1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 34 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=0sinxsint2dt，g(x)=x 2+x4，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小2 设 f(x)为单调可微函数，g(x) 与 f(x)互为反函数，且 f(2)=4，f(2)= ，g(4)=6，则 g(4)等于( )3 曲线 的渐近线的条数为( )（A）0 条（B） 1 条（C） 2 条（D）3 条二、填空题4 5 设函数 y=y(x)由 确定，则 y=y(x)在 x=ln2 处的法线
2、方程为_6 7 8 9 设 f(x)=0xecostdt， 0f(x)cosxdx=_10 设 f(x)连续，且 0xtf(2x-t)dt= ，f(1)=1， 12f(x)dx=_11 设 a0，f(x)=g(x)= 而 D 表示整个平面，则=_12 微分方程 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 14 设 ，求 f(x)的间断点并指出其类型15 ，求 f(x)的间断点并分类16 设 f(x)Ca，b，在(a ，b)内可导，f(a)=f(b)=1 证明：存在 ， (a，b)，使得2e=2-=(ea+eb)f()+f()17 设 f(x)在0，+)内二阶可导，f(0)
3、=-2，f(0)=1，f“(x)0 证明：f(x)=0 在(0，+) 内有且仅有一个根18 设 a0，讨论方程 aex=x2 根的个数19 设 f(x)在0，1 上连续，且 f(1)-f(0)=1证明： 01f2(x)dx120 设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=0证明：21 为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口，设井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗盛污泥 2000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以 20NS 的速度从抓斗中漏掉，现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少?22 23 24 设曲线 L1 与 L2 皆过点(1，1
4、) ，曲线 L1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L2 在点(x ， y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积25 用变量代换 x=sint 将方程 化为 y 关于 t 的方程，并求微分方程的通解考研数学二（高等数学）模拟试卷 34 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ，所以正确答案选(B)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ，所以选(B)【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 D【试题解析】 y=x，选(D)【知识模块】 高等数学部分二
5、、填空题4 【正确答案】 43【试题解析】 因为 x0 时， -1ln 2(1+x) x2，【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 【试题解析】 当 x=ln2 时， t=1；当 t=1 时，y=0 【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 e -1-e【试题解析】 0f(x)cosxdx=0f(x)d(sinx)=f(x)sinx 0-0f(x)sinxdx=-0ecosxsinxdx=ecosx 0=e-1-e【
6、知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 a 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 lnx+C【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 首先其次 f(x)的间断点为 x=k(k=0，1 ，)，因为 =e，所以 x=0 为函数 f(x)的第一类间断点中的可去间断点，x=k(k=1，)为函数 f(x)的第二类间断点【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 x=k(k=0，-1 ，-2，)及 x=1
7、 为 f(x)的间断点因为 f(0-0)f(0+0)，所以 x=0 为跳跃间断点；当 x=k(k=-1，-3，-4，)时，由 =得 x=k(k=-1，-3，-4，)为第二类间断点；由 =得 x=1为第二类间断点【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 令 (x)=exf(x)，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得即 2e2=(ea+eb)ef()+f()，或 2e2-=(ea+eb)f()+f()【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 因为 f“(x)0，所以 f(x)单调不减，当 x0 时，f(x)f(0)=1 当x0 时， f(x)-f(0)=f()x，从而 f(x)f(0)+
8、x，因为 所以由 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)=-2 ，则 f(x)=0 在(0，+) 内至少有一个根，又由 f(x)10，得方程的根是唯一的【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 ae x=x2 等价于 x2e-x-a=0令 f(x)=x2e-x-a，由 f(x)=(2x-x2)e-x=0 得x=0，x=2当 x0；当 x2 时，f(x)(1) 当 时，方程有三个根；(2)当 时，方程有两个根(3)当时，方程只有一个根【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 由 1=f(1)-f(0)=01f(x)dx， 得 12=1-(01f(x)dx)20112dx01f2(x)dx
9、=01f2(x)dx，即 01f2(x)dx1【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 由 f(a)=0，得 f(x)-f(a)=f(x)=axf(t)dt，由柯西不等式得 f 2(x)=(axf(t)dt)2ax12dtaxf2(t)dt(x-a)abf2(x)dx【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 设拉力对空斗所做的功为 W1，则 W1=40030=12000J设拉力对绳所做的功为 W2，任取x ，x+dx 0，30，dW 2=50(30-x)dx，则W2=030dW2=22500J设拉力对污泥做功为 W3，任取t，t+dt 0，10，dW3=(2000-20t)3dt，则
10、W3=010dW3=57000J，拉力克服重力所做的功为W=W1+W2+W3=91500J【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 对曲线 L1，由题意得 ，解得 y=x(2x+C1)，因为曲线 L1过点(1 ，1) ，所以 C1=-1，故 L1：y=2x 2-x对曲线 L2，由题意得因为曲线 L2 过点(1，1)，所以 C2=-1，故 L2：由 2x2-x= 得两条曲线的交点为( ，0)及(1，1) ，故两条曲线所围成区域的面积为【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 故原方程的通解为 y=C1e-2arcsinx+C2e2arcsinx【知识模块】 高等数学部分
