1、考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (10)设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2+A=O若 A 的秩为 3，则 A 相似于2 (13)矩阵 相似的充分必要条件为（A）a=0 ，b=2（B） a=0，b 为任意常数（C） a=2，b=0（D）a=2 ，b 为任意常数3 (16)设 A， B 是可逆矩阵且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是（A）A T 与 BT 相似（B） A-1 与 B-1 相似（C） A+AT 与 B+BT 相似（D）A+A -1 与 B+B-1 相似4 (17)已知矩阵 A= ，则（
2、A）A 与 C 相似，B 与 C 相似（B） A 与 C 相似，B 与 C 不相似（C） A 与 C 不相似，B 与 C 相似，（D）A 与 C 不相似，B 与 C 不相似5 (18)下列矩阵中，与矩阵 相似的为6 (07)设矩阵 A= ，则 A 与 B（A）合同，且相似（B）合同，但不相似（C）不合同，但相似（D）既不合同，也不相似7 (08)设 A= 则在实数域上与 A 合同的矩阵为8 (15)设二次型 f(x1，x 2， x3)在正交变换 x=Py 下的标准形为 2y12+y22-y32，其中P=(e1，e 2，e 3)若 Q=(e1，-e 3，e 2)，则 f(x1，x 2， x3)在
3、正交变换 x=Qy 下的标准形为（A）2y 12-y22+y32（B） 2y12+y22-y32（C） 2y12-y22-y32（D）2y 12+y22+y329 (16)设二次型 f(x1，x 2， x3)=a(x12+x22+x32)+2x1x2+2x2x3+2x1x3 的正、负惯性指数分别为 l，2，则（A）a1（B） a-2（C） -2a 1（D）a=1 或 a=-2二、填空题10 (08)设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，3，若行列式2A =-48，则=_11 (09)设 ， 为 3 维列向量， T 为 的转置若矩阵 T 相似于 ，则T=_12 (15)设 3 阶矩阵 A 的特征值
4、为 2，-2，1，B=A 2-A+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵则行列式B=_13 (17)A= 的一个特征向量为 ，则 a=_14 (18)设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 为线性无关的向量组若A1=21+2+3，A 2=2+23，A 3=-2+3，则 A 的实特征值为_15 (11)二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+3x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，则 f 的正惯性指数为_.16 (14)设二次型 f(x1，x 2， x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3 的负惯性指数为 1，则 a 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
5、算步骤。17 (08)设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2 为 A 的分别属于特征值-1，1 的特征向量，向量3 满足 A3=2+3 ()证明 1， 2， 3 线性无关； ()令 P=1， 2， 3，求 P-1AP18 (10)设 A= ，正交矩阵 Q 使得 QTAQ 为对角矩阵若 Q 的第 1 列为 (1，2，1) T，求 a，Q19 (11)设 A 为 3 阶实对称矩阵， A 的秩为 2，且 ()求 A的所有特征值与特征向量()求矩阵 A20 (14)证明 n 阶矩阵 相似21 (15)设矩阵 A= 相似于矩阵 B= ()求 a，b 的值；()求可逆矩阵 P，使 P-1AP 为对角矩阵22
6、(16)已知矩阵 A= ()求 A99；()设 3 阶矩阵 B=(a1，a 2，a 3)满足B2=BA，记 B100=(1， 2， 3)，将 1， 2， 3 分别表示为 1， 2， 3 的线性组合23 (09)设二次型 f(x1，x 2， x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3 ()求二次型 f 的矩阵的所有特征值； () 若二次型 f 的规范形为 y12+y22，求 a 的值24 (12)已经知 A= ，二次型 f(x1，x 2，x 3)=xT(ATA)x 的秩为 2()求实数 a 的值； ()求正交变换 x=QY 将 f 化为标准形25 (13)设二次型 f(
