1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，若 AB=E，则( )（A）r(A)=m，r(B)=m（B） r(A)=m，r(B)=n （C） r(A)=n，r(B)=m （D）r(A)=n，r(B)=n 2 设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2+A=O，若 A 的秩为 3，则 A 相似于( )（A）（B）（C）（D）3 设矩阵 ，矩阵 B 满足 AB+B+A+2E=0，则B+E =( )（A）一 6（B） 6（C）一 （D）4 设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列运算正确的是 (
2、 )（A）(A+B)(A B)=A2 一 B2（B） (A+B)一 1=A 一 1+B 一 1（C） (A+B)2=A2+2AB+B2（D）(AB) *=B*A*5 设 A=E 一 2T，其中 =(x1，x 2，x n)T，且有 T=1则 (1)A 是对称阵 (2)A2 是单位阵 (3)A 是正交阵 (4)A 是可逆阵 上述结论中，正确的个数是( )（A）1（B） 2（C） 3（D）46 设 那么(P -1)2010A(Q2011)-1=( )（A）（B）（C）（D）7 设 则必有( )（A）AP 1P2=B（B） AP2P1=B（C） P1P2A=B（D）P 2P1A=B8 设 n 维行向量
3、 矩阵 A=I 一 T，B=I+2 T，其中 I 为 n 阶单位矩阵，则 AB 等于( )（A）O（B）一 I（C） I.（D）I+ T9 设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则( )（A）A 与 B 有相同的特征值（B） A 与 B 有相同的秩（C） A 与 B 有相同的特征向量（D）A 与 B 有相同的行列式二、填空题10 设 ，B=(E A)(E+2A)一 1，则(B 一 E)一 1=_11 设矩阵 A 的伴随矩阵 ，则 A=_12 设矩阵 X 满足方程 则矩阵X=_13 设 ,B 是 3 阶矩阵，则满足 AB=O 的所有的 B=_14 已知 若 X 满足 AX+2
4、B=BA+2X，那么X2=_15 设矩阵 则 A3 的秩为_ 16 已知 则秩 r(AB+2A)=_?17 已知 且 AXA*=B，r(X)=2，则a=_?18 已知 B 是 3 阶非零矩阵，且 BAT=O，则a=_19 设 A，B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，已知 AB=A 一 2B，B=则(A+2E) -1=_20 设 XA=AT+X，其中 则 X=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A*，证明：21 若A=0，则A *=0 ；22 A *= A n-123 设 n 阶矩阵 A 及 s 阶矩阵 B 都可逆，求24 设 ，
5、问 k 为何值，可使(1)r(A)=1；(2)r(A)=2；(3)r(A)=325 证明 r(A)=1 的充分必要条件是存在非零列向量 a 及非零行向量 bT，使 A=abT26 设向量组 的秩为 2，求 a，b27 在某国，每年有比例为 p 的农村居民移居城镇，有比例为 q 的城镇居民移居农村假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为 xn 和 yn(xn+yn=1)(1) 求关系式 中的矩阵 A；(2)设目前农村人口与城镇人口相等，即28 设 A、B 是 n 阶矩阵，E 一 AB 可逆，证明：E 一 BA 可逆29 设 A 是 n
6、阶实对称矩阵，且 A2=O，证明：A=O30 已知 A 是 2n+1 阶正交矩阵，即 AAT=ATA=E，证明：EA 2=031 已知 若 求矩阵 B考研数学二（矩阵）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 本题主要考查矩阵的秩的性质因为 AB=E，所以 r(AB)=m又r(AB)=mminr(A)，r(B)，即 r(A)m，r(B)m，而 r(A)m，r(B)m，所以 r(A)=m，r(B)=m故选 A【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查的是矩阵相似的性质，实对称矩阵可对角化的性质，矩阵的
7、特征值，矩阵的秩等设 A 的特征值为 ，因为 A2+A=O，所以 2+=0，即(+1)=0，则 =0或 =一 1又因为 r(A)=3，而由题意 A 必可相似对角化，且对角矩阵的秩也是 3，所以 =一 1 是三重特征根，则 所以正确答案为 D【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 C【试题解析】 化简矩阵方程，构造曰+E，用分组因式分解法，则有 A(B+E)+(B+E)=一 E，即(A+E)(B+E)=一 E，两边取行列式，由行列式乘法公式得【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 D【试题解析】 矩阵的乘法没有交换律，因此 A，B 可逆不能保证 AB=BA，例如, 所以选项 A、C 均不正确A，B 可逆
