1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆（B） r(A) n，r(B) n 的充分必要条件是 r(AB) n（C） AX=0 与 BX=0 同解的充分必要条件是 r(A)=r(B)（D）AB 的充分必要条件是 E-AE-B2 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 A 的特征值，则 A*的一个特征值为 ( )3 设三阶矩阵 A 的特征值为 1=-1， 2=0， 3=1，则下列结论不正确的是 ( )（A）矩阵 A 不可
2、逆（B）矩阵 A 的迹为零（C）特征值-1，1 对应的特征向量正交（D）方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量4 设 A 为三阶矩阵，方程组 AX=0 的基础解系为 1， 2，又 =-2 为 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 3，下列向量中是 A 的特征向量的是( )（A） 1+3（B） 33-1（C） 1+22+33（D）2 1-32二、填空题5 设 A 是三阶矩阵，其三个特征值为 ，则4A *+3E=_6 设 A 为 n 阶可逆矩阵，若 A 有特征值 0，则(A *)2+3A*+2E 有特征值_7 设 A 为三阶矩阵，A 的各行元素之和为 4，则 A 有特征值_，对应的特
3、征向量为_8 设 A 为三阶实对称矩阵，且 1= 为 A 的不同特征值对应的特征向量，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求矩阵 A= 的特征值与特征向量9 设 A= 为 A 的特征向量10 求 a，b 及 A 的所有特征值与特征向量11 A 可否对角化? 若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵12 设 A= ，求 A 的特征值，并证明 A 不可以对角化13 设 A= ，B A *，求 B+2E 的特征值14 设 ATA=E，证明：A 的实特征值的绝对值为 114 设 0 为 A 的特征值15 证明：A T 与 A 特征值相等；16 求 A2，A
4、2+2A+3E 的特征值；17 若A0，求 A-1，A *，E-A -1 的特征值18 设 X1，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1， 2 的特征向量证明：X 1+X2 不是A 的特征向量19 = ，求A 的全部特征值，并证明 A 可以对角化19 设向量 =(a1，a 2，a n)T，其中 a10，A= T20 求方程组 AX=0 的通解；21 求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量22 设 = ，A= T，求6E-A n23 设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=3，其对应的线性无关的特征向量分别为 1= ，求 An24 设 A 是 n 阶矩阵， 是 A
5、 的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A2 的特征值，X 为特征向量若 A2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否一定为 A 的特征向量? 说明理由24 设 A，B 为 n 阶矩阵25 是否有 ABBA；26 若 A 有特征值 1，2，n，证明：ABBA26 设 为 n 维非零列向量，A=E-27 证明：A 可逆并求 A-1；28 证明： 为矩阵 A 的特征向量考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 若 AB，则存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B， 于是
6、 P-1(EA)P=E-P-1AP=E-B，即 E-AE-B； 反之，若 E-AEB，即存在可逆矩阵P，使得 P-1(E-A)P=E=B， 整理得 E-P-1AP=E-B，即 P-1AP=B，即 AB，应选(D)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 可逆，所以 0，令 AX=E，则 A*AX=A*X，从而有 A*X=，选(B)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 C【试题解析】 由 1=-1， 2=0， 3=1 得A =0 ，则 r(A)3，即 A 不可逆，(A)正确；又 1+2+3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为 A 的三个特征
7、值都为单值，所以 A的非零特征值的个数与矩阵 A 的秩相等，即 r(A)=2，从而 AX=0 的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C) 不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选(C)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AX=0 有非零解，所以 r(A)n，故 0 为矩阵 A 的特征值，1， 2 为特征值 0 所对应的线性无关的特征向量，显然特征值 0 为二重特征值，若1+2 为属于特征值 0 的特征向量，则有 A(1+3)=0(1+3)，注意到 A(1+3)=01-23=-23，故-2 3=0
8、(1+3)或 01+(0+2)3=0，因为 1， 3 线性无关，所以有 0=0， 0+2=0，矛盾，故 1+3 不是特征向量，同理可证 33-1 及 1+22+33也不是特征向量，显然 21-32 为特征值 0 对应的特征向量，选(D)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题5 【正确答案】 10【试题解析】 A= ，4A *+3E 的特征值为5，1，2，于是4A *+3E=10【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 【试题解析】 因为 A 可逆，所以 00，A *对应的特征值为 ，于是(A *)2+3A*+2E 对应的特征值为【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确
