1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 33 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。0 函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=1 且满足等式 f(x)+f(x) 0xf(t)dt=0。1 求导数 f(x)；2 证明：当 x0时，成立不等式 ex f(x)1成立。3 利用代换 y=ucosx 将方程 y“cosx2ysinx+3ysinx=e x 化简，并求出原方程的通解。4 设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 ，且此曲线上点(0，1) 处的切线方程为 y=x+1，求该曲线的方程，并求函数 y=y(x)的极值。5 某湖泊的水量为 V
2、，每年排入湖泊内含污染物 A 的污水量为 V6，流入湖泊内不含 A 的水量为 V6，流出湖泊的水量为 V3，已知 1999 年底湖中 A 的含量为5m0，超过国家规定指标。为了治理污染，从 2000 年初起，限定排入湖泊中含 A污水的浓度不超过 m0V。问至多需要经过多少年，湖泊中污染物 A 的含量降至m0 以内。( 注：设湖水中 A 的浓度是均匀的)6 设函数 f(x)，g(x) 满足 f(x)=g(x)，g(x)=2e xf(x)，且 f(0)=0，g(0)=2，求 0dx。7 设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距
3、，且 L 经过点(12，0)。()试求曲线 L 的方程；()求 L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形面积最小。7 设函数 y=y(x)在( ，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y) 是 y=y(x)的反函数。8 试将 x=x(y)所满足的微分方程 +(y+sinx)(dxdy) 3=0 变换为 y=y(x)满足的微分方程；9 求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)=23 的解。9 设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点( ，12)，其上任一点 P(x，y)处的法线与 y轴的交点为 Q，且线段 PQ 被 x 轴平分。10 求曲线 y=f(x)的
4、方程；11 已知曲线 y=sinx 在0 ， 上的弧长为 l，试用 l 表示曲线 y=f(x)的弧长 s。12 用变量代换 x=cost(0t)化简微分方程(1x 2)y“xy+y=0 ，并求其满足y|x=0=1，y| x=0=2 的特解。12 设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且 z=f( )满足等式13 验证 f“(u)+ =0；14 若 f(1)=0，f(1)=1 ，求函数 f(u)的表达式。15 设 y=y(x)是区间 ( ，)内过( )的光滑曲线，当一 x0 时，曲线上任一点处的法线都过原点，当 0x 时，函数 y(x)满足 y“+y+x=0。求函数 y(x)的表达式。16
5、 设函数 y=f(x)由参数方程 (t1)所确定，其中 (t)具有二阶导数，且 (1)=52 ，(1)=6，已知 d2ydx 2，求函数 (t)。17 设函数 y(x)具有二阶导数，且曲线 l：y=y(x)与直线 y=x 相切于原点，记 a 为曲线 l 在点(x，y) 处切线的倾角，若 ddx=dy dx，求 y(x)的表达式。18 设函数 f(u)具有二阶连续导数，z=f(e xcosy)满足 =(4z+excosy)e2x，若 f(0)=0，f(0)=0 ，求 f(u)的表达式。19 设 y(x)是区间 (0，32)内的可导函数，且 y(1)=0，点 P 是曲线 l：y(x) 上的任意一点
6、。l 在 P 处的切线与 y 轴相交于点(0，Y p)，法线与 x 轴相交于点(X p，0)，若Xp=Yp，求 l 上点的坐标(x，y)满足的方程。20 设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y(x)0，y(0)=1。过曲线 y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间 0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1S 2 恒为1，求此曲线 y=y(x)的方程。21 如图，C 1 和 C2 分别是 y=12(1+e x)和 y=ex 的图形，过点(0，1)的曲线 C3 是一单调增函数的图形。过
7、C2 上任一点 M(x，y)分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线 lx 和ly。记 C1，C 2 与 lx 所围图形的面积为 S1(x)；C 2，C 3 与 ly 所围图形的面积为 S2(y)。如果总有 S1(x)=S2(y)，求曲线 C3 的方程 x=(y)。22 设 f(x)是区间0，+)上具有连续导数的单调增函数，且 f(0)=1。对任意的t0，+)，直线 x=0，x=t，曲线 y=f(x)以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周生成一旋转体。若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 f(x)的表达式。23 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深
