1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，则（A）一 2f(0).（B）一 f(0). （C） f(0). （D）02 函数 f(x)=ln|(x 一 1)（x 一 2)(x 一 3)|的驻点个数为（A）0（B） 1（C） 2（D）33 曲线 y= 渐近线的条数为（A）0（B） 1（C） 2（D）34 设函数 f(x)=(ex 一 1)(e2x 一 2)（e nx 一 n），其中 n 为正整数，则 f(0)=（A）（一 1)n 一 1（n 一 1）!（B）（一
2、1） n（n 一 1）!（C）（一 1） n1n!（D）（一 1） nn!5 设函数 y=f(x)由方程 cos(xy)+lny 一 x=1 确定，则（A）2（B） 1（C）一 1（D）一 26 下列曲线中有渐近线的是（A）y=x+sinx（B） y=x2+sinx（C） y=x+sin（D）y=x 2+sin7 设函数 f(x)具有 2 阶导数，g(x)=f(0)(1 一 x)+f(1)x，则在区间0，1上（A）当 f(x)0 时，f(x)g(x)（B）当 f(x)0 时，f(x)g(x)（C）当 f“(x)0 时，f(z)g(x)（D）当 f“(x)0 时，f(x)g(x)8 曲线 上对应
3、于 t=1 的点处的曲率半径是9 设函数 f(x)=arctanx，若 f(x)=xf()，则10 设函数 f(x)= (0， 0)若 f(x)在 x=0 处连续，则（A） 一 1（B） 0 一 1（C） 一 2（D）0 一 211 设函数 f(x)在(一，+)内连续，其 2 阶导函数 f“(x)的图形如右图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为（A）0（B） 1（C） 2（D）312 设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则（A）函数 f(x)有 2 个极值点，曲线 y=f(x)有 2 个拐点 （B）函数 f(x)有 2 个极值点，曲线 y=f(x)有 3 个拐点（C）函
4、数 f(x)有 3 个极值点，曲线 y=f(x)有 1 个拐点（D）函数 f(x)有 3 个极值点，曲线 y=f(x)有 2 个拐点13 设函数 fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且 fi“(x0)0(i=1，2)若两条曲线y=fi(x)(i=1， 2)在点(x 0，y 0)处具有公切线 y=g(x)，且在该点处曲线 y=f1(x)的曲率大于曲线 y=f2(x)的曲率，则在 x0 的某个邻域内，有（A）f 1(x)f2(x)g(x)（B） f2(x)f1(x)g(x)（C） f1(x)g(x)f2(x)（D）f 2(x)g(x)f1(x)二、填空题14 曲线 y= 的渐近线方程为_15
5、 函数 y=ln(1 一 2x)在 x=0 处的 n 阶导数 y(n)(0)=_16 已知一个长方形的长 l 以 2cm/s 的速率增加，宽 以 3 cm/s 的速率增加，则当l=12 cm，=5 cm 时，它的对角线增加的速率为_17 设 y=y(x)是由方程 x2 一 y+1=ey 所确定的隐函数，则 |x=0=_18 曲线 y=x2+x(x0)上曲率为 的点的坐标是_19 曲线 上对应于 t=1 的点处的法线方程为_20 设 f(x)是周期为 4 的可导奇函数，且 f(x)=2(x 一 1)，x0，2，则 f(7)=_21 曲线 L 的极坐标方程是 r=，则 L 在点(r，)= 处的切线
6、的直角坐标方程是_22 =_23 函数 f(x)=x22x 在 x=0 处的竹阶导数 f(n)(0)=_24 曲线 y= +arctan(1+x2)的斜渐近线方程为_25 已知函数 f(x)在(一，+)上连续，且 f(x)=(x+1)2+20xf(t) dt，则当 n2 时，f (n)(0)=_26 已知动点 P 在曲线 y=x3 上运动，记坐标原点与点 P 间的距离为 l若点 P 的横坐标对时间的变化率为常数 0，则当点 P 运动到点(1，1)时，l 对时间的变化率是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 求函数 f(x)= 的单调区间与极值28 设函数 f(x)在闭区间0
7、，1上连续，在开区间(0 ，1) 内可导，且 f(0)=0，f(1)=证明：存在 (0， )，( ，1)，使得 f（）+f()= 2+229 设函数 y=y(x)由参数方程 确定，求 y=y(x)的极值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点30 证明： (一 131 设奇函数 f(x)在一 1， 1上具有 2 阶导数，且 f(1)=1证明：()存在 (0，1) ，使得 f（）=1；()存在 (一 1，1)，使得 f“(17)+f()=132 已知函数 y=y(x)满足微分方程 x2+y2y= 1 一 y，且 y(2)=0，求 y(x)的极大值与极小值33 已知函数 f(x)= 求 f(x)零点的个
