1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 23 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)是不恒为零的奇函数，且 f(0)存在，则 g(x)= ( )（A）在 x=0 处无极限（B） x=0 为其可去间断点（C） x=0 为其跳跃间断点（D）x=0 为其第二类间断点2 设 f(x)= ，其中 g(x)为有界函数，则 f(x)在 x=0 处( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导3 设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，若 =2，则 f(x)在 x=0 处( )（A）不可导（B）可导但 f(0)0（C）取极大值（D）取极
2、小值4 设 fx(x0，y)，f y(x0，y 0)都存在，则( )（A）f(x，y)在(x 0，y 0)处连续（B） 存在（C） f(x，y)在(x 0，y 0)处可微（D） 存在二、填空题5 =_6 设 f(x)为奇函数，且 f(1)=2，则 f(x3) x=-1=_7 =_8 =_9 设 f(x)在0，1上连续，且 01f(x)dx=A，则 01f(x)dxx1f(y)dy=_10 微分方程 xy= +y 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 an=12 求13 设 an= ，证明：a n收敛，并求14 证明：连续函数取绝对值后函数仍保持连续性，举例说明可
3、导函数取绝对值不一定保持可导性15 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，f(a)=f(b)，且 f(x)在a，b上不恒为常数证明：存在 7(a ，b)，使得 f()0，f()0，当0 0，从而 f(x)0=f(0)，由极值的定义得 f(0)的极小值，应选(D)【知识模块】 高等数学部分4 【正确答案】 D【试题解析】 多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，(A)不对；函数 f(x，y)=在(0，0)处可偏导，但 不存在，(B)不对；f(x，y)在(x 0，y 0)处可偏导是可微的必要而非充分条件，(C)不对，事实上由fx(x0，y 0)= =f(x0，y 0)应选(D)【知识
4、模块】 高等数学部分二、填空题5 【正确答案】 12【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 6【试题解析】 因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)为偶函数，由 f(x3)=3x2f(x3)得f(x3) x=-1=3f(-1)=3f(1)=6【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 【试题解析】 令 F(x)=0xf(t)dt 则 01(x)如 dxx1(y)dy=01f(x)F(1)-F(x)dx【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 lnx+C【试题解
5、析】 由 xy= 令，解得 arcsinu=lnx+C，则原方程通解为arcsin =ln x+C【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 显然a n单调增加，现证明：a n3，当 n=1 时，a 1= 3，设 n=k时，a k3，当 n=k+1 时， ak+1= =3由归纳法原理，对一切的自然数 n，有 an3，所以 存在令 =A，由 ak+1= ，得 A= ，解得 A=3，即 =3【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 设 f(x)在a ，
6、b上连续，令 g(x)=f(x) ，对任意的 x0a，b，有 0g(x)-g(x 0)=f(x)- f(x 0)f(x)-f(x 0)，因为 f(x)在a，b上连续，所以 =f(x0)，由夹逼定理得 f(x) =f(x 0)，即f(x)在 x=x0处连续，由 x0 的任意性得f(x)在a ，b上连续设 f(x)=x，则 f(x)在 x=0 处可导，但f(x)=x在 x=0 处不可导【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上不恒为常数且 f(a)=f(b)，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)=f(b)，不妨设 f(c)f(a)=f(b)，由微分中值定理，
7、存在 (a，c)，(c， b)，使得【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 由 y“2-1的上凸区间为(2，4)【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 (x)=x 20xf(t)dt-2x0xtf(t)dt+0xt2f(t)dt， (x)=2x 0xf(t)dt+x2f(x)-20xtf(t)dt-2x2f(x)+x2f(x) =2x0xf(t)dt-20xtf(t)dt， “(x)=2 0xf(t)dt+2xf(x)-2xf(x)=20xf(t)dt “(x)=2f(x)【知识模块】 高等
8、数学部分20 【正确答案】 因为 max(1，x 2)是偶函数，所以 -22max(1,x2)dx=202max(1,x2)dx=2(011dx+12x2dx)【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 abxf(x)f(x)dx= abxdf2(x)= f2 ab- abf2(x)dx=-【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 abxf(x)f(x)dx= (abxf(x)f(x)dx)2= abf2(x)dxabx2f2(x)dx【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 以球顶部与水面相切的点为坐标原点，x 轴铅直向下，取x，x+dx 0，2R，由于球
9、的密度与水的密度相同，所以水面以下不做功，dw=(2R-x)R2-(R-x)21gdx=x(2R-x)2gdx，W= 02Rdw=【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 方程 x-yz+yez-x-y=0 两边对 x 求偏导得方程 x-yz+yez-x-y=0 两边对 y求偏导得【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 由 f(x)=ex-0x(x-t)f(t)dt，得 f(x)=ex-x0xf(t)dt+0xtf(t)dt，两边对 x 求导，得 f(x)=ex-0xf(t)dt，两边再对 x 求导得 f“(x)+f(x)=ex，其通解为 f(x)=C1cosx+C2sinx+ ex在 f(x)=ex-0x(x-t)f(t)dt 中，令 x=0 得 f(0)=1，在 f(x)=ex-0xf(t)dt 中，令 x=0 得 f(0)=1，于是有【知识模块】 高等数学部分
