口相等，即 。28 已知 A 是三阶实对称矩阵，满足 A4+2A3+A2+2A=O，且秩 r(A)=2，求矩阵 A 的全部特征值，并求秩 r(A+E)。28 设 A，B 为同阶方阵。
7、29 若 A，B 相似，证明 A，B 的特征多项式相等；30 举一个二阶方阵的例子说明(I)的逆命题不成立；31 当 A，B 均为实对称矩阵时，证明(I)的逆命题成立。32 设三阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1=2=6 是 A 的二重特征值，若 1=(1，1，0)T， 2=(2，1，1) T， 3=(一 1，2，一 3)T 都是 A 属于 =6 的特征向量，求矩阵 A。考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 17 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 设向量 x(x0)是与 对应的特征向量，则 Ax=x。两边左乘 A*
8、，结合 A*A=AE 得 A*Ax=A*(x)，即Ax=A *x，从而 A*x= x，可见 A*有特征值 =1 A。所以应选 B。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 为 A 的非零特征值，所以 2 为 A2 的特征值， 为(A 2)1 的特征值。因此( A2)1 的特征值为 3 。所以应选 B。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 A【试题解析】 矩阵 A 的不同特征值对应的特征向量必线性无关，所以r(1， 2， 3)=3。由于所以a5。故选 A。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 B【试题解析】 设 是矩阵 (PTAP
9、)T 属于 的特征向量，并考虑到 A 为实对称矩阵AT=A，有 (P 1 AP)T=，即 PTA(P1 )T=。 把四个选项中的向量逐一代入上式替换 ，同时考虑到 A=，可得选项 B 正确，即 左端=P TA(P1 )T(PT)=PTA=PT=PT=右端。 所以应选 B。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量5 【正确答案】 D【试题解析】 如果 是 2A 的特征向量，即(2A)=，那么 A= ，所以 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量。由于(E A)x=0 与(E AT)x=0 不一定同解，所以 不一定是 AT 的特征向量。例如 A= 。上例还说明当矩阵 A 不可逆时，A *的特征向量不一定是
10、 A 的特征向量；A 2 的特征向量也不一定是 A 的特征向量。所以应选 D。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 C【试题解析】 二阶矩阵 A 有两个不同的特征值 1 和 3，因此 ，那么只要和矩阵 有相同的特征值，它就一定和 相似，也就一定与 A 相似。 和分别是上三角和下三角矩阵，且特征值是 1 和 3，所以它们均与 A 相似，对于和，由 可见与 A 相似，而与 A 不相似。所以应选 C。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A 是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化。选项 B 是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有
11、三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化。选项 C 是秩为 1 的矩阵，由 EA= 3 一 42，可知矩阵的特征值是 4，0，0。对于二重根 =0，由秩 r(0E 一 A)=r(A)=1 可知齐次方程组(OE 一 A)x=0 的基础解系有 31=2 个线性无关的解向量，即 =0 时有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化。选项 D 是上三角矩阵，主对角线上的元素 1，1，一 1 就是矩阵的特征值，对于二重特征值 =1，由秩可知齐次线性方程组(E 一 A)x=0 只有 32=1 个线性无关的解，即 =1 时只有一个线性无关的特征向量，故矩阵必不能相似对角化，所以应当选 D。【知识模块
12、】 矩阵的特征值和特征向量8 【正确答案】 D【试题解析】 由题意可得 A1=21，A 2=62，A 3=63。 因 2 是属于特征值 =6的特征向量，所以一 2 也是属于特征值 =6 的特征向量，故选项 A 正确。同理，选项 B，C 也正确。 由于 1， 2 是属于不同特征值的特征向量，所以 1+2， 1一 2 均不是矩阵 A 的特征向量，故选项 D 一定错误。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题9 【正确答案】 2 或【试题解析】 EA= =( 一 2)2 一 2 一 2(a 一 2)=0。如果 =2 是二重根，则 =2 是 2 一 2 一 2(a2)=0 的单根，故 a=2。如
