1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴所围图形面积可表示为（A）一 02x(x 一 1)(2 一 x)dx（B） 01x(x 一 1)(2 一 x)dx 一 12x(x 一 1)(2 一 x)dx（C）一 01x(x 一 1)(2 一 x)dx+12x(x 一 1)(2 一 x)dx（D） 02x(x 一 1)(2 一 x)dx2 设 f(x)，g(x) 在区间a，b上连续，且 g(x)f(x) m，(m 为常数)，由曲线 y=g(x)，y=f(x)，x=a
2、及 x=b 所围平面图形绕直线 y=m 旋转而成的旋转体体积为（A） ab2m 一 f(x)+g(x)f(x)一 g(x)dx（B） ab2m 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx（C） abm 一 f(x)+g(x)f(x)一 g(x)dx（D） abm 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx3 设在闭区间a，b上 f(x)0，f(x)0，f“(x) 0记 S1=abf(x) dx，S 2=f(b)(b 一 a)，S3= f(a)+f(b)(b 一 a)，则（A）S 1 S 2 S 3（B） S2 S 3 S 1（C） S3 S 1 S 2（D）S 2 S 1 S 34
3、 设 F(x)=xx+2esint sintdt，则 F(x)（A）为正常数（B）为负常数（C）恒为零（D）不为常数二、填空题5 一 11 =_6 由曲线 y=x+ x=2 及 y=2 所围图形的面积 S=_7 =_8 =_9 =_10 设 f(x)连续，则 0xtf(x2 一 t2)dt=_11 =_12 函数 y= 上的平均值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 f(x)在0，1上连续且递减，证明：当 0 1 时， 01f(x)dx01f(x)dx14 求曲线 y=3 一|x 2 一 1|与 x 轴围成封闭图形绕 y=3 旋转所得的旋转体的体积15 设 f(x2
4、一 1)= 且 f(x)=lnx，求 (x)dx16 求摆线 一拱(0t2)的弧长17 求函数 f(x)= (2 一 t)e 一 tdt 的最大值和最小值18 设 f(x)=0x 计算 0xf(x)dx19 计算 0ln220 21 设有正椭圆柱体，其底面的长短轴分别为 2a，2b，用过此柱体底面的短轴与底面成 角(0 )的平面截此柱体，得一楔形体(如图 210)求此楔形体的体积22 计算不定积分23 计算 e2x(tanx+1)2dx24 设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0 ，1) 上大于零，并满足 xf(x)=f(x)+ x2(a 为常数)，又曲线 y=f(x)与 x=1，
5、y=0 所围的图形 S 的面积值为 2，求函数y=f(x)并问 a 为何值时，图形 S 绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最小25 已知函数 f(x)连续，且 =2，设 (x)=01f(xt)dt，求 (x)，并讨论 (x)的连续性26 确定常数 a，b，c 的值，使27 计算积分28 设 y=f(x)是区间0，1上任一非负连续函数(1)试证存在 x0(0，1)，使得在区间在区间0 ，x 0上以 f(x0)为高的矩形的面积等于在区间 x0，1 上以 y=f(x)为曲面的曲边梯形的面积(2)又设 f(x)在(0，1)上可导，且 f(x) 证明(1)中的 x0是唯一的29 设有曲线 y= ，过原点作
6、其切线，求由此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的表面积考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴的交点为 x=0，x=1 ，x=2，因此该曲线与x 轴围成的面积为 02|x(x 一 1)(2 一 x)|dx=一 01x(x 一 1)(2 一 x)dx+12x(x 一 1)(2 一x)dx 所以应选(C)2 【正确答案】 B【试题解析】 V = ab(m 一 g(x) 2dx 一 ab(m 一 f(x)2dx =a
