1、考研数学二（行列式）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若（A）30m（B） -15m（C） 6m（D）-6m 2 设 A 是 n 阶矩阵，则A *A=（A）A n2（B） A n2-n（C） A n2-n+1（D）A n2+n3 设 A 是 n 阶矩阵，则(2A) *=（A）2 nA *（B） 2n1A *（C） 2n2-nA *（D）2 n2A *4 设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且A=0a，B=b，若 C= ，则C =（A）-3ab（B） 3mab（C） (-1)mn3mab（D）(-1) (m+1)n3mab5 x
2、=-2 是 =0 的（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既不充分也非必要条件二、填空题6 计算 n 阶行列式，对角线上烦人元素都为 0，其他元素都为 1.n=_7 计算 n 阶行列式 =_8 计算 n 阶行列式 =_9 计算 6 阶行列式 =_10 若 的代数余予式 A12=-1，则代数余子式 A21=_11 若 A= (4，5，6)，则A=_12 设 A= ，则 -2A-1=_13 设 ， 1， 2， 3 都是 4 维列向量，且A= ， 1， 2， 3=4 ，B=， 1， 2， 3=21，则A+B=_14 已知 Dn= ，若 Dn=anDn-1+kDn-2，则
3、k=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求 f(x)= 的 x3 的系数16 A= ，证明xE-A 的 4 个根之和等于 a11+a22+a43+a4417 设 A 与 b 分别是 m，n 阶矩阵，证明 =(-1)mnA B18 设 4 阶矩阵 A=(， 1， 2， 3)，B=(， 1， 2， 3)，A =2，B=3 ，求A+B19 设 4 阶矩阵 A=(， 1， 2， 3)，B=(， 1， 2， 3)，A =a，B=b，求A+B20 设 D= 求-A 13-A23+2A33+A4321 计算行列式22 计算行列式23 已知(2 ，1，1，1) ，(2 ，1，a ，a)，
4、(3，2，1， a)，(4，3，2，1)线性相关，并且a1，求 a24 计算 4 阶行列式25 计算行列式26 计算行列式27 设 A= ，计算行列式 A28 计算 n 阶行列式 =_29 计算 n 阶行列式30 证明 n 阶行列式 =1-a+a2-a3+(-a)n=1-a+a 2-a3+(-a)231 证明 =(n+1)an32 证明33 证明 (-1)i-1b1bi-1aicici+1cn34 证明 c1ci-1aibici+1cn35 计算36 计算37 计算 n 阶行列式38 若行列式的某个元素 aij 加 1，则行列式的值增加 Aij39 若行列式的第 j 列的每个元素都加 1，则行
5、列式的值增加 Aij40 若行列式的每个元素都加 1，则行列式值的增量为所有代数余子式之和考研数学二（行列式）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 故应选(D)【知识模块】 行列式2 【正确答案】 C【试题解析】 因为A *是一个数，由kA=k nA及A *= A n-1 有 A *A=A * nA=(A n-1)nA=A n2-n+1 故应选(C) 【知识模块】 行列式3 【正确答案】 C【试题解析】 (2A) *=2A n-1=(2nA) n-1=2n(n-1)A =2 n(n-1)A * 或利用(kA)
6、*=kn-1A*，那么 (2A) *=2 n-1A*=(2 n-1)nA *=2 n2-nA * 故应选(C)【知识模块】 行列式4 【正确答案】 D【试题解析】 用性质有 C= =(-1)mn3A -B=(-1)mn3mA(-1) nB =(-1) (m+1)n3mab故应选(D) 【知识模块】 行列式5 【正确答案】 B【试题解析】 对于范德蒙行列式 D= =(x-1)(-2-1)(-2-x)=3(x-1)(x+2)，因为 x=-2 时，行列式的值为 0但 D=0 时，x 可以为 1所以x=-2 是 D=0 的充分而非必要条件故应选(B)【知识模块】 行列式二、填空题6 【正确答案】 (-