7、x1，x 2， x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记()证明二次型 f 对应的矩阵为 2T+T()若 ， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2y12+y22.26 (17)设二次型 f(x1，x 2， x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x1x3 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 1y12+2y22，求 a 的值及一个正交矩阵 Q27 (18)设实二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1-x3+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中 a 是参数 (1)求 f(x1，x 2，x 3)=
8、0 的解； (2)求 f(x1，x 2，x 3)的规范形考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 方法 1：设 为 A 的特征值且 为对应的特征向量，则有Am=m(m=1，2，)，故有 (A 2+A)=O=0， 即( 2+)=O， 因 0，得2+=0，从而有 =0 或 =-，又因 r(A)=3，所以 A 的非零特征值有 3 个，有 1 个特征值为 0，即 A 的全部特征值为：-1，-1，-1，0，所以只有选项(D) 正确 方法2：设 A 按列分块为 A=1， 2， 3， 4，由 r(A
9、)=3，知 A 的列向量组的极大无关组含 3 个向量，不妨 设 1， 2， 3 是 A 的列向量组的极大无关组由于 A2=-A，即 A 1， 2， 3， 4=-1， 2， 3， 4， 即A 1，A 2，A 3，A 4=-1-2-3-4，得 Aj=-j，j=，2，3，4 由此可知-1 是 A 的特征值值且 1， 2， 3 为对应的 3个线性无关的特征向量，故-1 至少是 A 的 3 重特征值 而 r(A)=34，知 0 也是A 的一个特征值于是知 A 的全部特征值为：-1，-1，-1，0，且每个特征值对应的线性无关特征向量个数正好等于该特征值的重数，故 A 相似于对角矩阵D=diag(-1，-1
10、，-1，0) ，故选项(D) 正确【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 B【试题解析】 B 为对角矩阵，B 的特征值为其主对角线元素 2，6，0若 A 与 B相似，则由相似矩阵有相同的特征值，知 2 为 A 的一个特征值，从而有 02I-A= =-4a2，由此得 a=0，当 a=0 时，矩阵 A 的特征多项式为I-A= =(-2)(-b)，由此得 A 的全部特征值为 2，b，0以下可分两种情形： 情形 1：若 b 为任意实数，则 A 为实对称矩阵，由于实对称矩阵必相似于对角矩阵，且对角矩阵的主对角线元素为该实对称矩阵的全部特征值，所以此时 A 必相似于 B综上可知，A 与 B相
11、似的充分必要条件为 a=0，b 为任意常数所以只有选项(B)正确 情形 2：若b 是任意复数而不是实数，则 3 阶矩阵 A 有 3 个互不相同的特征值，因此 A 必相似于对角矩阵 B只有选项(B)正确【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 C【试题解析】 由已知条件知，存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B(1) 由(1)两端取转置，得 PTAT(PT)-1=BT，可见 AT 与 BT 相似，因此选项(A)正确； 由(1)两端取逆矩阵，得 P-1A-1P=B-1(2)，可见 A-1 与 B-1 相似，因此选项(B)正确； 将(1)与(2)相加，得 P-1(A+A-1)P=B+B-
12、1，可 见 A+A-1 与 B+B-1 相似，因此选项(D)正确故只有选项(C) 错误【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 B【试题解析】 本题要判别 3 阶矩阵 A，B 是否与 3 阶对角矩阵 c 相似的问题，易知这 3 个矩阵具有相同的特征值 2，2，1，它们都有一个 2 重特征值 2利用结论：方阵 A 与对角矩阵相似的充要条件，是 A 的每个重特征值对应的线性无关特征向量的个数正好等于该特征值的重数因此问题归结为齐次线性方程组(2I-A)x=0 的基础解系是否含 2 个向量、亦即矩阵 2I-A 的秩是否为 1 的问题由知矩阵2I-A 的秩为 1，2I-B 的秩为 2，因此
13、 A 与 C 相似，而 B 与 C 不相似，故只有选项(B)正确【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量5 【正确答案】 A【试题解析】 记矩阵 A= ，记 4 个选项中的矩阵分别为A1，A 2，A 3，A 4若矩阵 A 与矩阵 Ak 相似，则矩阵 A-E 与矩阵 AkE 相似，从而矩阵 A-E 与矩阵 Ak-E 有相同的秩，容易求出矩阵 A-E，A 1-E，A 2-E9A3-E，A 4-E 的秩依次为 2，2，1，1，1，故选项 B、C、D 都不对，只有选项 A 正确【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 B【试题解析】 由 A 的特征方程=(-3)2=0 得 A 的全部特征值为
