1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 21 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 则 fff(x)等于( )（A）0。（B） 1。（C）（D）2 设数列x n与y n满足 xnyn=0，则下列断言正确的是 ( )（A）若x n发散，则y n发散。（B）若 xn无界，则y n必有界。（C）若 xn有界，则y n必为无穷小。（D）若1 xn为无穷小，则y n必为无穷小。3 “对任意给定的 (0，1)，总存在正整数 N，当 nN时，恒有|x na|2” 是数列xn收敛于 a 的( )（A）充分条件但非必要条件。（B）必要条件但非充分条件。（C
2、）充分必要条件。（D）既非充分条件又非必要条件。4 设a n，b n，c n均为非负数列，且 an=0， bn=1， cn=，则必有( )（A）a nb n 对任意 n 成立。（B） bnc n 对任意 n 成立。（C）极限 ancn 不存在。（D）极限 bncn 不存在。5 设函数 f(x)在(0，+)上具有二阶导数，且 f“(x)0，令 un=f(n)(n=1，2，) 则下列结论正确的是( )（A）若 u1u 2，则u n必收敛。（B）若 u1u 2，则u n必发散。（C）若 u1u 2，则u n必收敛。（D）若 u1u 2，则u n必发散。6 设函数 f(x)在(，+)内单调有界，x n
3、为数列，下列命题正确的是( )（A）若x n收敛，则f(x n)收敛。（B）若 xn单调，则f(x n)收敛。（C）若 f(xn)收敛，则x n收敛。（D）若f(x n)单调，则x n收敛。7 设 an0(n=1，2，)，S n=a1+a2+an，则数列 Sn有界是数列a n收敛的( )（A）充分必要条件。（B）充分非必要条件。（C）必要非充分条件。（D）既非充分也非必要条件。8 设数列x n收敛，则( )9 设 a(x)=05xsinttdt，(x)= 0sinx(1+t)1t dt，则当 x0 时，(x)是 (x)的( )（A）高阶无穷小。（B）低阶无穷小。（C）同阶但不等价的无穷小。（D
4、）等价无穷小。10 设当 x0 时，(1cosx)ln(1+x 2)是比 xsinxn 高阶的无穷小，xsinx n 是比( 1)高阶的无穷小，则正整数 n 等于( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。11 把 x0 +时的无穷小量 =0xcost2dt，= =sint3dt 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是( )（A），。（B） ， 。（C） ， 。（D）， 。12 当 x0 +时，与 等价的无穷小量是( )13 当 x0 时，f(x)=xsinax 与 g(x)=x2ln(1bx)是等价无穷小量，则( )（A）a=1 ，6=16。（B） a=1，b=
5、16。（C） a=1，6=16。（D）a= 1， b=16。14 已知当 x0 时，函数 f(x)=3sinxsin3x 与 cxk 是等价无穷小量，则( )（A）k=1，c=4。（B） k=1，c=4。（C） k=3，c=4。（D）k=3，c=4。15 设 cosx1=xsin(x)，其中|(x)|2，则当 x0 时，(x) 是( )（A）比 x 高阶的无穷小量。（B）比 x 低阶的无穷小量。（C）与 x 同阶但不等价的无穷小量。（D）与 x 等价的无穷小量。16 当 x0 +时，若 ln(1+2x)，(1cosx) 1 均是比 x 高阶的无穷小，则 的取值范围是( )（A）(2 ，+) 。
6、（B） (1，2) 。（C） (12，1)。（D）(0 ，12) 。17 设 a1x(cos 1)，a 2= )，a 3= 1，当 x0 +时，以上三个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是( )（A）a 1，a 2，a 3。（B） a2，a 3，a 1。（C） a2，a 1，a 3。（D）a 3，a 2，a 1。18 （A）0。（B） 6。（C） 36。（D）。19 设 y=y(z)是二阶常系数微分方程 y“+py+qy=e3x 满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 的极限( )（A）不存在。（B）等于 1。（C）等于 2。（D）等于 3。二、填空题20 若 x0 时
