1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 30 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=a 处的左右导数都存在，则 f(x)在 x=a 处( )（A）一定可导（B）一定不可导（C）不一定连续（D）连续2 设函数 f(x)满足关系 f“(x)+f2(x)=x，且 f(0)=0，则( )（A）f(0)是 f(x)的极小值（B） f(0)是 f(x)的极大值（C） (0，f(0)是 y=f(x)的拐点（D）(0 ，f(0) 不是 y=f(x)的拐点二、填空题3 4 设 在 x=0 处连续，则 a=_5 6 求xarctan dx=_7 8 9 10 1
2、1 设 f(u)连续，则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 13 设 f(x)在0，1上有定义，且 exf(x)与 e-f(x)在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续14 设 ，求 a，b 的值15 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=0证明：存在 (a，b)，使得16 设 f(x)在0，+)内可导且 f(0)=1，f(x)0)证明： f(x)x(x0)17 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，取 xia，b(i=1，2，n)及ki0(i=1，2，n)且满足 k1+k2+kn=1证明：f(k 1x1+k2x2+knxn)k1f
3、(x1)+k2f(x2)+knf(xn)18 设 an= tannxdx(n2)，证明：19 设 f(x)有界，且 f(x)连续，对任意的 x(-，+)有f(x)+f(x) 1证明：f(x)1 20 证明：当 x0 时，f(x)= 0x(t-t2)sin2ntdt 的最大值不超过21 设 u=u(x，y，z)连续可偏导，令 (1)若 ，证明：u 仅为 与 的函数(2)若 ，证明： u 仅为 r 的函数22 设 f(x，y)= 且 D：x 2+y22x，求23 证明：用二重积分证明24 设 y=y(x)二阶可导，且 y0，x=x(y) 是 y=y(x)的反函数(1) 将 x=x(y)所满足的微分
4、方程 变换为 y=y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)= 的解25 设函数 f(x，y)可微， ，求f(x，y)26 飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为 v0(ms) ，飞机与地面的摩擦系数为 u，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为 kx(kgs 2m 2)，在垂直方向的比例系数为ky(kg s2m 2)设飞机的质量为 m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间考研数学二（高等数学）模拟试卷 30 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】
5、 D【试题解析】 因为 f(x)在 x=a 处右可导，所以，即 f(x)在 x=a 处右连续，同理由 f(x)在 x=a处左可导，得 f(x)在 x=a 处左连续，故 f(x)在 x=a 处连续，由于左右导数不一定相等，选(D)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(0)=0 得 f“(0)=0，f“(x)=1-2f(x)f“(x)，f“(0)=10，由极限保号性，存在 0，当 00，再由 f“(0)=0，得 故(0，f(0)是曲线y=f(x)的拐点，选 (C)【知识模块】 高等数学部分二、填空题3 【正确答案】 2【试题解析】 -atetdt=-atd(t)=te
6、t -a-aetdt=aea-ea 由 ea=aea-ea 得 a=2【知识模块】 高等数学部分4 【正确答案】 【试题解析】 ，因为函数 f(x)在 x=0 处连续，所以 a=【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 -xf(x 2-1)【试题
7、解析】 【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 对任意的 x00，1 ，因为 exf(x)与 e-f(x)在0 ，1上单调增加，令 xx 0+，由夹逼定理得 f(x0+Q)=f(x0)，故 f(x0-0)=f(x0+0)=f(x0)，即 f(x)在 x=x0 处连续，由 x0 的任意性得 f(x)在0，1上连续【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 由泰勒公式得【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 令 (x)=e-xf(x)，则 (x
8、)在0，+)内可导， 又 (0)=1，(x)=e -xf(x)-f(x)0)，所以当 x0 时，(x) x(x0)【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 令 x0=k1x1+k2x2+knxn，显然 x0a，b因为 f“(x)0，所以f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)，分别取 x=xi(i=1，2，n)，得由 ki0(i=1，2，n)，上述各式分别乘以ki(i=1，2，n)，得 将上述各式分别相加，得 f(x0)k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)，即 f(k1x1+k2x2+knxn)k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)【知识模块】 高等数学部分18 【正确
9、答案】 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 令 (x)=exf(x)，则 (x)=exf(x)+f(x)， 由f(x)+f(x)1得(x)e x，又由 f(x)有界得 (-)=0，则 (x)=(x)-(-)= -x(x)dx，两边取绝对值得 e x f(x) -x(x)dx -xexdx=ex，所以f(x)1【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 当 x0 时，令 f(x)=(x-x2)sin2nx=0 得 x=1，x=k(k=1，2，)，当00；当 x1 时， f(x)0(除 x=k(k=1,2，)外 f(x)2)sin2nx(x-x2)x2n=x2n+1-x2n+2，于是
10、f(x)f(1)=01(x-x2)sin2nxdx01(x2n+1-x2n+2)dx=【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 (1)因为所以 u 是不含 r 的函数，即 u 仅为 与 的函数 (2) 从而 =t(r2cos2cossin)+t(r2sin2cossin)+t(-r2sincos)=0故 u 仅是 r 的函数，即 u 不含 与 【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 令 D1=(x，y)1x2， yx，【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 令 D1=(x，y)x 2+y2R2，x0，y0，S=(x，y)0xR，0yR ，D 2=(x，y)x 2+y22R2，x
11、0，y0【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 代入原方程得 y“-y=sinx，特征方程为 r2-1=0，特征根为 r12 =1，因为 i 不是特征值，所以设特解为y*=acogx+bsinx，代入方程得 a=0， ，于是方程的通解为，由初始条件得 C1=1，C 2=-1，满足初始条件的特解为【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 由 ，得 C=0，即 f(0，y)=siny又由 ，得 lnf(x，y)=-x+lng(y)，即 f(x，y)=(y)e -x，由 f(0，y)=siny，得 (y)=siny，所以 f(x，y)=e -xsiny【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 水平方向的空气阻力 Rx=kxv2，垂直方向的空气阻力 Ry=kyv2，摩擦力为 W=u(mg-Ry)，由牛顿第二定律，有【知识模块】 高等数学部分