7、1) n-1(n-1)【知识模块】 行列式7 【正确答案】 a+(n-1)b(a-b) n-1【知识模块】 行列式8 【正确答案】 a+n(n+1)2a n-1【知识模块】 行列式9 【正确答案】 (a 1d1-b1c1)(a2d2-b2c2)(a3d3-b3c3)【知识模块】 行列式10 【正确答案】 2【试题解析】 按代数余子式定义 A12=(-1)1+2 =-(5x-4)=-1 z=1故 A21=(-1)2+1 =2【知识模块】 行列式11 【正确答案】 0【试题解析】 利用公式“r(AB)r(B)及 A0，则 r(A)1”，易见本题中 r(A)=1，所以A=0或作矩阵乘法 A= (4，
8、5，6)= ，由 A 中两行元素成比例而知A=0【知识模块】 行列式12 【正确答案】 -4【试题解析】 用kA=k nA及A -1= ，可知-2A -1=(-2) 3A -1=-8. 又A=2，从而-2A -1=-4【知识模块】 行列式13 【正确答案】 600【试题解析】 因 A+B=(+，3 1，4 2，2 3)，故 A+B=+，3 1，4 2，2 3 =24 ， 1， 2， 3+24， 1， 2， 3 =24A +24B=600【知识模块】 行列式14 【正确答案】 1【试题解析】 =anDn-1+(-1)2n-1.(-1) =anDn-1+(-1)2n-2Dn-2=anDn-1+Dn
9、-2，从而 k=1【知识模块】 行列式三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 在完全展开式的 24 项中除了对角线元素乘积这一项外，其他 23项 x 的次数都不超过 2，因此(x-3)(x-8)(x+1)x 中 x3 的系数-10 就是所求【知识模块】 行列式16 【正确答案】 设 4 个根为 x1，x 2，x 3，x 4因为xE-A是 x 的 4 次多项式，并且 x4 的系数为 1，所以 xE-A=(x-x 1)(x-x2)(x-x3)(x-x4) 考察 x3 的系数从右侧看为-(x 1+x2+x3+x4)；再从左侧看，因为 xE-A对角线外的元素都是不含 x
10、的常数，所以在其展开式的 24 项中，只有对角线元素的乘积(x-a 11)(x-a22)(x-a33)(x-a44)这一项包含 x3 的，并且系数为-(a 11+a22+a33+a44).于是 x1+x2+x3+x4=a11+a22+a33+a44.【知识模块】 行列式17 【正确答案】 把此行列式的左右两部分交换，办法如下：先把右部分的第 1 列依次和左部分的各列邻换(共进行了 n 次)，再把右部分的第 2 列依次和左部分的各列邻换，最后把右部分的第 m 列依次和左部分的各列邻换一共进行了 mn次邻换于是 =(-1)mnA B=(-1)mnAB【知识模块】 行列式18 【正确答案】 A+B=
11、(+，2 1，2 2，2 3)，( 注意这里是矩阵的加法，因此对应列向量都相加) A+B =+，2 1，2 2，2 3=8+， 1， 2， 3(用性质，二，三，四列都提出 2) =8(， 1， 2， 3+ ， 1， 2， 3) =8(2+3)=40【知识模块】 行列式19 【正确答案】 A+B=(+， 1+2， 2+3， 3+1)， A+B=+， 1+2， 2+3， 3+1 =+ ，2 1+2+3， 2+3， 3+1(把第4 列加到第 2 列上) =+，2 1， 2+3， 3+1( 第 2 列减去第 3 列) =2+， 1， 2+3=2 +， 1， 2， 3 =2(， 1， 2， 3+， 1，
12、 2， 3) =2(， 1， 2， 3+， 1， 2， 3)=2a+2b A+B=2a+2b 【知识模块】 行列式20 【正确答案】 所求的是此行列式第 3 列元素的代数余子式 A13，A 23，A 33，A 43依次乘-1 ，-1，2，1 后的和A 13，A 23，A 33，A 43 和行列式的第 3 列元素是无关的，因此如果把第 3 列元素改为-1，-1，2，1，则 A13， A23，A 33，A 43 不改变.于是修改后的行列式的值=它对第 3 列的展开式=-A 13-A23+A33+A43-A 13-A23+2A33+A43=9【知识模块】 行列式21 【正确答案】 =a2-(b+c)