7、，(1ax 2)14 1 与 xsinx 是等价无穷小，则 a=_。21 当 x0 时，(x)=kx 2 与 (x)= 是等价无穷小，则k=_。22 23 24 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 设函数 f(x)在 x=0 的某邻域具有二阶连续导数，且 f(0)0，f(0)0 ，f“(0)0。证明：存在唯一的一组实数 1， 2， 3，使得当 h0 时， 1f(h)+2f(2h)+3f(3h)f(0)=o(h 2)。26 试确定常数 A，B，C 的值，使得 ex(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3)，其中 o(x3)是当x0 时比 x3 高阶的无穷小。27 当 x0 时
8、，1cosxcos2xcos3x 与 axn 为等价无穷小量，求 n 与 a 的值。28 设函数 f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx 3。若 f(x)与 g(x)在 x0 时是等价无穷小，求 a，b， k 的值。29 确定常数 a，b，c 的值，使30 考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 21 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)= 所以在整个定义域内 f(x)=0 或 f(x)=1，所以|f(x)|1，于是 ff(x)=1，从而 fff(x)=f(1)=1。【知识模块】 函数、极
9、限与连续2 【正确答案】 D【试题解析】 方法一：直接利用无穷小量的性质可以证明 D 是正确的。由yn=(xnyn)1x n 及 xnyn=0， 1x n=0 可知，y n 为两个无穷小之积，故y n亦为无穷小，应选 D。方法二：排除法。选项 A 的反例：x n=n，y n=1n 2 xnyn=1n=0 满足题设，但是 yn=0 不发散；选项 B 的反例：满足 xnyn=0，但yn不是有界数列；选项 C 的反例：x n=1n(n=1，2，)是有界数列，yn=1(n=1，2，)，满足 xnyn= 1n=0 ，但y n不是无穷小；排除 A，B，C ，故选 D。【知识模块】 函数、极限与连续3 【正
10、确答案】 C【试题解析】 数列极限的定义：若对于任意给定的 0，总存在 N0，使得当nN 时|x na| ，则称数列x n收敛于 a。这里要抓住的关键是 要能够任意小，才能使|x na|任意小。 将本题的说法改成：对任意 1=2(0，2)0，总存在N10，使得当 nNN 1 时，有|x na| 2= 1，则称数列 xn收敛于 a。 由于1(0，2)可以任意小，所以 |xna| 能够任意小。故两个说法是等价的。【知识模块】 函数、极限与连续4 【正确答案】 D【试题解析】 方法一：推理法。由题设 bn=1，假设 bncn 存在并记为 A，则bncnb n=A，这与 cn=矛盾，故假设不成立，即
11、bncn 不存在。所以选项 D 正确。方法二：排除法。取 an=1n，b n=(n1)n，满足bn=1，而 a1=1，b 1=0，a 1b 1，A 不正确；取 bn=(n1)n，c n=n2，满足 cn=，而 b1=01=c 1，B 不正确；取an=1 n，c n=n2，满足 ancn=1，C 不正确。故选 D。【知识模块】 函数、极限与连续5 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A：设 f(x)=lnx，则 f(x)在(0，+) 上具有二阶导数，且 f“(x)0，u 1u 2，但u n=lnn)发散，排除 A；选项 B：设 f(x)=1x，则 f(x)在(0，+) 上具有二阶导数，且 f“(
12、x)0，u 1u 2，但u n=1n收敛，排除 B；选项 C：设 f(x)=x2，则 f(x)在(0，+) 上具有二阶导数，且 f“(x)0，u 1u 2，但u n=n2发散，排除 C；选项 D：由拉格朗日中值定理，有 un+1u n=f(n+1)f(n)=f(n)(n+1 n)=f(n)，其中 n(n，n+1)(n=1 ，2， )。由 f“(x)0 知，f(x)单调增加，故 f(1)f(2)f( n)，所以 un+1=u1+ (uk+1u k)=u1+ f(k)u 1+nf(1)=u1+n(u2u 1)，于是当 u2u 10 时，推得 un+1=+，故选 D。【知识模块】 函数、极限与连续6