14、1=2=3， 3=0，由此知 A 不相似于对角矩阵 B(因为A 的相似对角矩阵的主对角线元素必是 A 的全部特征值 3，3，0)，但由 A 的特征值知 3 元二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 的秩及正惯性指数均为(二次型 f=xTAx 经适当的正交变换可化成标准形 f=3y12+3y22，再经可逆线性变换可化成规范形 f=z12+z22，而 f 的矩阵 A 与 f 的规范形的矩阵 B=diag(1，1，0)是合同的)【知识模块】 二次型7 【正确答案】 D【试题解析】 由于A=D=-30，因此实对称矩阵 A 的两个特征值异号(D亦是)，从而知二次型 xTAx 及二次型 xTDx 有
15、相同的规范形 z12-z22，从矩阵角度讲，就是存在可逆矩阵 C1，C 2，使 C1TAC1= C2TDC，由此得(C 1C2-1)TA(C1C2-1)=D，且 C1C2-1 可逆，故 A 与 D 合同【知识模块】 二次型8 【正确答案】 A【试题解析】 设二次型的矩阵为 A，则由题意知矩阵 P 的列向量 e1，e 2，e 3 是矩阵 A 的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是 2，1，-1即有 Ae1=2e1，Ae 2=2e2，Ae 3=2e3 从而有 AQA(e 1，-e 3，e 2)=(Ae1，-Ae 3，Ae 2)=(2e1，-(-e3)， e2)=(e1，-e 3，e 2) 矩阵
16、Q 的列向量 e1，-e 3，e 2 仍是 A 的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是 2，-1，1矩阵 Q 是正交矩阵，有 Q-1=QT，上式两端左乘 Q-1，得 Q-1AQ=QTAQ= 从而知 f 在正交变换 x=Py 下的标准形为 f=2y12-y22+y32于是选(A)【知识模块】 二次型9 【正确答案】 C【试题解析】 由于二次型矩阵 A= 的每行元素之和都等于 a+2，所以1=a+2 是 A 的一个特征值，设 A 的另外两个特殊性征值是 2， 3，由题设条件知一个特征值为正，两个特征值为负，因此 1230，再由特征值的性质知因此 1=a+20，得 a-2 ，于是 2， 3都小于零
17、，由(1)得 2+3=3a-1=3a-(a+2)=2a-20，得 a1，综合可得-2a1【知识模块】 二次型二、填空题10 【正确答案】 -1【试题解析】 由于方阵的行列式等于方阵的全部持征值的乘积，故有-48=2A=8A=823=482，于是 =-1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 2【试题解析】 因为矩阵相似于对角矩阵时，则对角矩阵的对角元即为矩阵的特征值故 T 的全部特征值为 1=2， 2=3=0设 =(a1，a 2，a 3)T，=(b 1，b 2，b 3)T，则 T= 由于矩阵所有特征值之和等于矩阵主对角元之和，故有 T=b1a1+b2a2+b3a3=1+2+3=
18、2.【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 21【试题解析】 因为 3 阶矩阵 A 有 3 个互不相同的特征值，所以 A 相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP= 于是有 P-1BP=P-1(A2-A+E)P=(P-1AP)2P-1AP+E 两端取行列式，得P -1BP=21，即B=21【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 -1【试题解析】 由特征值与特征向量的定义知存在常数 ，使得解得 a=-1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 2【试题解析】 将题给的关系式写成矩阵形式：A 1， 2， 3=1， 2， 3记矩阵 P=1，
19、2， 3，则因 1， 2， 3 线性无关，知矩阵 P 可逆，从而有 P-1AP= =B上式表明矩阵 A 与矩阵 B 是相似的，而相似矩阵有相同的特征值，容易求出矩阵 B 的实特征值是 2，因此矩阵 A 的实特征值是 2【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 2【试题解析】 f 的矩阵为 A= ，由 A 的特征方程 E-B=(-1)(-4)=0 得 A 的特征值为 0，1，4，因此 f 经正交变换化成的标准形为 y22+4y32，因此 f 的正惯性指数为 2【知识模块】 二次型16 【正确答案】 -2，2【试题解析】 f 的矩阵为 A 的特征多项式为E-A=3-(5+a2)+4-