7、b2m 一 g(x)一 f (x) f(x)一 g(x)dx 所以应选(B)3 【正确答案】 D【试题解析】 由题设条件对 f(x)的图形进行分析，易知在 x 轴上方、单调下降且向上凹的如图 217，S 2 表示长方形 ABCE 的面积，S 3 等于梯形 ABCD 的面积，S 1等于曲边梯形 ABCD 的面积，从而有 S2S 1S 34 【正确答案】 A【试题解析】 F(0)= 02esintsintdt=一 02esintdcost=一esintcost|02+02esintcos2tdt=02esint cos2tdt0二、填空题5 【正确答案】 2【试题解析】 6 【正确答案】 【试题解
8、析】 由图 215 可知所求面积为7 【正确答案】 【试题解析】 将根式里面配方得8 【正确答案】 9 【正确答案】 一 cotx .lnsinx 一 cotx 一 x+C【试题解析】 =一ln sinxdcotx= 一 cotxln sinx+cot 2xdx=一 cotx ln sinx+(csc 2x 一 1)dx=一 cotx ln sinx 一 cotx 一 x+C10 【正确答案】 xf(x 2)【试题解析】 令 x2 一 t2=u，则原式= f(u)du =xf(x2)11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算
9、步骤。13 【正确答案】 0f(x)dx 一 01f(x)dx =0f(x) dx 一 0 f(x) dx 一 01f(x)dx = (1 一 ) 0f(x)dx 一 1f(x)dx = (1 一 ) f(1) 一 (1 一 ) f (2) (0 1， 21) 由于f(x)递减，则 f(1)一 f(2)0 故 0f(x)dx01f(x)dx14 【正确答案】 设对应区间0，1的这部分旋转体体积为 V1，对应区间1，2上的体积为 V2，则 dV1=32 一3 一 (x2+2)2dxdV2=32 一3 一(4 一 x2)2dx 则 V= 2(V 1+V2)=20132 一 3 一 (x 2+2)2
10、 dx+21232 一 3 一(4 一 x 2)2dx15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 因为 f(x)是偶函数，故只需求 f(x)在0 ，+) 内的最大值与最小值令 f(x)=2c(2 一 x2)ex2=0 故在区间(0，+)内有唯一驻点 x= 当 0x 时，f(x)0；当 x 时，f(x)0 所以 x= 是极大值点，即最大值点最大值=02(2 一 t)e 一 tdt=1+e 一 2f(+)=0+(2 一 t)e 一 tdt=一(2 一 t)e 一 t|0+e 一 t|0+=1又 f(0)=0，故 x=0 为最小值点，所以 f(x)的最小值为 018 【正确答案】 由
11、分部积分法知19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 底面椭圆的方程为 =1，以垂直于 y 轴的平面截此楔形体，所得截面为直角三角形，其一直角边长为 另一直角边长为故截面面积22 【正确答案】 23 【正确答案】 24 【正确答案】 由题设知，当 x0 时据此并由 f(x)在点 x=0 处的连续性，得故 a=一 5 时，旋转体体积最小25 【正确答案】 由题设知 f(0)=0，(0)=0，令 xt=u，得从而可知 (x)在 x=0 处连续26 【正确答案】 由于 x0 时，ax 一 sinx0 且故 b=0再用洛必达法则若 a1，则上式为 ，与原题设不符，故 a=127 【正
12、确答案】 28 【正确答案】 令 (x)=一 xx1(t)dt，则 (x)在0，1上满足罗尔定理的条件，则存在 x0(0，1)，使 (x0)=0，即 x 0f(x0) 一 x01f(t)dt=0 又 “(x)=xf(x)+2f(x) 0，则上式中的 x0 是唯一的29 【正确答案】 设切点的横坐标为 x0，则曲线 y= 处的切线方程为 将 x=0，y=0 代入上式得 一 2(x 0一 1)=一 x0，解得 x0=2 于是切线方程为 由曲线段 y= (1x2)绕 x 轴旋转一周所得到的旋转面的面积为由直线段 y=(0x2)绕 x 轴旋转一周所得到的旋转面的面积为因此，所求旋转体的表面积为 S=Sn+S2=