13、 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)有界可得f(x n)也有界，由 f(x)单调且x n也单调可得f(x n)单调，此时f(x n)单调有界，故选 B。也可以举特例判断：如果令 xn=n，则f(x n)=0单调，由单调有界收敛定理可知，f(x n)是收敛的，但此时 xn是发散的，排除 C和 D。本题容易引起混淆的是选项 A，x n收敛时，假设 xn=a，此时要得到f(xn)也存在，必须有 f(x)在 x=a 处连续的条件。但题目中的条件并不能保证 f(x)在 x=a 处连续，所以 A 不正确。例如：【知识模块】 函数、极限与连续7 【正确答案】 B【试题解析】 由于 an0，S n是单
14、调递增的，可知当数列S n有界时，S n收敛，即 Sn 是存在的。此时有 (SnS n1 )= Sn1 =0，即a n收敛。反之，a n收敛，S n却不一定有界。例如，令 an=1，显然有a n收敛，但 Sn=n 是无界的。故数列S n有界是数列a n收敛的充分非必要条件，选 B。【知识模块】 函数、极限与连续8 【正确答案】 D【试题解析】 设 xn=a。选项 A，当 sinxn=sina=0 时，解得a=k(k=0，1，2，)， xn 不能确定为 0，故 A 错误。选项 B，当=0 时，解得 a=0 或 a=1， xn 不能确定为 0，故B 错误。选项 C，当 (xn+xn2)=a+a2=
15、0 时，解得 a=0 或者 a=1 时， xn 不能确定为 0，故 C 错误。选项 D，当 (xn+sinxn)=a+sina=0 时，解得 a=0，即xn=0，故 D 正确。【知识模块】 函数、极限与连续9 【正确答案】 C【试题解析】 当 x0 时有，所以，当 x0 时，(x) 是 (x)的同阶但不等价的无穷小。【知识模块】 函数、极限与连续10 【正确答案】 B【试题解析】 根据高阶无穷小的定义：如果 lim=0，就说 是比 高阶的无穷小，由题设当 x0 时，(1cosx)ln(1+x 2)是比 xsinxn 高阶的无穷小，所以从而 n 应满足 n2；又由 xsinxn 是比( 1)高阶
16、的无穷小，所以根据高阶无穷小的定义有：从而 n 应满足 n2。综上，正整数 n=2，故选 B。【知识模块】 函数、极限与连续11 【正确答案】 B【试题解析】 方法一： 可排除 C，D选项，又 可见 是比 低阶的无穷小量，故应选 B。方法二：分别求出 ， 关于 x 的阶数较为方便。由 cosx21=1，则 是 x 的一阶无穷小。则 是 x 的三阶无穷小。则 是 x 的二阶无穷小。因此选 B。【知识模块】 函数、极限与连续12 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 +时，有应选 B。【知识模块】 函数、极限与连续13 【正确答案】 A【试题解析】 由常见的等价无穷小替换公式以及常见函数的麦克劳
17、林展开式可知：当 x0 时，g(x)=x 3ln(1bx)bx 3，f(x)=xsinax=x(ax (ax)3+o(x3)=I(1 a)x+ x3+o(x3)。要使得 f(x)和 g(x)等价，则必有 1a=0 ，b=a 36，即a=1，b=16。故选 A。【知识模块】 函数、极限与连续14 【正确答案】 C【试题解析】 方法一：根据泰勒公式有 sinx=x +o(x3)，sin3x=3x +o(x3)，由此可得 k=3，c=4，因此选 C。方法二：根据洛必达法则有可得 k1=2，ck=12，即 k=3，c=4，因此选 C。【知识模块】 函数、极限与连续15 【正确答案】 C【试题解析】 由
18、 cosx1=xsin(x)和|(x)| 2 可得 (x)=arcsin 当 x0时，有 (x)=arcsin 12x，故选 C。【知识模块】 函数、极限与连续16 【正确答案】 B【试题解析】 由定义可知 = 2x1 =0所以10，故 1。当 x0 +时，(1cosx) 1 是比 x 高阶的无穷小，由所以 10，即 02。综上所述，1 2，故选 B。【知识模块】 函数、极限与连续17 【正确答案】 B【试题解析】 由常用的等价无穷小代换，可知 x0 +时，有 a112x 2，a 2x 56 ，a 313x， 则三个无穷小量从低阶到高阶排列应为a1，a 3，a 1。【知识模块】 函数、极限与连