13、2a2-(b-c)2=(a+b+c)(a-b-c)(a+b-c)(a-b+c)【知识模块】 行列式22 【正确答案】 先提出第 5 行的公因子 ai 再把上面 4 行依次加上它的-2a 倍，a 倍，-a 倍和-2 倍：【知识模块】 行列式23 【正确答案】 这 4 个向量线性相关 以它们为行(或列)向量构成的 4 阶行列式为 0 得a=12【知识模块】 行列式24 【正确答案】 先把 2 至 4 列都加到第 1 列上，再 2 至 4 行都减去第 1 行，就可化为上三角行列式：D= =(x+3)(x-1)3【知识模块】 行列式25 【正确答案】 先把 2 至 5 列都加到第 1 列上，再自下而上
14、 2 至 4 行各减去上行：【知识模块】 行列式26 【正确答案】 此题用定义，或用对行(列)的展开都不难计算下面介绍的方法容易推广用行、列的交换容易把此行列式化为分块的形式，第 4 列依次与 3，2列交换，第 4 行依次和 3，2 行交换： =(ah-bg)(cf-de)【知识模块】 行列式27 【正确答案】 对第 1 列展开： A=A 11+aA41=M11-aM41=1-a4【知识模块】 行列式28 【正确答案】 a n+(-1) n+1bn.【知识模块】 行列式29 【正确答案】 先建立递推公式：记此行列式为 Dn当 n3 时，对第 1 列( 或行)展开，得 Dn=A11+A21=Dn
15、-1-M21，M 21 的第 1 行为(1，0，0)，它对第 1 行展开得 M21=Dn-2于是得递推公式 D n=Dn-1-Dn-2，于是用它可以从 D1，D 2 的值求得Dn事实上当 n4 时，D n=Dn-1-Dn-2=Dn-2-Dn-3-Dn-2=Dn-3再由D1=1，D 2=0，D 3=D2-D1=-1 推得 Dn=【知识模块】 行列式30 【正确答案】 记此行列式为 Dn，对第 1 行展开，得到一个递推公式 Dn=(1-a)Dn-1+aDn-2方法一：下面用数学归纳法证明本题结论(1) 验证 n=1，2 时对：D 1=1-a，D n= =(1-a)2+a=1-a+a2(2) 假设对
16、 n-1 和 n-2 结论都对，证明对 n也对： D n1=1-a+a2-a3+(-a)n-1，D n-2=1-a+a2-a3+(-a)n-2，则由递推公式 D n=(1-a)Dn-1+nDn-2=Dn-1-a(Dn-1-Dn-2)=Dn-1+(-a)n=1-a+a2-a3+(-a)n-1+(-a)n方法二 用数列的技巧计算 D n=(1-a)Dn-1+aDn-2 改写为 Dn-Dn-1=-a(Dn-1-Dn-2)，记 Hn=Dn-Dn-1(n2)，则 n3 时 Hn=-aHn-1，即H n是公比为-a 的等比数列而 H2=D2-D1=(1-a+a2)-(1-a)=a2，得到 Hn=(-a)n
17、，于是得到一个新的递推公式 Dn=Dn-1+(-a)n，再由 D1=1-a，用此递推公式不难得到 Dn=1-a+an-a3+(-a)n【知识模块】 行列式31 【正确答案】 本题以证明题的形式出现，容易诱导想到用数学归纳法记此行列式为 Dn，对第 1 行展开得递推公式 D n=2aDn-1-a2Dn-2 D n=2aDn-1-a2Dn-2.改写为Dn-aDn-1=a(Dn-1-aDn-2)，记 Hn=Dn-aDn-1(n2)，则 n3 时 Hn=aHn-1，即H n是公比为a 的等比数列而 H2=D2-aD1=3a2-2a2=a2，得到 Hn=an， 于是得到一个新的递推公式 D n=aDn-
18、1+an， 两边除以 an，得 Dna n=Dn-1a n-1+1于是D na n是公差为 1 的等差数列D 1a=2，则 Dna n=n+1，D n=(n+1)an【知识模块】 行列式32 【正确答案】 对第 1 行展开得递推公式 Dn=(a+b)Dn-1-abDn-2.然后用数学归纳法的程序证明结论 下面用数列技巧计算 把 Dn=(a+b)Dn-1-abDn-2 改写为 Dn-bDn-1=a(Dn-1-bDn-2)，则D n-bDn-1是公比为 a 的等比数列 D2-bD1=a2，得 Dn-bDn-1=an，于是得到一个更加简单的递推公式： D n=bDn-1+an， (1) 当 a=b
