1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= sin2(x-t)dt，则当 z0 时，g(x)是 f(x)的( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶但非等价的无穷小（D）等价无穷小2 设 f(x0)f“(x0)=0，f“(x 0)0，则下列正确的是( )（A）f(x 0)是 f(x)的极大值（B） f(x0)是 f(x)的极大值（C） f(x0)是 f(x)的极小值（D）(x 0，f(x 0)是 y=f(x)的拐点3 在曲线 y=(x-1)2 上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、x 轴及该曲线所
2、围成的区域为 D(y0)，则区域 D 绕 z 轴旋转一周所成的几何体的体积为( )二、填空题4 =_5 设 f(x)一阶可导，且 f(0)=f(0)=1，则 =_6 曲线 y=x+ 的斜渐近线为_7 =_8 设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)= +01xf(x)dx，则 f(x)=_9 设 z=f(x+y， y+z，z+x) ，其中 f 连续可偏导，则 =_。10 (x2+xy-x)dxdy=_，其中 D 由直线 y=x，y=2x 及 x=1 围成11 微分方程 y2dx+(x2-xy)dy=0 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 求13 14 设 (x-3
3、sin3x+ax-2+b)=0，求 a，b15 设 f(x)连续，且对任意的 x，y (-，+) 有 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f(0)=1，求f(x)16 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(a0) ，证明：存在 (a，b)，使得17 设 f(x)在1，2上连续，在 (1，2)内可导，证明：存在 (1，2) ，使得 f()=f()=f(2)-2f(1)18 19 20 设 y=arctan(x-1)2，y(0)=0，求 01y(x)dx21 设 f(x)在a，b上连续，证明： abf(x)dx=ab(a+b-x)dx22 曲线 y=x2(x0)上某点处作切线，使
4、该曲线、切线与 x 轴所围成的面积为112，求切点坐标、切线方程，并求此图形绕 X 轴旋转一周所成立体的体积23 设 z=24 设 f(x)连续，f(0)=1，令 F(t)= f(x2+y2)dxdy(t0)，求 F“(0)25 求微分方程 y2dx+(2xy+y2)dy=0 的通解26 在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(x，y) 处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 x 轴的交点) ，且曲线在点(1，1)处的切线与 z 轴平行考研数学二（高等数学）模拟试卷 16 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】
5、A【试题解析】 故g(x)是 f(x)的高阶无穷小，应选(A)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f“(x0)0，所以存在 0，当 00 0，从而当x(x0-，x 0)时，f“(x) 0，x 0+)时，f“(x)0 ，即(x 0，f(x 0)是 y=f(x)的拐点，选(D)【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 D【试题解析】 过曲线 y=(x-1)2 上点(2，1) 的法线方程为 y= x+2，该法线与 x 轴的交点为(4 ，0) ，则由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域 D 绕 x 轴旋转一周所得的几何体的体积为 V=12(x-1)4dx+24 ，选(D)
6、【知识模块】 高等数学部分二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 当 x0 时，【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 y=x【试题解析】 由 ，得曲线y=z+ 的斜渐近线为 y=x【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 【试题解析】 令 01xf(x)dx=k，则 f(x)= +k，xf(x)= +kx，两边积分得 01xf(x)dx=01 dx+01kxdx 即 k= ，所以 k= ，从而 f(x)= 【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 【试题解析】 z=
7、f(x+y，y+z，z+x) 两边求 x 求偏导得解得【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 724【试题解析】 (x2+xy-x)dxdy=01dxx2x(x2+xy-x)dy=01【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 【试题解析】 令 ，代入原方程得 ，两边积分得 u-lnu-lnx-lnC=0，解得 y=【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 因为 x0 +时，所以【试题解析】 注解该题考查等价无穷小求极限的方法，当 x0 常用的等价无穷小有：(1)xsinxtanxarc
8、sinxarctanxe x-1ln(1+x)；(2)1-cosx ，1-cosax (3)(1+x)a-1ax(4)a x-1xlna【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 由马克劳林公式得【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 当 x=y=0 时，f(0)=2f(0)，于是 f(0)=0对任意的 x(-，+)，【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 令 (x)=f(b)lnx-f(x)lnx+f(x)lna，(a)=(b)=f(b)lna由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()=0【试题解析】 由 -f(x)lnx+f(x)lna=0，或f(b)lnx-f(x)lnx+f
9、(x)lna=0，辅助函数为 (x)=f(b)lnx-f(x)lnx+f(x)lna【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 由 xf(x)-f(x)=f(2)-2f(1)得 =0从而=0，辅助函数为 (x)= 令 (x)=则 (x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 (1)=(2)=f(2)-f(1)，由罗尔定理，存在 (1，2)，使得 ()=0，而 (x)=，故 f()-f()=f(2)-2f(1)【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 01y(x)dx=xy(x) 01-01xarc
10、tan(x-1)2dx=y(1)-01(x-1)arctan(x-1)2d(x-1)-01arctan(x-1)2dx【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 abf(x)dx abf(a+b-t)(-dt)=abf(a+b-t)dt=abf(a+b-x)dx【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 设切点坐标为(a，a 2)(a0)，则切线方程为 y-a2=2a(x-a)，即 y=2ax-a2，由题意得 S= ，解得 a=1，则切线方程为 y=2x-1，旋转体的体积为 V=01x4dx- (2x-1)2dx=【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分24
11、 【正确答案】 令 x=rcos,y=rsin，则 F(t)=02d0trf(r2)dr=201rf(r2)dr，因为 f(x)连续，所以 F(t)=2tf(t2)且 F(0)=0，于是 F“(0)=2f(0)=2【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 由 y2dx+(2xy+y2)dy=0 得所以原方程的通解为 y2(y+3x)=C【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 设所求曲线为 y=y(x)，该曲线在点 P(x，y)的法线方程为令 y=0，得 X=x+yy，该点到 x 轴法线段 PQ 的长度为 由题意得 ，即 yy“=1+y2令y=p，则 ，两边积分得，由 y(1)=1，y(1)=0 得 C1=0，所以 ，变量分离得 ，两边积分得 =x+C2，由 y(1)=1 得 C2=两式相加得【知识模块】 高等数学部分