8、度 y(从海平面算起)与下沉速度 v 之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为 m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 k(k0)。试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=y(v)。24 一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 S 成正比，比例常数K0。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 r0 的雪堆在开始融化的 3 小时内，融化了其体积的 78，问雪堆全部融化需要多少小时?24 有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x=(y)(y0)绕 y 轴旋转
9、而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为 2m。根据设计要求，当以 3m3min 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以 m2min 的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)。( 注： m 表示长度单位米， min 表示时间单位分。 )25 根据 t 时刻液面的面积，写出 t 与 (y)之间的关系式；26 求曲线 x=(y)的方程。27 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下来。 现有一质量为 9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700kmh。经测试，减速伞打开后，飞机所受的阻力与飞机的速度成正比(比例系数为
10、k=6010 6)。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?注：kg 表示千克，kmh 表示千米小时。28 已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为 120的物体在 20的恒温介质中冷却，30min 后该物体的温度降至 30，若要将该物体的温度继续降至 21，还需冷却多长时间?考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 33 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 常微分方程1 【正确答案】 为了求 f(x)，将 f(x)+f(x) 0xf(t)dt=0 两边同乘(x+1)，得(x+1)f(x)
11、+(x+1)f(x)=0xf(t)dt=0，两边对 x 求导，得 f(x)+(x+1)f“(x)+f(x)+(x+1)f(x)f(x)=0，即 (x+1)f“(x)+(x+2)f(x)=0。上述方程为二阶可降阶微分方程，令 u=f(x)，化为(x+1)u+(x+2)u=0，即即ln|u|=(x+ln(x+1)+C 1，所以再以 x=0代入原方程 f(0)+f(0) 00f(t)dt=f(0)+f(0)=0，由 f(0)=1，有 f(0)=1，于是C=1，f(x)= 【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 方法一：用积分证。f(x)=f(0)+ 0xf(t)dt=1 0x dt。而00x dt
12、0xet dt=e t |0x=1e x ，两边同乘以(1)，得：ex 1 0x dt0，即 et f(x)=1 0x dt1。方法二：用微分学方法证。因f(0)=1，f(x)0，即 f(x)单调递减，所以当 x0时 f(x)1。要证 f(x)ex ，可转化为证明 f(x)e x 0，令 (x)=f(x)e x ，则 (0)=11=0，且 (x)=f(x)+ex f(x)+=0(x0)，所以，当 x0时 (x)0，即 f(x)ex 。结合两个不等式，推知当x0时，e x f(x)1。证毕。【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 方法一：由 y=ucosx=usecx，有y=usecx+use
13、cxtanx，y“=u“secx+2usecxtanx+u(secxtan 2x+sec3x)，代入原方程y“cosx2ysinx+3ycosx=e x，得 u“+4u=ex。(*)先求其相应齐次方程的通解，由于其特征方程为 2+4=0，则特征方程的根为 =2i。所以通解为 (x)=C1cos2x+C2sin2x(C1，C 2 为任意常数)。再求非齐次方程的特解，特解应具有形式u*(x)=Aex，代入(*) 式，得(Ae x)“+4Aex=Aex+4Aex=5Aex=ex，解得，A=15，因此u*(x)=15e x。故(*) 的通解为 u(x)=C1cos2x+C2sin2x+ ex(C1，C
