1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 27 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=12 处二阶可导，则 等于( ) （A）-f“(a)（B） f(a)（C） 2f“（D）2 设 f(x)二阶连续可导， ，则( )（A）f(2)是 f(x)的极小值（B） f(2)是 f(x)的极大值（C） (2，f(2)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(2)不是函数 f(x)的极值，(2，f(2)也不是曲线 y=f(x)的拐点3 对二元函数 z=f(x，y)，下列结论正确的是( )（A）z=f(x，y)可微的充分必要条件是 z=f(x，y)有一阶连续的偏导
2、数（B）若 z=f(x，y)可微，则 z=f(x，y)的偏导数连续（C）若 z=f(x，y)偏导数连续，则 z=f(x，y)一定可微（D）若 z=f(x，y)的偏导数不连续，则 z=f(x，y)一定不可微二、填空题4 5 设 f(x)可导且 f(x)0，则 =_6 若 f(x)=2nx(1-x)n，记 Mn= =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 确定常数 a，b，C ，使得8 9 10 11 设 f(x)在 x0 的邻域内四阶可导，且 ff (4)(x)M(M0)证明：对此邻域内任一异于 x0 的点 x，有 其中 x为 x 关于x0 的对称点12 设 f(x)，g(x)
3、在a，b 上连续，在(a ，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f +(a)f-(b)0，且 g(x)0(xEa，b)，g“(x)0(a13 设 f(x)二阶连续可导，且 f“(x)0，又 f(x+h)=f(x)+f(x+h)h(013 设平面曲线 L 上一点 M 处的曲率半径为 ，曲率中心为 A，AM 为 L 在点 M 处的法线，法线上的两点 P，Q 分别位于 L 的两侧，其中 P 在 AM 上，Q 在 AM 的延长线 AN 上，若 P，Q 满足APAQ= 2，称 P，Q 关于 L 对称设，P 点的坐标为14 求点 M，使得 L 在 M 点处的法线经过点 P，并写出法线的参数方程；15
4、求点 P 关于 L 的对称点 Q 的坐标16 设 f(x)在0，1连续可导，且 f(0)=0证明：存在 0，1，使得 f()=201f(x)dx17 求 的最大项17 设 s(x)=0xcost dt18 证明：当 nxx0，当 0 ，即当 x(2-，2) 时，f(x)0，于是 x=2 为 f(x)的极小点，选(A)【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 C【试题解析】 因为若函数 f(x，y)一阶连续可偏导，则 f(x，y)一定可微，反之则不对，所以若函数 f(x，y) 偏导数不连续不一定不可微，选(C)【知识模块】 高等数学部分二、填空题4 【正确答案】 14【试题解析】 【知识模块】
5、 高等数学部分5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 2e【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 当x 当 x1 时，y=1；当 x得 y 在 x=-1 处不连续，故 y(-1)不存在；因为 y-(1)y+(1)所以 y 在 x=1 处不可导，【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 设 f+(a)0，f -(
6、b)0，由 f+(a)0，存在 x1(a，b)，使得 f(x1)f(a)=0；由 f-(b)0，存在 x2(a，b)，使得 f(x2)1)f(x2) ，显然 h(x)在a，b上连续，由 h(a)=h(c)=h(b)=0，存在 1(a，c)， 2(c，b)，使得 h(1)=h(1)=0，令 (x)=f(x)g(x)-f(x)g(x)，( 1)=(2)=0，由罗尔定理，存在 e(1， 2) (a，b)，使得 ()=0，而(x)=f“(x)g(x)-f(x)g“(x)，所以【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 由泰勒公式得 f(x+h)=f(x)+f(x)h+ ，其中 介于 x 与 x+h
7、之间由已知条件得【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 因为 f(x)在区间0，1上连续，所以 f(x)在区间0，1上取到最大值 M 和最 小值 m对 f(x)-f(0)=f(c)x(其中 c 介于 0 与 x 之间)两边积分得 01f(x)dx=01f(c)xdx， 由 mf(c)M 得 m01xdx01f(c)xdxM01xdx， 即 m201f(c)xdxM或 m201f(x)dxM， 由介值定理，存在 0，1，使得 f()=201f(x)dx【知识模块】 高等数学
8、部分17 【正确答案】 当x(0，e)时，f(x)0；当 x(e，+) 时，f(x) 的最大项为 因为，所以最大项为【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 当 nx(n+1) 时， 0ncost dt0xcost dt 0(n+1)costdt 0ncostdt=n 0costdt= =2n 0(n+1)costdt=2(n+1)，则 2nS(x)2(n+1) 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 由 nx(n+1) ，得 ，从而，根据夹逼定理得【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 p 1=120-5
9、q1，P 2=200-20q2，收入函数为 R=p1q1+p2q2，总利润函数为 L=R-C=(120-5q1)q1+(200-20q2)q2-85+40(q1+q2)， 得q1=8， q2=4，从而 P1=80，p 2=120，L(8，4)=605，由实际问题的意义知，当p1=80， p2=120 时，f 家获得的利润最大，最大利润为 605【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 设 f(x)的一个原函数为 F(x)，则【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 的特征方程为 2+2+1=0，特征值为 1=2=-1，的通解为 y=(C1+
10、C2t)e-t+t-2，故原方程通解为 y=(C1+C2tanx)e-tanx+tanx-2【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 0xf(t-x)dt=-0xf(t-x)d(x-t)=-x0f(-u)du=0xf(u)du 则有 f(x)+2f(x)-30x(u)du=-3x+2，因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)是奇函数， 于是 f(0)=0，代入上式得 f(0)=1 将 f(x)+2f(x)-30xf(u)du=-3x+2 两边对 x 求导数得 f“(x)+2f(x)-3f(x)=-3， 其通解为 f(x)=C1ex+C2e-3x+1，将初始条件代入得 f(x)=1【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 得 t=100，即经过 100 小时全部融化【知识模块】 高等数学部分