8、时，A+B 不一定可逆，即使 A+B 可逆，其逆一般也不等于 A-1+B-1仍以而，所以选项 B 不正确因为 A 可逆时，A *=AA -1，故(AB) *=AB(AB) -1=ABB -1A-1=(BB -1)(A A-1)=B*A*，因此选项 D 正确【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 D【试题解析】 A T=(E 一 2T)T=ET 一(2 T)T=E 一 2T=A，(1)成立A 2=(E 一2T)(E 一 2T)=E 一 4T+4TT=E 一 4T+4(T)T=E，(2)成立由(1)、(2) ，得 A2=AT=E，故 A 是正交阵，(3) 成立由(3)知正交阵是可逆阵，且 A-1=AT
9、，(4)成立故应选 D【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 B【试题解析】 P、Q 均为初等矩阵，因为 P-1=P，且 P 左乘 A 相当于互换矩阵 A的 1、3 两行，那么 P2010A 表示把 A 的 1、3 两行互换 2010 次，从而(P -1)2010A=P2010A=A又 而 Q-1 右乘 A 相当于把矩阵 A 的第 2 列上各元素加到第 1 列相应元素上去，那么 A(Q-1)2011 表示把矩阵 A第 2 列的各元素 2011 倍加到第 1 列相应元素上去，所以应选 B【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 C【试题解析】 由于对矩阵 Amn 施行一次初等变换相当于在 A 的左边乘以相
10、应的m 阶初等矩阵；对 Amn 作一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵，而经过观察 A、b 的关系可以看出，矩阵 B 是矩阵 A 先把第 1 行加到第3 行上，再把所得的矩阵的第 1、2 两行互换得到的，这两次初等变换所对应的初等矩阵分别为题中条件的 P2 与 P1，因此选项 C 正确【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 C【试题解析】 由题意可知，AB=(I T)(I+2T)=I一 T+2T一2TT=I+T一 2T(T)=I+T一 2(T)T又因为【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 B【试题解析】 由合同的定义可知，A 与 B 合同，则存在可逆矩阵 C，使CTAC=b
11、，且 r(A)=r(cTAC)=r(B)因此应选 B【知识模块】 矩阵二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 本题可以采用单位矩阵恒等变形的技巧则 B 一 E=(EA)(E+2A)一1 一(E+2A)(E+2A) 一 1=(EA)一(E+2A)(E+2A) 一 1=一 3A(E+2A)一 1，【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 【试题解析】 因为 AA*=AE，因此 A=A(A *)-1，对等式两端取行列式并结合已知条件，可得A *=一 8=A 3，因此A= 一 2，又【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 ，其中 k，l， 是任意常数【
12、试题解析】 将 B 按列分块，设 B=(1， 2， 3)，则 AB=A(1， 2， 3)=(A1，A 2，A 3)=0，因此可得 A1=0，A 2=0,A3=0，因此 1， 2， 3 都是齐次线性方程组 Ax=0 的解向量?对于齐次线性方程组 AB=0，求出其通解对 A 作初等行变换 则 Ax=0 有通解 k一 2，一 1，1T 令 1， 2， 3 都是齐次线性方程组 Ax=0 的通解，再合并成矩阵 B，即得其中 k，l， 是任意常数【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 【试题解析】 根据已知 AX+2B=BA+2X，得 Ax 一 2X=BA 一 2B，即(A 一 2E)X=B(A 一 2E)
13、，由于 是可逆的，因此 X=(A 一 2E)一 1B(A 一 2E)，那么 X2=(A 一 2E)一 1B2(A 一 2E)【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 1【试题解析】 依矩阵乘法直接计算得 故 r(A3)=1【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 2【试题解析】 由 AB+2A=A(B+2E)，且 是可逆矩阵，因此r(AB+2A)=r(A(B+2E)=r(A)因为经过初等变换，矩阵的秩不变，则因此可得 r(AB+2A)=2【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 0【试题解析】 根据 A 可逆可知，其伴随矩阵 A*也是可逆的，因此 r(AXA*)=r(X)=2=r(B)，因此可得B=0，则