8、数34 已知函数 f(x)在区间，+) 上具有 2 阶导数，f(a)=0，f(x) 0，f“(x)0设ba，曲线 y=f(x)在点(b，f(b)处的切线与 x 轴的交点是(x 0，0) ，证明 ax 0b考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 2 【正确答案】 C【试题解析】 令 3x 212x+11=0 由于 = 122 一 12x+110，则该方程有两个实根，f(x) 有两个驻点3 【正确答案】 C【试题解析】 由于 =1，则该曲线有水平渐近线 y=1又=，则 x=1 为该曲线的一
9、条垂直渐近线，故应选 (C)4 【正确答案】 A【试题解析】 排除法：当 n=2 时，f(x)=(e x 一 1)(e2x 一 2) f(x)=ex(e2x 一 2)+2e2x(ex一 1) f(0)=一 1 显然，(B)(C)(D)都不正确，故应选 (A)5 【正确答案】 A【试题解析】 由方程 cos(xy)+lny 一 x=1 知，当 x=0 时，y=1 ，即 f(0)=1，以上方程两端对 x 求导得 将 x=0，y=1 代入上式得y|x=0=1，即 f(0)=1，6 【正确答案】 C【试题解析】 由于所以曲线y=x+ 有斜渐近线 y=x，故应选(C) 7 【正确答案】 D【试题解析】
10、由于 g(0)=f(0)，g(1)=f(1) ，则直线 y=f(0)(1 一 x)+f(1)x 过点(0，f(0)和(1， f(1)，当 f“(x)0 时，曲线 y=f(x)在区间0 ，1上是凹的，曲线 y=f(x)应位于过两个端点(0，f(0)和(1 ，f(1) 的弦 y=f(0)(1 一 x)+f(1)x 的下方，即 f(x)g(x) 故应选(D)8 【正确答案】 C【试题解析】 故应选(C)9 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)= arctanx，及 f(x)=xf()得故应选(D)10 【正确答案】 A【试题解析】 f 一 (0)=0， f+(0)= 该极限存在当且仅当 一 1
11、0，即 1此时，1，f +(0)=0，f(0)=0当 x0 时，f(x)=ax 一1+x 一 一 1cos 要使上式的极限存在且为 0，当且仅当 一 一 10则 一 1故应选(A) 11 【正确答案】 C【试题解析】 由右图知 f“(x1)=f“(x2)=0，f“(0) 不存在，其余点上二阶导数 f“(x)存在且非零，则曲线 y=f(x)最多三个拐点，但在 x=x1 两侧的二阶导数不变号，因此不是拐点，而在 x=0 和 x=x2 两侧的二阶导数变号，则曲线 y=f(x)有两个拐点，故应选(C)12 【正确答案】 B【试题解析】 x 1，x 3，x 5 为驻点，而在 x1 和 x3 两侧一阶导数
12、 f(x)变号，则为极值点，在 x5 两侧一阶导数 f(x)不变号，则不是极值点，在 x2 处一阶导数不存在，但在 x2 两侧 f(x)不变号，则不是极值点在 x2 处二阶导数不存在，在 x4 和 x5 处二阶导数为零，在这三个点两侧一阶导函数的增减性发生变化，则都为拐点，故应选(B)13 【正确答案】 A【试题解析】 由函数 fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且 fi“(x0)0(i=1，2)可知，在 x0 某邻域内曲线 y =fi(x)(i=1，2)是凸的，而两曲线 y=fi(x)(i=1，2)在点(x 0，y 0)处有公共切线 y=g(x)，且在该点处曲线 y=f1(x)的曲率大
13、于曲线 y=f2(x)的曲率，则在x0 的某邻域内三条曲线如图所示，故在 x0 点的该邻域内 f1(x)f2(x)g(x)故应选(A)二、填空题14 【正确答案】 y=2x【试题解析】 显然曲线 y= 无水平渐近线和垂直渐近线，则原曲线有斜渐近线y=2x15 【正确答案】 一 2n(n 一 1)!.【试题解析】 利用 ln(l+x)的麦克劳林展开式16 【正确答案】 3【试题解析】 设 l=x(t)，=y(t)，其对角线长为 z(t)，则 z2(t)=x2(t)+y2(t)，2z(t)z(t)=2x(t)x(t)+2y(t)y(t)将 x(t)=12，y(t)=5，x(t)=2 ，y(t)=3
14、，z(t)= =13代入上式得 z(t)=317 【正确答案】 1【试题解析】 在方程 x2 一 y+1=e y 中令 x=0，得 y=0，该方程两端对 x 求导得 2x一 y=eyy 将 x=0，y=0 代入上式得 y(0)=0，上式再对 x 求导 2 一 y“=eyy2+eyy“ 将x=0，y=0，y (0)代入上式得 y“(0)=118 【正确答案】 (一 1，0)【试题解析】 由 y=x2+x 得，y=2x+1 ，y“=2，代入曲率计算公式得由 K= 得 (2x+1) 2=1 解得 x=0 或 x=一 1，又 x0，则 x=一 1，这时 y=0，故所求点的坐标为(一 1，0)19 【正