13、果 2 一 2一 2(a2)=0 是完全平方，则有=4+8(a 一 2)=0，满足 =1 是一个二重根，此时a= 。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量10 【正确答案】 1；2【试题解析】 因 A 有一个零特征值，所以A=2(a 一 1)=0，即 a=1。A 的特征多项式为EA= =( 一 2)2=0，解得 A 的其他特征值为 =2(二重)。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 1，7，7【试题解析】 由矩阵 A 的特征多项式EA = =( 一 7)( 一 1)2 可得矩阵 A 的特征值为 7，1，1。所以 A=711=7 。如果 A=，则有 A*= ，因此 A*的特征值是
14、 1，7，7。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 2【试题解析】 由题设知，矩阵 xxT 的特征值为 0，0，1，故 E 一 xxT 的特征值为1，1，0。又由于实对称矩阵是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，即 r(ExxT)=2。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 一 1【试题解析】 设 是矩阵 A1 属于特征值 的特征向量，则 A1 =，即=A，于是 解得 =一 ，a=一 1。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 1【试题解析】 根据题设条件，得 A(1， 2)=(A1，A 2)=(1， 2) 。记P=(1， 2)，因
15、 1， 2 线性无关，故 P=(1， 2)是可逆矩阵。由 AP= ，可得 P1 AP= ，则 A 与 B 相似，从而有相同的特征值。因为EB= =( 一 1)，所以 A 的非零特征值为 1。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 一 1【试题解析】 A 的特征多项式为EA= =(+1)3，所以矩阵 A 的特征值是一 1，且为三重特征值，但是 A 只有两个线性无关的特征向量，故 r(一 E 一 A)=1，因此 a=一 1。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量16 【正确答案】 一 2【试题解析】 因为E A= =( 一 2)( 一 3)2，所以矩阵A 的特征值分别为 2，3，3。
16、因为矩阵 A 和对角矩阵相似，所以对应于特征值 3 有两个线性无关的特征向量，即(3E 一 A)x=0 有两个线性无关的解，因此矩阵 3EA 的秩为 1。 可见 a=一 2。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案】 t(一 1，0，1) T，t0【试题解析】 设所求的特征向量为 =(x1，x 2，x 3)T，因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的，故有 所以对应于特征值 2的特征向量是 t(一 1，0，1) T，t0。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答案】 由 T=0
17、可知 与 正交，则 A2=(T)(T)=(T)T=0。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】 设 为 A 的特征值，则 2 为 A2 的特征值。因 A2=O，所以 A2 的特征值全为零，故 =0，即 A 的特征值全为零，于是方程组 Ax=0 的非零解就是A 的特征向量。不妨设 a10，b 10，对 A 作初等行变换得则 Ax=0 的基础解系为( 一 b2，b 1，0，0) T，(一b3，0，b 1，0) T，(一 bn，0，0，b 1)T，故矩阵 A 的特征向量为 k1(一b2，b 1，0，0) T+k2(一 b3，0，b 1，0) T+kn1 (一 bn，0，0，b 1)T
18、其中k1，k 2，k n1 不全为零。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 设 A 的特征值为 ，对应特征向量为 ，则有 A=。由于A=70 ，所以 0。又因 A*A=AE，故有 A*= 。于是有 B(P1 )=P1 A*P(P1 )= (P1 )，(B+2E)P 1 =( +2)P1 。因此， +2 为 B+2E的特征值，对应的特征向量为 P1 。由于EA= =(一 1)2( 一 7)，故 A 的特征值为 1=2=1， 3=7。当 1=2=1 时，对应的线性无关的两个特征向量可取为 。当 3=7 时，对应的一个特征向量可取为 3= 。因此，B+2E的三个特征值分别为 9，9
19、，3。对应于特征值 9 的全部特征向量为k1P1 1+k2P1 2= ，其中 k1， k2 是不全为零的任意常数；对应于特征值 3 的全部特征向量为 k3P1 3= ，其中 k3 是不为零的任意常数。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量21 【正确答案】 要证 =一 1 是 A 的特征值，需证A+E =0。 因为A+E=A+A TA=(E+A T)A=E+A TA=一A+E，所以A+E=0，故 =一 1 是 A 的特征值。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 由 AB 有 于是得 a=5，b=6。且由AB，知 A 与 B 有相同的特征值，于是 A 的特征值是 1=2=2， 3