14、【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 【试题解析】 根据 BAT=D 可知，r(B)+r(A T)3，即 r(A)+r(B)3又因为 BO，因此 r(B)1，从而有 r(A)3，即A=0，因此于是可得【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知 AB=A 一 2B，则【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 【试题解析】 由已知 XAX=AT，则有 X(AE)=AT因为已知矩阵 A 是可逆的，则矩阵 X 和(AE)均是可逆矩阵，故【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 假设A *0，由矩阵可逆的充分必要条件可知 A
15、*是可逆矩阵，则有 A*(A*)-1=E，又因为 A*=A-1A，这里A0，由此得 A=AE=AA*(A*)-1=AE(A *)一 1=O，所以 A*=O这与A *0 矛盾，故当A =0 时，有A *=0【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 由于 AA*=AE ，两端同时取行列式得A A *=A n当A0 时，A *=A n-1；当A=0 时，A *=0综上，有A *= A n-1 成立【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 (1)将 ，其中，X 1 为 ns 矩阵，X 2 为nn 矩阵， X3 为 ss 矩阵，X 4 为 sn 矩阵，由矩阵互逆的定义可得(2)将其中，X 1 为 nn 矩阵，X
16、 2 为 ns 矩阵，X 3为 sn 矩阵，X 4 为 ss 矩阵，由矩阵互逆的定义可得【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 对 A 作初等变换，因此，(1)当 k=1 时，r(A)=1；(2)当 k=一 2 时，r(A)=2；(3) 当 k1 且 k一 2 时，r(A)=3【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 充分性：设 a=(a1，a 2，a m)T，b=(b 1，b 2，b m)T，设a1b10，根据矩阵秩的性质 r(AB)minr(A)，r(B) ，因为 A=abT，所以 r(A)r(A)=1另一方面，根据假设 a1b10 可知，A 的第一行第一列的元素 a1b10，所以r(A)1综上
17、所述 r(A)=1必要性：设 A=(aij)mn，因 r(A)=1，设 a110，由矩阵的等价可知，存在 m 阶可逆阵 P 和 n 阶可逆阵 Q，使【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 记 A=(a3，a 4，a 1，a 2)，并对矩阵 A 作初等行变换当且仅当 a 一 2=0 且 b 一 5=0 时，向量组(a 3，a 4，a 1，a 2)的秩为 2，即 a=2，b=5【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 (1)由题意，人口迁移的规律不变 xn+1=xn+qyn 一 pxn=(1 一 p)xn+qyn，y n+1=yn+pxn 一 qyn=pxn+(1 一 q)yn，用矩阵表示为【知识模块】
18、 矩阵28 【正确答案】 利用反证法若EBA=0，则齐次方程组(EBA)x=0 有非零解假设 是其非零解，则(EBA)=0，即 BA=，且 0 (*)又因为(EAB)A=A 一(AB)A=A 一 A(BA)=A 一 A=0，从(*)式中知，A0，那么(EAB)x=0 有非零解 A，这与 EAB 可逆相矛盾【知识模块】 矩阵29 【正确答案】 由于矩阵 A 是实对称矩阵，则矩阵 A 必可对角化设 P 一1AP=A，那么 A=PAP 一 1，可得 A2=PA2P-1因为 A2=O，所以 A2=O，即 A=O 故A=PAP-1=O【知识模块】 矩阵30 【正确答案】 由已知条件可得A 2=A.A T=AA T=E=1 若 A=1，则EA =AA TA=A(A TET)=A .AE= 一(EA)=(一 1)2n+1E 一 A=一EA ，从而E 一 A=0 若A=一 1，则由E+A=AA T+A=A(A T+ET)=A .A+E =一E+A，可得E+A=0又因E 一 A2=(E A)(E+A) =EA .E+A，所以无论A为 1 还是一 1，一定有EA 2=0 【知识模块】 矩阵31 【正确答案】 由已知可得A=4，用矩阵 A 左乘方程(*)两端，则【知识模块】 矩阵