20、a2，设 A 的特征值为 1， 2， 3，则 f 经正交变换可化成标准形 f=1y12+2y22+3y32.1， 2， 3 中为负的个数即 f 的负惯性指数，且由特征值的性质知 1， 2， 3=det(A)=4-a2 由于 f 既可取到正值、又可取到负值，所以 1， 2， 3 中至少有一个为正的，也至少有一个为负的 1， 2， 3 的符号只有下列 3 种可能：(1) 1， 2， 3=0，此时有 3=0， 1,2= 即 f 的正、负惯性指数都为 1，符号题意(2) 1， 2， 30，此时 1， 2， 3 中有一个为负的，2 个为正的(不可能 3 个都为负，否则与 f 可取到正值矛盾)，符号题意(
21、3)1， 2， 30，此时 1， 2， 3 中 3 个都为正的，或者 2 个为负的，1 个为正的，都不符号题意 综上可知，当且仅当 1， 2， 3=4-a20，即a=2 时，符号题意【知识模块】 二次型三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 () 设存在一组常数 k1，k 2，k 3，使得 k 11+k22+k33=0 用 A左乘式两端，并利用 A1=-1，A 2=2， -k 11+(k2+k3)2+k33=0 -，得 2k11-k32=0 因为 1， 2 是 A 的属于不同特征值的特征向量，所以 1， 2 线性无关从而由式知 k1=k2=0，代入式得 k22=0
22、，又由于 20，所以 k2=0，故1， 2， 3 线性无关()由题设条件可得 AP=A1， 2， 3=A1，A 2，A 3=-1， 2， 2+3=1， 2， 3 由()知矩阵 P 可逆，用P-1 左乘上式两端，得 P-1AP= .【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答案】 由题设，=(1，2，1) T 为 A 的一个特征向量，于是有 A=1，即得 1=2，a=-1所以 A=由 A 的特征方程得 A 的特征值为 2，5，-4 对于特征值 5，求齐次线性方程组(5I-A)x=0 的基础解系，由得通解 x1=x2，x 2=-x3(x3任意)令 x3=1，得基础解系为(1 ，-1，1) T
23、，将其单位化，得属于特征值 5 的一个单位特征向量为 =(1，-1，1) T同理可求得属于特征值-4 的一个单位特征向量为=(-1，0，1) T 故 Q 为所求的正交矩阵【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】 () 由于 A 的秩为 2，故 0 是 A 的一个特征值由题设可得所以，-1 是 A 的一个特征值，且属于-1 的特征向量为 k1(1，0，-1) T，k 1 为任意非零常数；1 也是 A 的一个特征值，且属于 1 的特征向量为 k2(1，0，1) T，k 2 为任意非零常数 设 x=(x1，x 2，x 3)T 为 A 的属于 0的特征向量，由于 A 为实对称矩阵，A 的
24、属于不同特征值的特征向量相互正交，则 解得上面齐次线性方程组的基础解系为(0，1，0) T，于是属于 0 的特征向量为是 k3(0，1，0)T，其中 k3 为任意非零常数()今矩阵 P= ，则 P-1AP= ，于是【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 证 1：设矩阵 A= 因为E-A= =(-1)n-1E-B= =(-n)n-1 所以 A 与 B 有相同的特征值 1=n， n=0(n-1 重) 由于 A 为实对称矩阵，所以 A 相似于对角矩阵 因为 r(2E-B)=r(B)=1，所以 B 的对应于特征值 2=0 有 n-1 个线性无关的特征向量，于是由方阵相似于对角矩阵的充要
25、条件知 B 也相似于 A再由矩阵的相似关系具有对称性和传递性知 A 与 B 也相似证 2：设存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B，或AP=PB，设 P 按列分块为 P=p1，p 2，p n，则 AP=PB Ap1，p 2，p n=p1，p 2，p n Ap1=0，Ap n-1=0， ，Ap n=p1+2p2+npn，由解上面的方程组，可求出可逆矩阵P=p1，p 2，p n= 满足 P-1AP=B，所以 A 相似于 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量21 【正确答案】 () 由于矩阵 A 与 B 相似，所以二矩阵有相同的迹(主对角线元素之和)、有相同的行列式，由此得 a+3=b+2，2a-
26、3=b 解得 a=4，b=5 ()由于矩阵A 与 B 相似，所以它们有相同的特征多项式： E-A=E-B=(-1) 2(-5) 由此得 A 的特征值为 1=2=1， 3=5 对于 1=2=1，解方程组(E-A)x=0 ，有得对应于 1=2=1 的线性无关特征向量 1=， 2= 对于 3=5，解方程组 (5E-A)x=0，由得对应于3=5 的特征向量 3= 令矩阵 P=1， 2， 3= 则矩阵 P 可作为所求的可逆矩阵，使得 P-1AP= 为对角矩阵【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 () 利用方阵 A 的相似对角化来求方阵 A 的幂，为此先来求 A 的特征值与特征向量，由E
