1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 19 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x1 时，f(x)= 的极限为( )（A）2（B） 0（C） （D）不存在但不是2 函数 f(x)=x3-3x+k 只有一个零点，则 k 的范围为 ( )（A）k1（C） k2（D）k0，16 证明：当 x0 时，arctanx+17 求18 19 (arccosx)2dx20 求 -11(x+x)e -x dx21 设 f(f)在0，上连续，在(0)内可导，且 0f(x)cosxdx=0f(x)sinxdx=0证明：存在 (0，) ，使得 f()=022 设一抛物线 y=a
2、x2+bx+c 过点(0，0)与(1 ，2)，且 a23 设函数 z=z(x，y)由方程 x2+y2+z2=xyf(z2)所确定，其中 f 是可微函数，计算并化成最简形式24 求 I= dxdy，其中 D=(x，y)x 2+y21，x0，y0 25 求微分方程 x2y+xy=y2 满足初始条件 y(1)=1 的特解考研数学二（高等数学）模拟试卷 19 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 显然 ，因为 而，所以 不存在但不是，选(D)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(x)=3x2-3=0，得
3、x=1，f“(x)=6x，由 f“(-1)=-60，得 x=1 为函数的极小值点，极小值为 f(1)=-2+k，因为 f(x)=x3-3x+k 只有一个零点，所以 2+k0，故k2，选(C)【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 A【试题解析】 F(x)=f(lnx)(lnx)- ，应选(A)【知识模块】 高等数学部分二、填空题4 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 y=-2x-4【试题解析】 由 得 f(1)=2，再由得 f(1)=-2，又 f(-3)=f(-4+1)=f(1)=2，f(-3)=f(-4+1)=f(1)=2 ，故曲线 y=f(x)在点
4、(-3，f(-3) 处的切线为 y-2=-2(x+3)，即 y=-2x-4【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 2【试题解析】 01xf“(2x)dx= 012xf“(2x)d(2x)= 02xf“(x)dx= 02xdf(x)= xf(x) 02-02f(x)dx= (10-f(x) 02)=2【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 1【试题解析】 f x(x，y，z)= ，x+y+z+xyz=0 两边对 x 求偏导得=0，将 x=0，y=1 ，z=-1 代入得 解得 fx(0，1， -1)=1【知识模块】 高等数学部分9
5、【正确答案】 【试题解析】 令 f(x，y)d=k ，则 f(x，y)=xy+k，两边在 D 上积分得【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 x【试题解析】 令 y=p，则 yP =1+P2，即 ，解得 ln(1+P2)=lny2+lnC1，则 1+p2=C1y2，由 y(0)=1，y(0)=0 得y= ln +C 2=x，由 y(0)=1 得 C2=0，所以特解为 lny+=x【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 因为 ，所以 f(0)=0， f(0)=0，又 f(x)二阶连续可导且
6、f“(0)=4，所以 f(x)=2x2+o(x2)，所以【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 所以 a，b，c，d 满足的条件是 a=-2d，c=-1，b 取任意常数【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 不妨设 f(a)0，f(b)0， -xf(x)，则 (x)=e-xf(x)-f(x)因为 (a)0， 0，所以存在 1 ， 2 使得 (1)=(2)=0，由罗尔定理，存在 (1， 2) (a，b)，使得 ()=0，即 e-f()-f()=0，因为e-0，所以 f()f()【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 令 f(x)=a
7、rctanx+ 因为 f(x)= 0)，所以 f(x)在(0，+) 内为单调减函数，又因为 ，所以 f(x) ，即 arctanx+【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 由定积分的奇偶性得 -11(x+x)e -x dx=-11xe -x dx=201xe-xdx=-201xd(e-x)=-2xe-x 01+201e-xdx=-2e-1-2e-x 01=2- 【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)sintdt，因为
8、F(0)=F()=0，所以存在 x1(0，)，使得 F(x1)=0，即 f(x1)sinx1=0，又因为 sinx10，所以 f(x1)=0设 x1 是 f(x)在(0，)内唯一的零点，则当 x(0， )且 xx1 时，有 sin(x-x1)f(x)恒正或恒负，于是 0sin(x-x1)f(x)dx0而 0sin(x-x1)f(x)dx=cosx10f(x)sinxdx-sinx10f(x)cosxdx=0，矛盾，所以 f(x)在(0，)内至少有两个零点不妨设 f(x1)=f(x2)=0，x 1，x 2(0，) 且 x1x 2，由罗尔中值定理，存在 (x1，x 2) (0，)，使得 f()=0
9、【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 因为曲线过原点，所以 c=0，又曲线过点(1，2)，所以a+b=2，b=2-a 因为 a0，抛物线与 x 轴的两个交点为 0， ，所以令 S(a)=0，得 a=-4，从而 b=6，所以当a=-4，b=6，c=0 时，抛物线与 x 轴所围成的面积最小【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 x 2+y2+z2=xyf(z2)两边对 x 求偏导得 2x+2z =yf(z2)+2xyzf(z2) ，解得 x2+y2+z2=xyf(z2)两边对 y 求偏导得 2y+2z =xf(z2)+2xyzf(z2) 解得【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 由 x2y+xy=y2 得 两边积分得 因为 y(1)=1，所以 C=-1，再把 u= =Cx2 得原方程的特解为 y=【知识模块】 高等数学部分
