[考研类试卷]考研数学二(高等数学)模拟试卷35及答案与解析.doc

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1、考研数学二(高等数学)模拟试卷 35 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=0xdt0ttln(1+u2)du,g(x)= (1-cost)dt,则当 x0 时,f(x)是 g(x)的( )(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小(C)等价无穷小(D)同阶但非等价的无穷小2 设 f(x)在 x=a 的邻域内有定义,且 f+(a)与 f-(a)都存在,则 ( )(A)f(x)在 x=a 处不连续(B) f(x)在 x=a 处连续(C) f(x)在 x=a 处可导(D)f(x)在 x=a 处连续可导3 设函数 f(x)在(-,+) 内连续,其导数的图形

2、如下图,则 f(x)有( )(A)两个极大点,两个极小点,一个拐点(B)两个极大点,两个极小点,两个拐点(C)三个极大点,两个极小点,两个拐点(D)两个极大点,三个极小点,两个拐点二、填空题4 5 设 ,则 f(x)=_6 设 在 x=1 处可微,则 a=_,b=_7 8 设连续非负函数 f(x)满足 f(x)f(-x)=1,则 =_9 在区间-1,1上的最大值为_10 设 f(x)的一个原函数为 =_11 上的平均值为_12 设 z=xf(x+y)+g(xy,x 2+y2),其中 f,g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导,则=_13 设 =_14 以 y=C1ex+ex(C2cosx+C3s

3、inx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 求函数 y=ln(x+ )的反函数17 设 f(x)二阶可导,f(0)=f(1)=0 且 证明:存在 (0,1),使得 f“()817 设 fn(x)=x+x2+xn(n|2)18 证明方程 fn(x)=1 有唯一的正根 xn;19 20 设 f(x)在a,b上连续可导,且 f(a)=f(b)=0证明:21 设 f(x)在a,b上连续可导,证明:22 设 ,其中 f(s,t)二阶连续可偏导,求 du 及23 计算 ,其中 D 为单位圆血 x2+y2=1 所围成的第一象限的部分24 用变

4、量代换 x=lnt 将方程 化为 y 关于 t 的方程,并求原方程的通解25 设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为 ,又此曲线上的点(0,1) 处的切线方程为 y=x+1,求该曲线方程,并求函数 y(x)的极值考研数学二(高等数学)模拟试卷 35 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 m=6 且 x0时, ,故 x0 时,f(x)是 g(x)的低阶无穷小,应选 (A)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f+(a)存在,所以 ,即 f(x)在 x=a 处右连续,同理

5、由 f-(a)存在可得 f(x)在 x=a 处左连续,故 f(x)在 x=a 处连续,选(B)【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 C【试题解析】 设当 x0 时,f(x)与 x 轴的两个交点为 (x1,0), (x 2,0),其中x1x 2;当 x0 时,f(x)与 x 轴的两个交点为(x 3,0),(x 4,0),其中 x3x 4 当xx 1 时,f(x)0,当 x(x1,x 2)时,f(x) 1 为f(x)的极大点;当 x(x2,0)时,f(x)0,则 x= x2 为 f(x)的极小点;当 x(0,x 3)时, f(x)0,则 x=0 为 f(x)的极大点;当 x(x3,x 4)时

6、,f(x)0,则 x=x3 为 f(x)的极小点;当 xx 4 时,f(x)0,则 x=x4 为 f(x)的极大点,即 f(x)有三个极大点,两个极小点,又 f“(x)有两个零点,根据一阶导 数在两个零点两侧的增减性可得,y=f(x)有两个拐点,选(C) 【知识模块】 高等数学部分二、填空题4 【正确答案】 14【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 2x(1+4x)e 8x【试题解析】 得 f(x)=2xe8x+8x2e8x=2x(1+4x)e8x【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 2,-1【试题解析】 因为 f(x)在 x=1 处可微,所以 f(x)在 x=1 处

7、连续,于是 f(1-0)=f(1)=1=f(1+0)=a+b,即 a+b=1 由 f(x)在x=1 处可微得 a=2,所以 a=2,b=-1【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 ln3【试题解析】 故 I(x)在-1,1上的最大值为 ln3【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 f+xf“+x y-1g1+yxy-1lnxg1+yx2y-1lnxg

8、“11+2y2xy-1g“12+2xy+1lnxg“21+4xyg“22【试题解析】 由 z=xf(x+y)+g(xy,x 2+y2),得 =f(x+y)+xy(x+y)+yxy-1g1(xy,x 2+y2)+2xg2(x,x 2+y2) =f+xf“+xy-1g1+yxy-1lnxg1+yx2y-1lnxg“11+2y2xy-1g“12+2xy+1lnxg“21+4xyg“22【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 【试题解析】 在 D1=(x,y)- 2:0x+y1 上,f(x+y)=x+y,则在D1D2=(x,y)-yx1-y,0y1)上,f(y)f(x+y)=y(x+y),所以【

9、知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 y“-3y“+4y-2y=0【试题解析】 特征值为 1=1, 23 =1i,特征方程为(-1)(-1+i)(-1-i)=0,即 3-32+4-2=0,所求方程为 y“-3y“+4y-2y=0【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 因为 f(x)在0 ,1上二阶可导,所以 f(x)在0,1上连续且 f(0)=f(1)=0, 由闭区间上连续函数最值定理知,f(x) 在0,1取到最小值且最小值在(0 ,1) 内

10、达到,即存在 C(0,1),使得 f(c)=-1,再由费马定理知 f(c)=0,根据泰勒公式 整理得所以存在 (0,1),使得 f“()8【试题解析】 在使用泰勒中值定理时,若已知条件中给出某点的一阶导数,则函数在该点展开;若结论中是关于某点的一阶导数,则在该点展开;若既未给出某点的一阶导数的条件,结论中又不涉及某点的一阶导数,往往函数在区间的中点处展开【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 令 n(x)=fn(x)-1,因为 n(0)=-1n(1)=n-10,所以 n(x)在(0,1)(0, +)内有一个零点,即方程 fn(x)=1 在(0 ,+)内有一个根因

11、为 n(x)=1+2x+nxn-10,所以 n(x)在(0,+) 内单调增加,所以 n(x)在(0,+)内的零点唯一,所以方程 fn(x)=1 在(0,+)内有唯一正根,记为 xn【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 由 fn(xn)-fn+1(xn+1)=0,得(x n-xn+1)+(xn2-xn+12)+(xnn-xn+1n)=xn+1n+10,从而 xnx n+1,所以x nn-1,单调减少,又 xn0(n=1 ,2,),故,显然 Axnx1=1,由 xn+xn2+xnn=1,得 ,两边求极限得【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分21 【正确答

12、案】 因为 f(x)在a ,b上连续,所以f(x)在a,b上连续,令根据积分中值定理, ,其中 a,b由积分基本定理,f(c)=f(e)+ cf(x)如,取绝对值得 f(f)f()+ cf(x)dxf() +abf(x)dx,即【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 故原方程的通解为 y=C1cosex+C2sinex【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 因为曲线是上凸的,所以 y“因为曲线 y=y(x)在点(0,1)处的切线方程为 y=x+1,所以 p x=0=1,从而 y=因为曲线过点(0,1),所以 C2=【知识模块】 高等数学部分

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