1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 f(x)=2x+3x-2，当 x0 时 ( )（A）f(x)x（B） f(x)是 x 的同阶但非等价的无穷小（C） f(x)是 x 的高阶无穷小（D）f(x)是 x 的低阶无穷小2 设 f(x)在(-，+) 上有定义，x 00 为函数 f(x)的极大值点，则( )（A）x 0 为 f(x)的驻点（B） -x0 为-f(-x) 的极小值点（C） -x0 为-f(x)的极小值点（D）对一切的 x 有 f(x)f(x0)3 矩形闸门宽口米，高 h 米，垂直放在水中，上边与水面相齐，闸门
2、压力为( )（A）g 0hahdh（B） g0aahdh（C） g0h ahdh（D）2g 0hahdh二、填空题4 =_5 xy=yx，则 y=_6 曲线 y= 的斜渐近线为_7 =_8 设 z=z(x，y)由 z+ez=xy2 确定，则 dz=_9 微分方程 xy-yln(xy)-1=0 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 0a bc ，求11 12 确定常数 a，c ，使得 ，其中 c 为非零常数13 设 f(x)=01x-ysin ，求 f“(x)14 设函数 f(x)和 g(x)在区间 a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)=g(b)=0
3、，g(x)14 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：15 存在 (a，b) ，使得 f()=2f()16 存在 (a，b)，使得 f()+f()=017 18 19 设 f(x)=20 设 f(x)在a，b 上连续，且 f(x)0，证明：存在 (a，b)，使得 af(x)dx=bf(x)dx21 求由曲线 y=4-x2 与 X 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积22 设 z=f(etsint，tant)，求23 设某工厂生产甲、乙两种产品，产量分别为 x 件和 y 件，利润函数为 L(x，y)=6x-x2+16y-4y2-2(
4、万元) 已知生产这两种产品时，每件产品都要消耗原料2000kg，现有该原料 12000kg，问两种产品各生产多少时总利润最大?最大利润是多少?24 把 f(x，y)dxdy 写成极坐标的累次积分，其中 D=(x，y)0x1，0yx25 求微分方程(y-x 3)dx-2xdy=0 的通解26 设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知MA=OA，且 L 经过点 ，求 L 的方程考研数学二（高等数学）模拟试卷 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为=ln2+
5、ln3=ln6，所以 f(x)是 x 的同阶而非等价的无穷小，选(B)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 y=f(-x)的图像与 y=f(x)的图像关于 y 轴对称，所以-x 0 为 f(-x)的极大值点，从而-x 0 为-f(-x)的极小值点，选(B)【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 A【试题解析】 取x，x+dx 0，h，dF=gxadx=gaxdx，则F=g0hsxdx=g0hahdh，选(A)【知识模块】 高等数学部分二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 【试题解析】 由 xy=yx，得 ylnx-
6、xlny，两边求导数得 ylnx+ 解得y=【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 y=x+3【试题解析】 则斜渐近线为 y=x+3【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 【试题解析】 z+e z=xy2 两边求微分得 d(z+ez)=d(xy2)，即 dz+ezdz=y2dx+2xydy，解得 dz=【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 Cx【试题解析】 令 xy=u，y+xy= ，代入原方程得 =0，分离变量得，积分得 lnlnu=lnx+lnC，即 lnu=Cx，原方程的通解为 ln(xy)=Cx【知识模块】 高等
7、数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 由 cnan+bn+cn3cn 得 c 因为，所以【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 由洛必达法则， 故a=1，c=12【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 令 (x)=f(x)xbg(t)dt+g(x)axf(t)dt，(x)在区间a，b连续，在区间(a， b)内可导，且 (x)=f(x)xbg(t)dt-f(x)g(x)+g(x)f(x)+g(x)axf(t)dt=f(x)xbg(t)dt+g(x)axf
8、(t)dt，因为 (a)=(b)=0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)使 ()=0，即f()bg(t)dt+g()af(t)dt=0，由于 g(b)=0 及 g(x)0，从而就有 xbg(t)dt0，于是有【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 令 (x)= f(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0，由罗尔定理，存在 (a，b) ，使得 ()=0，而 (x)= f(x)=-2xf(x)且 0，故 f()=2f()【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 令 (x)=xf(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0，由
9、罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()=0，而 (x)=xf(x)+f(x)，故 nf()+f()=0【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 令 sinx-cosx=a(sinx+2cosx)+b(sinx+2cosx)，则【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 令 g(x)=axf(t)dt-xbf(t)dt， 因为 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0， 所以 g(a)=-abf(t)dtabf(t)dt0 由零点定理，存在 (a，b)，使得 g()=0，即 af(x)dx=bf(x)
10、dx【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 取x，x+dx -2，2，则 dV=2(3-x)(4-x2)dx，V= -22dV=2-22(3-x)(4-x2)dx=6-22(4-x2)dx=1202(4-x2)dx=12 =64【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 =et(sint+cost)f1+f2sec2t【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 根据题意，即求函数 L(x，y)=6x-x 2+16y-4y22 在 02+16y-4y2-2+(x+y-6)，由 ，根据题意，x，y 只能取正整数，故(x，y) 的可能取值为 L(4，2)=22，L(3，3)=19，L(3，2)=23，故当x=3，y=2 时利润最大，最大利润为 23 万元【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 D=(r ，) 0 ，0rsec，则【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 由(y-x 3)dx-2xdy=0，得即原方程的通解为 y= (其中 C 为任意常数)【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 设点 M 的坐标为(x，y)，则切线 MA：Y-y=y(X-x)令 X=0，则Y=y-xy，故 A 点的坐标为(0，y-xy) 由MA=OA，得y-xy =因为曲线经过点 ，所以 C=3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为【知识模块】 高等数学部分