27、-A= =(+1)(+2)=0，得 A 的全部特征值为 1=0， 2=-1， 3=-2，对于特征值 1=0，解方程组 Ax=0，得对应的特征向量 1=(3，2，2) T，对于特征值 2=-1，解方程组 (-E-A)x=0，得对应的特征向量2=(1，1，0) T，对于特征值 3=-2，解方程组(-2E-A)x=0，得对应的特征向量3=(1，2，0) T，令矩阵 P=(1， 2， 3)= ，则 P-1AP= =D于是得 A99=(PDP-1)99=PD99P-1()因为 B2=BA，所以 B100=B98B2=B99A=B97B2A=B98A2=BA99，即( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)
28、 所以【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 ()f 的矩阵为 A= ，由特征方程=(-a)(-a)2+(-a)-2=(-a)(-a+2)(-a-1)=0，得 A 的特征值为 1=a， 2=a-2， 3=a+1 ()由 f 的规范形知 f 的秩为 2，正惯性指数为 2(负惯性指数为 0)因此，A 的特征值 2 个为正，1 个为 0若 1=a=0，则 2=-20， 3=1，不合题意；若 2=a-2=0则 a=2， 1=2， 3=3符合题意；若 3=a+1=0，则 a=-1， 1=-10， 2=-30，不合题意故 a=2【知识模块】 二次型24 【正确答案】 () 因为 r(ATA
29、)=r(A)，对 A 施以初等行变换可见当 a=-1 时，r(A)=2，所以 a=-1()由于 a=-1，所以 ATA= 矩阵 ATA 的特征多项式为 E-ATA=(-2)(2-6A)=(-2)(-6)，于是得 ATA 的特征值为 1=2， 2=6， 3=0对于 1=2，由求方程组(2E-A TA)x=0 的一个非零解，可得属于 1=2 的一个单位特征向量 (1，-1，0) T；对于 2=6，由求方程组(6E-A TA)x=0 的一个非零解，可得属于 2=6 的一个单位特征向量 (1，1，2)T；对于 3=0，由求方程组 (ATA)x=0 的一个非零解，可得属于 3=0 的一个单位特征向量 (
30、1，1，-1) T令矩阵 Q= 则 f 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 f=2y12+6y22【知识模块】 二次型25 【正确答案】 () 记 x= ，由于 f(x1，x 2，x 3)=2(a1x1+a2x2+x3a3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2=2(x1，x 2，x 3) (a1，a 2，a 3) +(x1，x 2，x 3)(b1，b 2，b 3) =2xT(T)x+xT(T)x=xT(2T+T)xT，又 2T+T 为对称矩阵，所以二次型厂的矩阵为 2T+T()记矩阵 A=2T+T由于 ， 正交且为单位向量，即 T=1， T=0，所以 A=(2 T+T)=2， A=(2 T+
31、T)=，于是 1=2， 2=1 是矩阵 A 的特征值又 r(A)=r(2 T+T)r(2T)+r(T)2，所以3=0 是矩阵 A 的特征值由于厂在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A 的特征值，故 f 在正交变换下的标准形为 2y12+y22【知识模块】 二次型26 【正确答案】 二次型 f(x1，x 2，x 3)的矩阵为 A= 由题设知 Q-1AQ=QTAQ= ，A 的一个特征值为零，所以有故得 a=2，由 A 的特征方程=(-6)(+3)=0 得 A 的全部特征值，不妨设 1=6， 2=-3， 3=0对于 1=6，解方程组(6I-A)x=0，对应的单位特征向量可取为 1= (1，0，
32、-1) T；对于 2=-3，解方程组(-3I-A)x=0，对应的单位特征向量可取为 2= (1，-1 ，1) T；对于 3=0，解方程组 Ax=0，对应的单位特征向量可取为 3= (1，2，1) T因此，所求的正交矩阵可取为 Q=(1， 2， 3)= .【知识模块】 二次型27 【正确答案】 (1)f(x 1， x2，x 3)= 对上面这个齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换： 可见当 a-20，即 a2 时，该方程组只有零解 x=0，即方程 f=0 只有零解 x=0；当 a=2 时，由 得方程组的通解、即方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的解为x= ，k 为任意实数(2) 由(1)知当 a2 时，f 是正定的，因此 f 的规范形是f=f12+f22+f32；当 a=2 时，对 f 配方得 f=2(x1- x2+ x3)2+ (x2+x3)2，可见 f 的秩为2，f 的正惯性指数也是 2，所以 f 的规范形是 f=y12+y22【知识模块】 二次型
