1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 ，其中 a，b 为常数，则( )（A）a=1 ，b=1（B） a=1，b=1（C） a=-1，b=1（D）a=-1，b=-12 设 f(x)二阶连续可导，且 =2，则( )（A）x=0 为 f(x)的极大点（B） x=0 为 f(x)的极小点（C） (0，f(0)为 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点3 设 f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足 ，则 f(x，y)在(0， 0)处( )（A）取极大值（B）取
2、极小值（C）不取极值（D）无法确定是否取极值二、填空题4 设 f(x)=sinx，f(x)=1-x 2，则 (x)=_，定义域为_5 设函数 f(x)在0，1上连续，且 f(x)0，则=_6 设 f(x)在 x=2 处可导，且 =2，则 f(2)=_，f(2)=_7 =_8 =_9 设 z= =_10 计算 =_11 以 y=C1e-2x+C2ex+cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 13 求14 设 x1=2， xn+1=2+15 设 f(x)=g(a+bx)-g(a-bx)，其中 g(a)存在，求 f(0)15 设 f(
3、x)在a，b上有定义，M0 且对任意的 x， ya，b，有 f(x)-f(y)M x-y k16 证明：当 k0 时，f(x)在a，b上连续；17 证明：当 k1 时，f(x)常数18 求 y=f(x)= 的渐近线19 求arcsin 2xdx20 20 设 f(x)连续，且 F(x)=0x(x-2t)f(t)dt证明：21 若 f(x)是偶函数，则 F(x)为偶函数；22 若 f(x)单调不增，则 F(x)单调不减23 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且f(x)2证明： 02f(x)dx224 设 u=f(z)，其中 z 是由 z=y+x(z)确定的
4、 x，y 的函数，其中 f(z)与 (z)为可微函数证明：25 计算 xy(x+y)d，其中 D 是由 x2-y2=1 及 y=0，y=1 围成的平面区域26 设当 x0 时， f(x)满足 1xf(t)dt-f(x)=x，求 f(x)考研数学二（高等数学）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ，所以 ，即 a=1，又，选(B)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 C【试题解析】 由 =2 得 f“(1)=0，由极限保号性，存在 0，当0 0，当 x(1-，1)时，f“(x)0 ；当 x(1， 1+)
5、时，f“(x)【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 ，所以由极限的保号性，存在 0，当 0 时， 0因为当 0 时，x+y 20，所以当 0 时，有 f(x，y)f(0，0)，即 f(x，y)在(0，0)处取极大值，选(A)【知识模块】 高等数学部分二、填空题4 【正确答案】 arcsin(1-x 2)，【试题解析】 (x)=arcsin(1-x 2)，【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 0，8【试题解析】 因为 =2，所以 =0，再由 f(x)在 x=2 处的连续性得f(2)=0由 =2，得 f(2
6、)=8【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 1-sin1【试题解析】 改变积分次序得【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 y“+y-2y=-sinx-3cosx【试题解析】 特征值为 1=-2， 2=1，特征方程为 2+-2=0， 设所求的微分方程为y“+y-2y=Q(x)，把 y=cos 代入原方程，得 Q(x)=-sinx-3cosx ，所求微分方程为y“+y-2y=-sinx-3cosx【知识模块】
7、 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 令 =l，则 l=1+ ，现证明 =1+ 因为 0x n-l=x n-1-l x 1-l，且 x 1-l=0，所以由夹逼定理得 =1+【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 对任意的 x0a，b，由已知条件得 0f(x)-f(x 0)M x-x0 k， =f(x0)，再由 x0 的任意性得 f(x)在 a，b上连续【知识模块】 高等数学部分17
8、 【正确答案】 对任意的 x0a，b，因为 k1，所以 0 Mx-x0 k-1，由夹逼定理得 f(x0)=0，因为 x0 是任意一点，所以 f(x)0，故 f(x)常数【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 因为 =，所以 y=f(x)没有水平渐近线，由 =-得x=0 为铅直渐近线，由 =得 x=2 为铅直渐近线，得 y=x+3为斜渐近线【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 令 ex=t， dx=【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 0x(-x+2u)f(-u)(-du)设 f(-x)=f(x)，因为
9、 F(-x)=0-x(-x-2t)f(t)dt =0x(x=2u)f(u)du=F(x)，所以 F(x)为偶函数【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 F(x)= 0x(x-2t)f(t)dt=x0xf(t)dt-20xtf(t)dt F(x)=0xf(t)dt-xf(x)=xf()-f(x)，其中 介于 0 与 x 之间 当 x【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)-f(0)=f(1)x，其中 0 1x，f(x)-f(2)=f( 2)(x-2)，其中 x 22，于是 从而 02f(x)dx 02f(x)dx= 01f(x)dx+ 12f(x)dx 012xdx+122(2-x)dx=2【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 ，z=y+x(z)两边对 x 求偏导得解得 ，z=y+x(z)两边对 y 求偏导得【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 由 1xf(t)dt-f(x)=x，两边求导得 f(zx)-f(x)=1， 解得 f(x)=Cex+1，而f(1)=-1，所以 f(x)=1-2ex-1【知识模块】 高等数学部分