19、续18 【正确答案】 C【试题解析】 方法一：凑成已知极限。(由于 1cosx12x 3 1cos(6x) 12(6x) 2)所以=36+0=36。方法二：根据极限与无穷小量的关系，由已知极限式令 从而sin6x+xf(x)=a(x)x3方法三：将 sin6x 在 x=0 处按佩亚诺余项泰勒公式展开至 x3 项：sin6x=6x +o(x3)=6x36x 3+o(x3)，=0+36 0=36。【知识模块】 函数、极限与连续19 【正确答案】 C【试题解析】 由 y“+py+qy=e3x 及 y(0)=y(0)=0 得， y“(0)=1。于是有故答案选 C。【知识模块】 函数、极限与连续二、填空
20、题20 【正确答案】 4【试题解析】 当 x0 时，(1ax 2)14 1 ax2，xsinxx 2。于是，根据题设有 =14a=1，故 a=4。【知识模块】 函数、极限与连续21 【正确答案】 34【试题解析】 由题设可知，=34k=1。故 k=34。【知识模块】 函数、极限与连续22 【正确答案】 14【试题解析】 方法一：采用洛必达法则。方法二：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至 x2 项，【知识模块】 函数、极限与连续23 【正确答案】 16【试题解析】 【知识模块】 函数、极限与连续24 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限与连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或
21、演算步骤。25 【正确答案】 方法一：只需证存在唯一的一组实数 1， 2， 3，使得根据题设和洛必达法则，有知 1， 2， 3 应满足方程组 因为系数行列式所以上述方程组存在唯一解，即存在唯一的一组实数1， 2， 3，使得当 h0 时， 1f(h)+2f(2h)+3(3h)f(0)是比 h2 高阶的无穷小。方法二：由麦克劳林公式得 f(h)=f(0)+f(0)+ f“()h2(其中 介于 0 与 h 之间)，根据题设，使得当 h0 时，有 f(h)=f(0)+f(0)h+ f“(0)h2+o(h2)同理可得 f(2h)=f(0)+2f(0)h+2f“(0)h2+o(h2)，f(3h)=f(0)
22、+3f(0)h+ f“(0)h2+o(h2)，故 1f(h)+2f(2h)+3f(3h)f(0)=(1+2+31)f(0)+( 1+22+33)f(0)h+ (1+42+93)f“(0)h2+o(h2)。因此 1， 2， 3应满足方程组 因为系数行列式 所以上述方程组的解存在且唯一，即存在唯一的一组实数 1， 2， 3，使得当 h0 时， 1f(h)+2f(2h)+3f(3h)f(0)是比 h2 高阶的无穷小。【知识模块】 函数、极限与连续26 【正确答案】 将泰勒公式 ex=1+x+ +o(x3)代入已知等式得1+x+ +o(x3)(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3)。整理得 1+(B
23、+1)x+(C+B+)+o(x3)=1+Ax+o(x3)，比较两边 x 的同次幂系数得 B+1=A，(1)C+B+ =0， (2) 式(2)(3)得 =0，则 B=23，代入(1)得 A=13，代入(2)得 C=16。所以A=13，B=23，C=16。【知识模块】 函数、极限与连续27 【正确答案】 方法一：由和差化积公式可得n=2 时上述极限存在，故方法二：泰勒展开式。cosx=1 x2+o(x3)，cos2x=1 (2x)2+o(x3)，cos3x=1 (3x)2+o(x3)，则原极限可化为将分子展开，进一步整理为 则 a=7，n=2。【知识模块】 函数、极限与连续28 【正确答案】 使用泰勒公式 ln(1+x)=x x3+o(x3)；sinx=x x3+o(x3)。所以1+a=0，b =0，a3k=1，故 a=1，b=12， k=13。【知识模块】 函数、极限与连续29 【正确答案】 当 x0 时 axsinx0，又由题设所以应有矛盾)，从而只有b=0。因此 满足洛必达法则的条件，用洛必达法则求其极限。(当 x0 时，ln(1+x)x) 如果 a1，则右边极限为，与原式左边矛盾，故 a=1，于是上述等式化为 0c= =12(当 x0 时，1cosx12x 2)。所以得a=1，b=0，c=12。【知识模块】 函数、极限与连续30 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限与连续