14、 2 为任意常数)。所以，原微分方程的通解为 y=C1 ，其中 C1，C 2 为任意常数。方法二：由 y=ucosx 有 u=ycosx，于是u=ycosxycosx，u“=y“cosx2ycosxycosx ，原方程化为 u“+4u=ex(以下与方法一相同)。【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 由题设及曲率公式，有 (因曲线 y=y(x)向上凸，y“0 ，|y“|=y“) ，化简得解得arctany=x+C 1。由题设，曲线上点(0，1)处的切线方程为 y=1+x，可知 y(0)=1，y(0)=1 。以 x=0 代入上式，得 C1=4。于是有 arctany=x+ ，故有(上式中注明区
15、间是4x3 4 的原因：本题中使正切函数有意义的区间有很多，一般可以写成+2n，本题选择 4x34 是因为题设曲线在 x=0 处有值，又已知曲线是一条连续曲线，因此解的范围应该包含 x=0 在内并且使 y(x)连续的一个区间)再积分得 又由题设可知 y(0)=1，代入确定 C2=1lncos ln2，于是所求的曲线方程为由于 cos( x)1，且 lnx 在定义域内是增函数，所以当且仅当 cos( x)=1 时，即 x=4 时 y 取得最大值，由于4( 4，34)，所以此时也是 y 取极大值，极大值为 y=1+ ln2；显然 y在4x34 没有极小值。【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】
16、设从 2000 年初(相应 t=0)开始，第 t 年湖泊中污染物 A 的总量为m，浓度为 mV，则在时间间隔t，t+dt 内，排入湖泊中 A 的量为：m0VV6(t+dtt)=m 06dt，流出湖泊的水中 A 的量为mVV3dt=m 3dt。因而时间从 t 到 t+dt 相应地湖泊中污染物 A 的改变量为dm=( )dt。由分离变量法求解： 两边求积分：初始条件为 m(0)=5m0，代入初始条件得 C=92m 0。于是 m=m02(1+9e t 3 )，要满足污染物 A 的含量可降至 m0 内，命 m=m0，得 t=6ln3。即至多需经过 6ln3 年，湖泊中 A 的含量降至 m0 以内。【知
17、识模块】 常微分方程6 【正确答案】 由 f(x)=g(x)，g(x)=2e xf(x) ，得 f“(x)=g(x)=2exf(x)，即 f“(x)+f(x)=2ex，此为二阶常系数线性非齐次方程，且右端呈 Pm(x)ex型(其中 Pm(x)=2，=1)，对应的齐次方程为 f“(x)+f(x)=0，特征方程为 r2+1=0，对应的特征值为r=i，于是齐次方程的通解为 y=C1cosx+C2sinx。因为 =1r，所以设特解为y*=aex(a 为实数 )，(y *)“=aex，代入 f“(x)+f(x)=2ex，ae x+aex=2ex，所以 a+a=2，即a=1，从而特解 y*=ex，非齐次方
18、程的通解为 f(x)=C1cosx+C2sinx+ex，又 f(0)=0，所以，f(0)=C 1cos0+C2sin0+e0=0 C1+1=0 C1=1，又 f(x)=C 1sinx+C2cosx+ex，f(0)=g(0)=2，所以，f(0)=C 1sin0+C2cos0+e0=C2+1=2 C2=1，所以原方程的解为 f(x)=sinxcosx+e x。【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 () 设曲线 L 过点 P(x，y)的切线方程为 Yy=y(Xx)，令 X=0，则 Y=xy+y，即它在 y 轴上的截距为xy+y。根据两点(x，y)，(x 0，y 0)距离公式 d= 所以原点到点
19、P(x，y)的距离为 ，由题设P(x，y)(x 0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，所以此为一阶齐次方程，按规范方法解之，令 y=ux，则 dydx=u+xdu ，代入，方程变为由题设曲线经过点(12，0)，代入得 0+ =C，则 C=12，故所求方程为 ()由() 知 y= x 2，则 y=2x，点P(x，y)=P(x ， x 2)，所以在点 P 处的切线方程为 Y( x 2)=2x(Xx)，分别令 X=0，Y=0，解得在 Y 轴，x 轴上的截距分别为 x2+ 此切线与两坐标轴围成的三角形面积为 A(x)=12( )=164x(4x 2+1)2，x0。由于该曲线在第一象
20、限中与两坐标轴所围成的面积为定值，记 S0，于是题中所要求的面积为 S(x)=A(x)S 0=164x(4x 2+1)2S 0，求最值点时与 S0 无关，以下按微分学的办法求最值点。根据极值存在的第一充分条件：设函数 f(x)在 x0 处连续，且在 x0 的某去心 邻域内可导，若 x(x0，x 0)时，f(x)0，而 x(x0，x 0+)时，f(x)0，则 f(x)在 x0处取得极大值，知：x= 是 S(x)在 x0 处的唯一极小值点，即最小值点。于是所求切线方程为：【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 由反函数的求导公式知 dxdy=1y，于是有将其代入原微分方程
21、得y“ y=sinx。(*)【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 方程(*)所对应的齐次方程 y“y=0 的通解为 Y=C1ex+C2ex 。设方程(*)的特解为 y*=Acosx+Bsinx，代入方程(*) ，求得 A=0，B= 12，即y*=1 2sinx，因此 y“y=sinx 的通解是 y=Y+y*=C1ex+C2ex sinx。由 y(0)=0，y(0)=3 2，得 C1=1，C 2=1。故所求初值问题的解为 y=exe x sinx。【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点 P(x，y)处的法线方程为 Yy= 1y(Xx)，其中
