1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x)=xsinx e cosx，-x+是( )（A）有界函数（B）单调函数（C）周期函数（D）偶函数2 f(x)在(-，+) 内二阶可导，f“(x) 0， =1，则 f(x)在(-，0)内( )（A）单调增加且大于零（B）单调增加且小于零（C）单调减少且大于零（D）单调减少且小于零3 设在区间a，b上 f(x)0，f(x)0，f“(x) 0，令 S1=abf(x)dx，S 2=f(b)(b-a)，S 3=f(a)+f(b)，则() （A）S 1S 2S 3（B） S2S
2、 1S 3（C） S3S 1S 2（D）S 2S 3S 1二、填空题4 =_5 设 y=x5+5x-tan(x2+1)，则 y=_6 设 f(x)= ，则 f(n)(x)=_7 =_8 =_9 设 z=f(x2+y2+z2，xyz)且 f 一阶连续可偏导，则 =_10 设 f(x)在0，+)上非负连续，且 f(x)f(x-t)dt=2x 3，则 f(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求12 13 14 由方程 sinxy+ln(y-x)=x 确定函数 y=y(x)，求15 设 f(x)= 求 f(x)16 证明方程 lnx= 在(0，+) 内有且仅有两个根17 求
3、18 19 设 f(x)= -01f(x)dx，求 01f(x)dx20 求21 设曲线 y=a+x-x3，其中 a0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在 X 轴上方与 X 轴所围成图形的面积相等，求 a22 举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续23 求二元函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny 的极值24 改变积分次序并计算25 求微分方程 xy=yln 的通解26 求微分方程 y“+y=x2+3+cosx 的通解考研数学二（高等数学）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】
4、D【试题解析】 显然函数为偶函数，选(D)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 B【试题解析】 由 =1，得 f(0)=0，f(0)=1，因为 f“(x)0，所以 f(x)单调减少，在(-，0)内 f(x)f(0)=10，故 f(x)在(-，0)内为单调增函数，再由 f(0)=0，在(- ， 0)内 f(x)f(0)=0，选(B)【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 B【试题解析】 因为函数 f(x)在a ，b 上为单调减少的凹函数，根据几何意义，S2S 1S 3， 选(B)【知识模块】 高等数学部分二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案
5、】 5x 4+5xln5-2xsec2(x2+1)【试题解析】 y=5x 4+5xln5-2xsec2(x2+1)【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 【试题解析】 令 f(x)= ，解得A=3， B=-2，即 f(x)= ，于是 f(n)(x)=【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 【试题解析】 z=f(x 2+y2+z2，xyz) 两边对 x 求偏导得【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 2x【试题解析】 0xf(xt)dt x0f(u)(-du)=0xf
6、(u)du，令 F(x)=0xf(u)du，由 f(x)0xf(x-t)dt=2x3，得 f(x)0xf(u)du=2x3，即 =2x3，则 F2(x)=x4+C0因为F(0)=0，所以 C0=0，又由 F(x)0，得 F(x)=x2，故 f(x)=2x【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 令 f(t)=et，由微分中值定理，【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 将 x=0 代入 sinxy+ln(y-x)=x 得 y=1，sinxy+l
7、n(y-x)=x 两边对 x 求导得 将 x=0，y=1 代入得【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 当x 当 x1 时，f(x)=1；又，则 f(x)在 x=-1 处不连续，故也不可导由 f(1+0)=f(1-0)=f(1)=0 得 f(x)在 x=1 处连续因为所以f(x)在 x=1 处也不可导，【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 ，令 f(x)=lnx- ，令 f(x)= =0，得 x=e，因为 f“(e)= ，所以 f(e)= 0 为 f(x)的最大值，又因为 =- =-，所以 f(x)=0 在(0，+)内有且仅有两个实根【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】
8、【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 令 01f(x)dx=A，对 f(x)= -01f(x)dx 两边积分得 A=01dx-A【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 设曲线 y=a+x-x3 与 x 轴正半轴的交点横坐标为 ，( 0(a+x-x3)dx=(a+x-x3)dx，移项得 0(a+x-x3)dx+(a+x-x3)dx=0(a+x-x3)dx=0 (4a+2-3)=0，因为 0，所以 4a+2-3=0又因为( ，0)为曲线 y=a+x-x3 与 x 轴的交点，所以有 a+-3=0
9、，从而有 =-3a a-3a+27a3=0【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 设 f(x，y)= ，显然 f(x，y)在点(0，0)处连续，但不存在，所以 f(x，y)在点(0，0)处对 x 不可偏导，由对称性，f(x， y)在点(0， 0)处对 y 也不可偏导设 f(x，y)=因为所以f(x，y)在点(0，0)处可偏导，且 fx(0，0)=f y(0，0)=o因为不存在，而 f(0，0)=0，故 f(x，y)在点(0 ，0) 处不连续【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 二元函数 f(x，y)的定义域为 D=(x，y)y0，【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 改变
10、积分次序得 原式=【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 xy=yln 可写为 ，原方程化为u+x =ulnu。变量分离得 ，积分得 ln(lnu-1)=lnx+lnC，即 lnu-1=Cx，或 u=eCx+1，故原方程的通解为 y=xeCx+1【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 特征方程为 2+1=0，特征值为 1=-i， 2=i，方程 y“+y=0 的通解为 y=C1cosx+C2sinx对方程 y“+y=x2+3，特解为 y1=x2+1；对方程 y“+y=cosx，特解为 ，原方程的特解为 x2+1+ 则原方程的通解为y=C1cosx+C2sinx+x2+1+【知识模块】 高等数学部分
