1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 33 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设当 x0 时，有 ax3+bx2+cx 0ln(1+2x)sintdt，则 ( )2 设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0，f(x)0 时有( )（A）f“(x)0，f(x)0（C） f“(x)0，f(x)03 设 k0，则函数 的零点个数为( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个二、填空题4 设 =8，则 a=_5 设 0yetdt+0xcostdt=xy 确定函数 y=y(x)，则 =_6 设函数 y=y(x)满足 x+o(x)，且 y(1)=1，则
2、11y(x)dx=_7 设 ，则 a=_8 9 10 11 设 f(x，y)在区域 D：x 2+y2t2 上连续且 f(0，0)=4，则 =_12 微分方程 yy“-2(y)2=0 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 14 求 的间断点并判断其类型15 16 设 f(x)在0，1上可导， f(0)=0，f(x) f(x)证明：f(x)0，x0 ，117 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=f(1)=0证明：方程 f“(x)-f(x)=0在(0， 1)内有根18 设 f(x)=3x2+Ax-3(x0)，A 为正常数，问 A 至少为多少时
3、， f(x)20?19 设 f(x)在0，1 上连续且f(x) M证明：20 设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0，21 令 f(x)=x-x，求极限22 23 计算 I= xydxdy，其中 D 由 y=-x，y= 及 y= 围成24 位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x， y)处的曲率与 及 1+y2 之积成反比，比例系数为 ，求 y=y(x)25 一条曲线经过点(2，0)，且在切点与 y 轴之间的切线长为 2，求该曲线考研数学二（高等数学）模拟试卷 33 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求
4、。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为当 x0 时，ax 3+bx2+cx 0ln(1+2x)(1+2x)sintdt，得 a=0，b=2，选(D)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)为二阶可导的奇函数，所以 f(-x)=-f(x)，f(-x)=f(x) ，f“(-x)=-f“(x)，即 f(x)为偶函数，f“(x)为奇函数，故由 x0，f(x)0 时有 f“(x)e 时，f(x)0，又 ，于是 f(x)在(0，+)内有且仅有两个零点，选(C) 【知识模块】 高等数学部分二、填空题4 【正确答案】 ln2【试题解析】 ，由 e3a=8，得 a=ln2【知
5、识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 【试题解析】 0yetdt+0xcostdt=xy 两边对 x 求导得【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 ln2【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 5【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 8【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 y=C 或者 =C1x+C2【试题解析】 当 p=0 时，y=C；【知识模块】 高
6、等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 f(x)的间断点为 x=0，-1，-2，及 x=1第一类间断点中的跳跃间断点当 x=-1 时， ，则 x=-1 为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点当 x=k(k=-2，-3，)时， =，则 x=k(k=-2，-3，) 为函数 f(x)的第二类间断点当 x=1 时，因为 不存在，所以 x=1 为 f(x)的第二类间断点【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上可导，所以 f(x)在0，1上连
7、续，从而f(x)在0， 1上连续，故 f(x)在0，1上取到最大值 M，即存在 x00，1，使得f(x 0)=M 当 x0=0 时，则 M=0，所以 f(x)0，x0，1；当 x00 时，M=f(x 0)=f(x 0)-f(0)=f()x 0f() 其中 (0，x 0)，故M=0，于是 f(x)0，x0 ，1 【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 令 (x)=e-xf(x)+f(x) 因为 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在 c(0，1)使得 (c)=0， 而 (x)=e-xf“(x)-f(x)且 e-x0，所以方程 f“(c)-f(c)=0 在(0，1)内有根【知识模块】 高等
8、数学部分18 【正确答案】 f(x)20 等价于 A20x3-3x5， 令 (x)=20x3-3x5，由 (x)=60x2-15x4=0，得 x=2， “(x)=120x-60x 3，因为 “(2)=-240【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)-f(0)=f()x，其中 介于 0 与 x 之间，因为f(0)=0，所以f(x) =f()xMx ，x 0，a，从而 0af(x)dx 0af(x)dx 0aMxdx=【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 因为x+m=x+m( 其中 m 为整数)，所以 f(x)=
9、x-x是以 1 为周期的函数，又xx，故 f(x)0，且 f(x)在0，1上的表达式为 f(x)=对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nx0nf(x)dx0xf(x)dx0n+1f(x)dx，而 0nf(x)dx=n01f(x)dx=n01xdx= ，同理 0n+1f(x)dx=【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 (1)因为 0f(x，y) ，故f(x，y)在点(0，0)处连续 (2)所以f(x，y)在点(0，0)处不可微【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 将 D 分成两部分 D1，D 2，其中 D1=(x，y)0x1，【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 因为 y(0)=2，所以 C2=0，故曲线方程为【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 曲线在点(x，y)处的切线方程为 Y-y=y(X-x)，令 X=0，则 Y=y-xy，切线与 y 轴的交点为(0，y-xy) ，由题意得 x2+x2y2=4，解得 ，变量分离得 ，积分得 因为曲线经过点(2 ，0) ，所以 C=0，故曲线为【知识模块】 高等数学部分