22、(X ， Y)为法线上任意一点的坐标。令 X=0，则 Y=y+ 故 Q 点的坐标为(0，y+ )，由题设知 1 2(y+y+ )=0，即 2ydy+xdx=0。积分得 x2+2y2=C(C 为任意常数)。由 y =12 知 C=1，所以曲线 y=f(x)的方程为 x2+2y2=1。【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 曲线 y=sinx 在0， 上的弧长为曲线 y=f(x)的参数方程为令 t= u，则【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 由题干可知， 代入原方程，得 +y=0。解此微分方程，得 y=C1cost+C2sint=C1x+C2 将y|x=0=1，y| x=0=2 代入，
23、可得 C1=2，C 2=1。故满足条件的特解为 y=2x+【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 设 u= ，则【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 令 f(u)=p，则 p+ dp p=duu，两边积分得lnp= lnu+lnC1，即 p=C1u，亦即 f(u)=C 1u。由 f(1)=1 可得 C1=1。所以有f(u)=1u，两边积分得 f(u)=lnu+C2。由 f(1)=0 可得 C2=0，故 f(u)=lnu。【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 当 x0 时，曲线上任一点处切线的斜率为 y。因为该点处的法线过原点，所以 y=1y ，即 ydy
24、=xdx，两边积分可得 y2=x 2+C。将 y(代入 y2=x 2+C 可得 C=2，则 y= 当 0x 时，y“+y=x，其对应的齐次线性微分方程 y+y=0 的特征方程为 2+1=0，解得 =i，故 y“+y=0 的通解为 y=C1cosx+C2sinx。因为 0 不是特征根，所以设 y“+y=x 的特解为y*=ax+b，代入 y“+y=x 可得 a=1，b=0 ，故方程 y“+y=x 的通解为y=C1cosx+C2sinxx。由 y(x)是( ，) 内的光滑曲线可知， y(x)在分段点 x=0 处连续且可导，而 所以C1=，C 2=1。综上，【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】
25、因为从而可得(1+t)“(t)(t)=3(1+t) 2，即 “(t) (t)=3(1+t)。设 u=(t)，则有下列结论，uu=3(1+t)，由公式可得： =(1+t)3(1+t)(1+t) 1 dt+C1=(1+t)(3t+C1)，由 u|t=1=(1)=6，可得 C1=0，因此 (t)=3t(1+t)，(t)=3(t+t 2)dt=3( t3)+C2= t2t3+C2，由 (1)=52，可得 C2=0 因此(t)= t2+t3(t 1)。【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 dydx=tan，两边对 x 求导得 sec2ddx=y“ ，即(1+y 2)y=y“。因此可知 令 y=p，
26、则 y“=dpdx，于是有 dpdx=p(1+p 2)，分离变量得 ln =x+C1，代入初始条件得 C1=ln因为 y(0)=0，所以再次积分可得【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 设 u=excosy，则 z=f(u)=f(excosy)，分别对 x，y 求导得=f“(u)e2xcos2y+f(u)excosy， =f“(u)e2xsin2yf(u)e xcosy，则 =f“(u)e2x=f“(excosy)e2x。由已知条件=(4z+excosy)e2x，可知 f“(u)=4f(u)+u。这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程。对应齐次方程的通解为 f(u)=C1e2u+C2e2u
27、 ，其中 C1，C 2 为任意常数。设非齐次方程的特解为 y*=ax+b，代入可得 a=1 4，b=0。对应非齐次方程特解为y*=1 4u。故非齐次方程通解为 f(u)=C1e2u+C2e2u u。将初始条件 f(0)=0，f(0)=0 代入，可得 C1=116，C 2=116，所以 f(u)的表达式为【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 设点 P 处的切线为 Yy=y(X x)，则法线为Yy=1y(X x) 。令 X=0 得 Yp=yyx，令 Y=0 得 Xp=x+yy。由 Yp=Xp 得，yxy=x+yy，即( 1。令 yx=u，则 那么(u+1)(x +u)=u1，即 du=dxx
28、，解得 12ln(u 2+1)+arctanu=lnx+C ，即 已知 y(1)=0，所以 C=0。【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 如图，曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 Yy(x)=y(x)(X x)。所以切线与 x 轴的交点为 (x ，0) 。由于 y(x)0，y(0)=1，因此 y(x)0(x 0)。于是 S1=12y|x(x )“=y22y又 S2=0xy(t)dt，根据题设2S1S 2=1，即 2y 22y 0xy(t)dt=1，两边对 x 求导并化简得 yy“=(y)2，这是可降阶的二阶常微分方程，令 p=y，则 则上述方程可化为 ypdpdy=p 2
