1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 31 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 f(x)g(x)在 x0 处可导，则下列说法正确的是 ( )（A）f(x)，g(x) 在 x0 处都可导（B） f(x)在 x0 处可导，g(x)在 x0 处不可导（C） f(x)在 x0 处不可导，g(x) 在 x0 处可导（D）f(x)，g(x) 在 x0 处都可能不可导2 下列说法正确的是( ) （A）设 f(x)在 x0 二阶可导，则 f“(x)在 x=x0 处连续（B） f(x)在a，b 上的最大值一定是其极大值（C） f(x)在(a，b) 内的极大值一定是其最大值（D
2、）若 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点二、填空题3 4 设 在 x=0 处连续，则 a=_5 设由方程 xef(y)=ey 确定 y 为 x 的函数，其中 f(x)二阶可导，且 f1，则=_6 7 8 9 maxx+2，x 2dx=_10 11 设 =_12 设 y=y(x)满足 ，且有 y(1)=1，则 02y(x)dx=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 f“(0)=6，且14 设 f(x)在a，+)上连续， f(a) 存在且大于零证明： f(x)在(a ，+)内至少有一个零点15 确定
3、 a，b ，使得 x-(a+bcosx)sinx 当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小16 f(x)在-1， 1上三阶连续可导，且 f(-1)=0，f(1)=1，f(0)=0证明：存在 (-1，1)，使得 f“()=317 证明：当 x0 时，(x 2-1)lnx(x-1)218 当 x0 时，证明：19 设 f(x)在0，1上连续，且 0mf(x)M，对任意的 x0，1，证明：20 设 f(x)在a，b上连续且单调增加，证明：21 设 f(x)在a，b上连续，且对任意的 t0，1 及任意的 x1，x 2a，b满足：f(tx1+(1-t)x2)tf(x1)+(1-t)f(x2)证明：22 求二元
4、函数 z=f(x，y)=x 2y(4-x-y)在由 x 轴、y 轴及 x+y=6 所围成的闭区域 D 上的最小值和最大值23 计算 ，其中 D=(x，y)-1x1，0y223 设函数 f(x)(x0)可微，且 f(x)0将曲线 y=f(x)，x=1，x=a(a1)及 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周得旋转体体积为 求：24 f(x)；25 f(x)的极值考研数学二（高等数学）模拟试卷 31 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 令 显然 f(x)，g(x)在每点都不连续，当然也不可导，但 f(x)g(x)-1 在任何一点
5、都可导，选(D)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 D【试题解析】 令 不存在，所以(a)不对；若最大值在端点取到则不是极大值，所以(B)不对；(C)显然不对，选(D) 【知识模块】 高等数学部分二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分4 【正确答案】 -2【试题解析】 f(0)=f(0-0)=a，因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 a=-2【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 【试题解析】 方程 xef(y)=ey 两边对 x 求导，得 ef(y)+xef(y)f(y) 解得【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】
6、高等数学部分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 由 得 f(0)=0，f(0)=0，【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 令 =k0，取 0= 0，因为 =k0，所以存在X00，当 xX0 时，有f(x
7、)-k ，从而 f(x) 0，特别地，f(X 0)0，因为f(x)在a，X 0上连续，且 f(a)f(X0)0，所以存在 (a，X 0)，使得 f()=0【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 令 y=x-(a+bcosx)sinx，y=1+bsin 2x-(a+bcosx)cosx， y“=bsin2x+ sin2x+(a+bcosx)sinx=asinx+2bsin2x，y“=acosx+4bcos2x，显然y(0)=0，y“(0)=0，【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 由泰勒公式得两式相减得 f“(1)+f“(2)=6因为 f(x)在-1 ，1上三阶连续可导，所以 f“
8、(x)在 1， 2上连续，由连续函数最值定理，f“(x)在 1， 2上取到最小值 m 和最大值 M，故 2mf“(1)+f“(2)2M，即 m3M由闭区间上连续函数介值定理，存在 1， 2 (-1，1)，使得 f“()=3【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 令 (x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，(1)=0故 x=1，为 ”(x)的极小值点，由其唯一性得其也为最小值点，而最小值为 ”(x)0(x0)故 x=1 为 (x)的极小值点，由其唯一性得其也为最小值点，而最小值为 “(1)=20，故 “(x)0(x0)故 x=1 为 (x)的极小值点，也为最小值点，而最小值为 (1)=0
9、，所以 x0 时，(x)0，即(x 2-1)lnx(x-1)2【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 因为 0mf(x)M，所以 f(x)-m0，f(x)-M0 ，从而【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 因为 abf(x)dx=(b-a)01fta+(1-tb)dt(b-a)f(a)01tdt+f(b)01(1-t)dt=【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 (1)求 f(x，y)在区域 D 的边界上的最值，在 L1：y=0(0z6)上，z=0；在 L2： x=0(0y6)上，z
10、=0；在 L3：y=6-x(0x6)上，z=-2x 2(6-x)=2x3-12x2由 =6x2-24x=0 得 x=4，因为 f(0，0)=0，f(6，0)=0，f(4 ，2)=-64，所以f(x，y)在 L3 上最小值为-64，最大值为 0(2)在区域 D 内，由得驻点为(2，1)，因为 AC-B20 且 A0，所以(2 ，1) 为 f(x，y)的极大点，极大值为 f(2，1)=4，故 z=f(x，y)在 D 上的最小值为 m=f(4，2)-64，最大值为 M=f(2，1)=4【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 令 D1=(x，y)-1x1，0yx 2)，D 2=(x，y)-1x1，x 2y2，【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 由题设知， 1af2(x)dx= a2f(a)-f(1)，两边对 a 求导，得【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分