19、时，则 Dn=aDn-1+an，得 Dn=(n+1)an 当 ab 时，和(1)对称地有 Dn=aDn-1+bn， (2) a(1)-b(2) ，得(a-b)Dn=an+1-bn+1，D n=【知识模块】 行列式33 【正确答案】 本题和下题在有的教材里称为“爪形行列式” ，它们都可以用数学归纳法证明如本题对第 n 列展开就可得到递推公式 Dn=cnDn-1+(-1)n-1b1b2bn-1an 然后容易进行归纳证明 下面要说明的是对这类行列式的一个事实：只要对第 1 行展开就可以求值! 把要证明的值的表达式和对第 1 行的展开式对照： (-1)i-1b1bi-1aicici+1cn= (-1)
20、i+1aiM1i= (-1)i-1aiM1i，就可看出结论也就是对每个i，有 M 1i=b1bi-1ci+1cn而这个等式只要写出 M1i 就可得到：M 1i= ，其中 Gi= ，H i= ，分别是上，下三角矩阵于是 M1i= Gi H i=b 1bi-1ci+1cn【知识模块】 行列式34 【正确答案】 对第 1 行展开a 0 的代数余子式 A11=M11= ci.i1 时 ai 的代数余子式 A1i+1=(-1)iM1i+1M1i+1= ，其中G i= ，H i= 于是M1i+1=G i H i i=(-1)i+1bic1ci-1ci+1cn =a0ci+ (-1)iaiM1i+1=a0
21、ci- c1ci-1aibici+1cn【知识模块】 行列式35 【正确答案】 各行减上行，a(a-b)4-b(c-a)(a-b)3+b(c-a)2(a-b)2-b(c-a)3(a-b)+b(c-a)4【知识模块】 行列式36 【正确答案】 如果每个 xi 都不是 0，各列提出公因子 xi：=x1x2x3x4x5=x1x2x3x4x5(1+x1-1x2-1x3-1x4-1x5-1)=x1x2x3x4x5+x2x3x4x5+x1x3x4x5+x1x2x4x5+x1x2x3x5+x1x2x3x4 如果有 xi=0，则可直接计算如 x1=0，则第 1 列的元素都为 1，其他各列都减第 1 列，求出值
22、为x2x3x4x5【知识模块】 行列式37 【正确答案】 对第一列展开：D= aiAi1= (-1)i+1aiMi1M i1= 其中Gi 是一个对角线元素都是-1 的 i-1 阶下三角矩阵，H i 是一个对角线元素都是 x 的 n-i 阶上三角矩阵，于是 M i1=G iH i=(-1) i-1xn-i代入得 D= aixn-t【知识模块】 行列式38 【正确答案】 修改后的行列式第 j 列为(a 1j，a ij，a nj+1，a)T=(a1j，a ij，a nj)T+(0，1，0) T，对它分解(性质 )，分为两个行列式之和，一个就是原行列式，另一个的值为 Aij【知识模块】 行列式39 【
23、正确答案】 修改后的行列式第 j 列为(a 1j+1，a ij+1，a nj+1)T=(a1j，a ij，a nj)T+(1，1，1) T，对它分解(性质 )，分为两个行列式之和，一个就是原行列式，另一个的第 j 列元素都是 1，增加量就是它的值，等于 Aij【知识模块】 行列式40 【正确答案】 设原来行列式的列向量依次为 1， 2， s，记=(1，1，1) T则改变后的行列式为 1+， 2+， s+对它分解(用性质，先分解第 1 列，分为 2 个行列式，它们都对第 2 列分解，成 4 个行列式，)分为 2n 个行列式之和，这些行列式的第 j 列或为 ，或为 j，考虑到当有两列为 时值为 0，除去它们， 1+， 2+， s+是 n+1 个行列式之和，它们是：恰有 1 列为 ，而其它各列都不是 (这样的有 n 个) ，还有一个是 1， 2， s即原来行列式于是 1+， 2+， s+- 1， 2， ， s= 1， j+， n= Aij【知识模块】 行列式