29、 分离变量得 dpp=dy y，解得 p=C1y，即 dydx=C 1y，从而有根据 y(0)=1， y(0)=1，可得 C1=1，C 2=0，故所求曲线得方程为 y=ex。【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 如图，有 S1(x)=0xet (1+etdt=12(e xx1)，S 2(y)=1ylnt(t)dt，由题设，得 12(e xx1)= 1ylnt(t)dt，而 y=ex，于是12(y lny 1)= 1ylnt(t)dt，两边对 y 求导得 12(1 )=lny(y)，故所求的函数关系为 x=(y)=lny【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 旋转体的体积 V=0tf2
30、(x)dx，侧面积 S=20tf(x) dx，由题设条件知 0tf2(x)dx=0tf(x) dx，上式两端对 t 求导得 f2(t)=f(t)即 y= 由分离变量法解得 ln(y+ )=t+C1，即y+ =Cet。将 y(0)=1 代入得 C=1，故 y+ =et，y=12(e t+et )。于是所求函数为 y=f(x)=12(e x+ex )。【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 先建立坐标系，取沉放点为原点 O，铅直向下作为 Oy 轴正向，探测器在下沉过程中受重力、浮力和阻力的作用，其中重力大小：mg ，浮力的大小：F 浮 =B；阻力： kv，则由牛顿第二定律得md2ydt 2=m
31、gB kv，y| t=0=0，v| t=0=0。(*)代入(*)得 y 与 v 之间的微分方程mv(dydv) 1=mgBkv，v| y=0=0。分离变量得再根据初始条件v|y=0=0，即【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 半球形雪堆在时刻 t 时设其半径为 r，则半球体积 V=23r 3，侧面积 S=2r2。由题设体积融化的速率与半球面面积 S 成正比，知：dVdt=KS 。由于 r 是 t 的函数，dVdt=ddt(1 3r 3)=2r2drdt ，代入上式，得：2r2dr dt=KS，即 2r2drdtK2r 2，从而 dr=Kdt，r| t=0=r0。积分得r=Kt+C，把 r
32、|t=0=r0 代入，得 C=r0，所以 r=Kt+r 0。又半径为 r0 的雪堆在开始融化的 3 小时内，融化了其体积的 78，即 V|t=3=V0 V0=18v 0，其中 V0 表示t=0 时的 V。以 V 的公式代入上式，为 V|t=3=23r 3|t=3=1823r 03，将r=Kt+r 0(代入上式，两边约去 23 ，得：(Kt+r 0)3=18r 03，即Kt+r 0=12r 0，从而求得：K=16r 0，于是 r=Kt+r 0=16r 0t+r0=r0(1 )，当t=6 时 r=0，雪融化完。【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 设在 t 时刻，液面
33、的高度为 y，则由题设知此时液面的面积 2(y)=4+t，因此 t= 2(y)4。【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 液面的高度为 y 时，液体的体积为 0y2(u)du=3t=32(y)12。 上式两边对 y 求导，得 2(y)=6(y)(y)， 即 (y)=6(y)， 解此微分方程，得 (y)=Ce6y ，其中 C 为任意常数， 由 (0)=2知 C=2，故所求曲线方程为x=2e6y 。【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 方法一：由题设，飞机的质量 m=9000kg，着陆时的水平速度v0=700kmh 。从飞机接触跑道开始记时，设 t 时刻飞机的滑行距离为 x(t)，速度为
34、 v(t)。由牛顿第二定律，得 mdvdt= kv。又dvdt= dv dxdxdt=vdvdx，从而得 dx=m kdv，积分得 x(t)=m kv+C。又 v(0)=v0，x(0)=0 ，故得 C=mkv 0，从而 x(t)=mk(v 0v(t)。当v(t)0 时， 所以，飞机滑行的最长距离为105km。方法二：根据牛顿第二定律，得 mdvdt=kv，即 dvv=kmdt。两端积分得通解 v=Cek mt，代入初始条件 v|t=0=v0，解得 C=v0，故 v(t)=v0ekmt 。飞机滑行的最长距离为 x=0+v(t)dt =mv0k=1 05(km)。故最长距离为当 t时，x(t)mv0k=105(km)。【知识模块】 常微分方程28 【正确答案】 设 t 时刻，物体的温度为 f(t)，比例系数为 k，由题设可知 f(t)=k(t)20， 解得 f(t)=20+Cekt，由题设可知初始条件为 f(0)=120，f(30)=30，代入可得 C=100， k=ln1030，则 f(t)=20+100eln1030t ，令 21=20+100eln1030t ，解得t=60， 6030=30，故还需 30min。【知识模块】 常微分方程