20、=6。当 =2 时，解齐次线性方程组(2E 一 A)x=0 得到基础解系为 1=(1，一 1，0) T， 2=(1，0，1)T，即属于 =2 的两个线性无关的特征向量。当 =6 时，解齐次线性方程组(6E A)x=0，得到基础解系是(1，一 2，3) T，即属于 =6 的特征向量。令P=(1， 2， 3)= ，则有 P1 AP=B。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 由已知可得 A(1， 2， 3)=(1+2+3，2 2+3，2 2+33)=(1， 2， 3) ，记 P1=(1， 2， 3)，B= ，则有 AP1=P1B。由于 1， 2，
21、 3 线性无关，即矩阵 P1 可逆，所以 P11 AP1=B，因此矩阵 A 与 B 相似，则EB= =( 一 1)2( 一 4)，矩阵 B 的特征值是1，1，4，故矩阵 A 的特征值为 1，1，4。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 由(E B)x=0，得矩阵 B 对应于特征值 =1 的特征向量 1=(一1，1，0) T， 2=(一 2，0，1) T；由(4EB)x=0，得对应于特征值 =4 的特征向量3=(0，1，1) T。令 P2=(1， 2， 3)= ，得 P21 BP2= ，则P21 P11 AP1P2= ，即当 P=P1P2=(1， 2， 3) =(一 1+2，一
22、 21+3， 2+3)时，有 P1 AP= 。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25 【正确答案】 由 AB，得 ，解得 a=7，b=一 2。由矩阵 A 的特征多项式EA= =2 一 4 一 5，得 A 的特征值是 1=5， 2=一1。它们也是矩阵 B 的特征值。分别解齐次线性方程组(5EA)x=0 ，(一 EA)x=0，可得到矩阵 A 的属于 1=5， 2=一 1 的特征向量依次为 1=(1，1) T， 2=(一2，1) T。分别解齐次线性方程组(5E 一 B)x=0，(一 E 一 B)x=0，可得到矩阵 B 的属于 1=5， 2=一 1 的特征向量分别是 1=(一 7，1) T， 2=(
23、一 1，1) T。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量26 【正确答案】 由题意，人口迁移的规律不变 xn1 =xn+qyn 一 pxn=(1 一 p)xn+qyn，y n1 =yn+pxn 一 qyn=pxn+(1 一 q)yn，用矩阵表示为【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量27 【正确答案】 得 A 的特征值为 1=1， 2=r，其中 r=1 一 pq。当 1=1 时，解方程(AE)x=0，得特征向量 p1=；当 2=r 时，解方程(ArE)x=0，得特征向量 p2= 。令 P=(p1，p 2)=，则 P1 AP= 。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向
24、量28 【正确答案】 设 是矩阵 A 的任一特征值，(0)是属于特征值 的特征向量，则 A=，于是 An=n。用 右乘 A42A 3+A2+2A=O，得( 4+23+2+2)=0。因为特征向量 0，故 4+23+2+2=(+2)(2+1)=0。由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵 A 的特征值是 0 或一 2。由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩r(A)= =2，所以 A 的特征值是 0，一 2，一 2。因，所以 r(A+E)= =3。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量29 【正确答案】 若 A，B 相似，那么存在可逆矩阵 P，使 P1 AP=B，则 E
25、 一B=E 一 P1 AP= P 1 EPP1 AP = P 1 (E 一 A)P=P 1 EAP=E A。 所以 A、B 的特征多项式相等。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量30 【正确答案】 令 ，那么E 一 A= 2=E 一B。但是 A，B 不相似。否则，存在可逆矩阵 P，使 P1 AP=B=O，从而A=POP1 =O 与已知矛盾。也可从 r(A)=1，r(B)=0，知 A 与 B 不相似。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量31 【正确答案】 由 A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵，若 A，B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为 1， n，则有所以存在可逆矩阵 P，Q
26、 ，使 P1 AP=Q BQ。因此有(PQ 1 )1 A(PQ1 )=B，矩阵 A 与 B 相似。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量32 【正确答案】 由 r(A)=2 知，A=0，所以 =0 是 A 的另一特征值。因为1=2=6 是实对称矩阵的二重特征值，故 A 属于 =6 的线性无关的特征向量有两个，因此 1， 2， 3 必线性相关，显然 1， 2 线性无关。设矩阵 A 属于 =0 的特征向量 =(x1，x 2，x 3)T，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有解得此方程组的基础解系 =(一 1，1，1) T。根据A(1， 2，)=(6 1，6 2，0)得 A=(61，6 2，0)( 1， 2，) 1 =。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