9、答案】 4,【试题解析】 因为 A 的各行元素之和为 4，所以 A ，于是 A 有特征值4，对应的特征向量为【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【正确答案】 3【试题解析】 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以有 6+3a+3-6a=0， a=3【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 由E-A=(-1) 2(-4)=0 得 1=2=1， 3=4当 =1 时，由(E-A)X=0 得属于特征值 =1 的线性无关的特征向量为 1= ，全部特征向量为 k11+k22(k1，k 2 不同时为 0)；当 =4 时，由 (4E-
10、A)X=0 得属于特征值=4 的线性无关的特征向量为 3= 全部特征向量为 k3(k0)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量10 【正确答案】 由 A= 得 解得a=1，b=1，=3由E-A= =(-2)(-3)=0 得1=0， 2=2， 3=3【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 因为 A 的特征值都是单值，所以 A 可相似对角化将 1=0 代入(E-A)X=0 得 1=0 对应的线性无关特征向量为 1= 将 2=2 代入(E-A)X=0 得2=2 对应的线性无关特征向量为 2= 将 3=3 代入(E-A)X=0 得 3=3 对应的线性无
11、关特征向量为 3=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 由E-A= =(-2)3=0 得 =2(三重)，因为r(2E-A)=1，所以 =2 只有两个线性无关的特征向量，故 A 不可以对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 A= =7，由E-A=(-7)(-1)2=0 得1=7， 2=3=1，A *对应的特征值为 即 1=1， 2=3=7因为BA *，所以 B 的特征值也为 1=1， 2=3=7，从而 B+2E 的特征值为 3，9，9【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 设 AX=X，则 XTAT=XT，从而有 XTATAX=XTAX=2
12、XTX，因为 ATA=E， 所以( 2-1)XTX=0，而 XTX=X 20，所以 2=1，于是=1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 因为E-A T=(AE-A) T= AE-A，所以 AT 与 A 的特征值相等【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量16 【正确答案】 因为 A=0(0)，所以 A2=0A=，于是 A2，A 2+2A+3E 的特征值分别为【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案】 因为A= 12 n0，所以 00，由 A=0 得 A-1= 由A*A=A 得 A*= 于是 A-1，A *，E-A -1 的特征值分
13、别为【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答案】 反证法 不妨设 X1+X2 是 A 的属于特征值 的特征向量，则有A(X1+X2)=(X1+X2)， 因为 AX1=1X1，AX 2=2X2，所以( 1-)X1+(2-)X2=0， 而X1，X 2 线性无关，于是 1=2=，矛盾，故 X1+X2 不是 A 的特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】 令 T=k，则 A2=kA， 设 AX=E，则 A2X=2X=KX，即 (-k)X=0， 因为 X0，所以矩阵 A 的特征值为 =0 或 =k 由 1+ n=tr(A)且 tr(A)=k 得 1= n-1=0， n=k
14、 因为 r(A)=1，所以方程组(0E-A)X=0 的基础解系含有n-1 个线性无关的解向量， 即 =0 有 n-1 个线性无关的特征向量，故 A 可以对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 因为 r(A)=1，所以 AX=0 的基础解系含有 n-1 个线性无关的特征向量，其基础解系为则方程组 AX=0 的通解为 k11+k22+kn-1n-1(k1，k 2，k n-1 为任意常数) 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量21 【正确答案】 因为 A2=kA，其中 k=(，)= ，所以 A 的非零特征值为 k，因为 A=T=k，所以非零特
15、征值 k 对应的线性无关的特征向量为 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 方法一 由 An=(T)( T)=2n-1 得6E-A *=6 2(6-2n)方法二 A=T，由 E-A= 2(-2)=0 得 1=2=0， 3=2，因为 6E-An 的特征值为 6，6，6-2 n，所以6E-A n=6 2(6-2n)方法三 因为 A 是实对称矩阵且1=2=0， 3=2，所以存在可逆阵 P，使得 P-1AP=62(6-2n)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 方法一 令 P=方法二 令 =x11+x22+x33，解得 x1=2，x 2=2，x 3=1，则 An=2
16、An1-2An2+An3=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 由 AX=X 得 A2X=A(AX)=A(X)=AX=2X 可知 2 是 A2 的特征值，X 为特征向量若 A2X=X，其中 A= ，A 2=O，A 2 的特征值为 =0，取X= 显然 A2X=0X，但 AX= 0X，即 X 不是 A 的特征向量，因此结论未必成立【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25 【正确答案】 一般情况下，AB 与 BA 不相似，如因为 r(AB)r(BA)，所以AB 与 BA 不相似【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量26 【正确答案】 因为An!0，所以 A 为可逆矩阵，取 P=A，则有 p-1ABP=BA，故 ABBA 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量27 【正确答案】 因为 A2=所以 A 可逆且 A-1=A【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量28 【正确答案】 因为 A= =-2=-，所以 是矩阵 A 的特征向量，其对应的特征值为-1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