15、确答案】 y+x=【试题解析】 而 t=1 时，x= 则 t=1处的法线方程为20 【正确答案】 1【试题解析】 由 f(x)=2(x 一 1)，x0，2知，f(x)=(x 一 1)2+C又 f(x)为奇函数，则 f(0)=0，C=一 1f(x)=(x 一 1)2 一 1 由于 f(x)以 4 为周期，则 f(7)=f8+(一 1)=f(一 1)=一 f(1)=121 【正确答案】 【试题解析】 22 【正确答案】 48【试题解析】 23 【正确答案】 n(n 一 1)(ln2)n 一 2【试题解析】 24 【正确答案】 y=x+【试题解析】 则该曲线的斜渐近线方程为 y=x+25 【正确答案
16、】 52 n 一 1【试题解析】 等式 f(x)=(x+1)2+20xf (t)dt 两边对 x 求导得 f(x)=2(x+1)+2f(x)，f(0)=2+2f(0)=4 f“(x)=2+2f(x)，f“(0)=2+2f(0)=10 f“(x)=2f“(x) f(n)(x)=2f(n 一 1)(x)=22f(n 一2)(x)=2n 一 2f“(x) (n2) f (n)(0)=2n 一 22f“(0) (n2) = 2 n 一 210=2 n 一 15.26 【正确答案】 【试题解析】 由题设知三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 【正确答案】 f(x)的定义域为( 一，+)
17、，由于所以 f(x)的驻点为 x=0，1列表讨论如下：因此，f(x)的单调增加区间为( 一 1，0)及(1，+)，单调减少区间为(一，一 1)及(0，1)；极小值为 f(1)=0，极大值为 f(0)= (1 一 e 一 1)28 【正确答案】 设函数 F(x)=f(x)一 x3，由题意知 F(0)=0，F(1)=0 二式相加，得 F(1) 一 F(0)= (f()一 2)+ (f()一 2)=0 即 f()+f()=2+229 【正确答案】 【试题解析】 由此可知，函数 y(x)的极大值为 y(一 1)=y|t=一 1=1，极小值为曲线 y=y(x)的凹区间为由于 所以曲线 y=y(x)的拐点
18、为30 【正确答案】 令 f(x)= 一 1x1显然 f(x)为偶函数，因此，只要证明 f(x)0 x0，1)由于 当 x(0，1)时，从而有 f(x)0 x (0，1)又 f(0)=0则 f(x)0 x0，1)故原不等式成立31 【正确答案】 () 因为 f(x)是区间一 1，1上的奇函数，所以 f(0)=0因为函数f(x)在区间0，1上可导，根据微分中值定理，存在 (0，1)，使得 f(1)一 f(0)=f()又因为 f(1)=1，所以 f()=1()因为 f(x)是奇函数，所以 f(x)是偶函数，故 f(一)=f()=1令 F(x)=f(x)一 1ex，则 F(x)可导，且 F(一 )=
19、F()=0根据罗尔定理，存在 (一 ，) (一 1，1)，使得 F()=0由 F() =f“()+f()一 1e且 e0，得 f“()+f()=132 【正确答案】 由 x2+y2 y=1 一 y，得 y= 令 y=0 得 x=1，且当 x一 1时，y0；当一 1x1 时，y0；当 x1 时，y0；所以，函数 y=y(x)在 x=一 1 处取得极小值，在 x=1 处取得极大值由方程 x2+ y2 y=1 一 y得(1+y 2)y=1 一x2(1)(1+ y2)dy=(1 一 x 2)dxx3+ y33x+ 3y=C 由 y(2)=0 得 C=2x 3+ y33x+3y=2 (2)由(2)式得
20、y(一 1)=0，y(1)=133 【正确答案】 令 f(x)=0 得，x=当 x(一， )时，f(x)0，f(x)单调减，f(x) 在该区间最多一个零点；当 x(，+)时，f(x)0，f(x) 单调增，f(x)在该区间最多一个零点；则 f(x)在区间(一 1，0)上至少有一个零点，又 f(1)=0，则 f(x)共有两个零点34 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(b，f(b)处的切线方程为 y 一 f(b)=f(b)(x 一 b)该切线与 x 轴交点处的 x 坐标为 x0= 由于 f(x)0，则 f(b)0，f(x)单增，f(b)f(a) 0，则 x0=b 一 b 欲证 x0a ，等价于证明 b 一 a，又 f(b)0，则等价于证明 f(b)(b 一 a)f(b) 事实上 f(b)=f(b) 一 f(a)=f()(b 一 a) ab 由于 f“(x)0，则 f(x)单调增，从而 f()f(b)，则 f(b)=f()(b 一 a)f(b)(b 一 a)原题得证
