1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 35 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=0xdt0ttln(1+u2)du，g(x)= (1-cost)dt，则当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价的无穷小2 设 f(x)在 x=a 的邻域内有定义，且 f+(a)与 f-(a)都存在，则 ( )（A）f(x)在 x=a 处不连续（B） f(x)在 x=a 处连续（C） f(x)在 x=a 处可导（D）f(x)在 x=a 处连续可导3 设函数 f(x)在(-，+) 内连续，其导数的图形
2、如下图，则 f(x)有( )（A）两个极大点，两个极小点，一个拐点（B）两个极大点，两个极小点，两个拐点（C）三个极大点，两个极小点，两个拐点（D）两个极大点，三个极小点，两个拐点二、填空题4 5 设 ，则 f(x)=_6 设 在 x=1 处可微，则 a=_，b=_7 8 设连续非负函数 f(x)满足 f(x)f(-x)=1，则 =_9 在区间-1，1上的最大值为_10 设 f(x)的一个原函数为 =_11 上的平均值为_12 设 z=xf(x+y)+g(xy，x 2+y2)，其中 f，g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则=_13 设 =_14 以 y=C1ex+ex(C2cosx+C3s
3、inx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 求函数 y=ln(x+ )的反函数17 设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0 且 证明：存在 (0，1)，使得 f“()817 设 fn(x)=x+x2+xn(n|2)18 证明方程 fn(x)=1 有唯一的正根 xn；19 20 设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)=0证明：21 设 f(x)在a，b上连续可导，证明：22 设 ，其中 f(s，t)二阶连续可偏导，求 du 及23 计算 ，其中 D 为单位圆血 x2+y2=1 所围成的第一象限的部分24 用变
4、量代换 x=lnt 将方程 化为 y 关于 t 的方程，并求原方程的通解25 设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 ，又此曲线上的点(0，1) 处的切线方程为 y=x+1，求该曲线方程，并求函数 y(x)的极值考研数学二（高等数学）模拟试卷 35 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 m=6 且 x0时， ，故 x0 时，f(x)是 g(x)的低阶无穷小，应选 (A)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f+(a)存在，所以 ，即 f(x)在 x=a 处右连续，同理
5、由 f-(a)存在可得 f(x)在 x=a 处左连续，故 f(x)在 x=a 处连续，选(B)【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 C【试题解析】 设当 x0 时，f(x)与 x 轴的两个交点为 (x1，0)， (x 2，0)，其中x1x 2；当 x0 时，f(x)与 x 轴的两个交点为(x 3，0)，(x 4，0)，其中 x3x 4 当xx 1 时，f(x)0，当 x(x1，x 2)时，f(x) 1 为f(x)的极大点；当 x(x2，0)时，f(x)0，则 x= x2 为 f(x)的极小点；当 x(0，x 3)时， f(x)0，则 x=0 为 f(x)的极大点；当 x(x3，x 4)时
6、，f(x)0，则 x=x3 为 f(x)的极小点；当 xx 4 时，f(x)0，则 x=x4 为 f(x)的极大点，即 f(x)有三个极大点，两个极小点，又 f“(x)有两个零点，根据一阶导 数在两个零点两侧的增减性可得，y=f(x)有两个拐点，选(C) 【知识模块】 高等数学部分二、填空题4 【正确答案】 14【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 2x(1+4x)e 8x【试题解析】 得 f(x)=2xe8x+8x2e8x=2x(1+4x)e8x【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 2，-1【试题解析】 因为 f(x)在 x=1 处可微，所以 f(x)在 x=1 处
7、连续，于是 f(1-0)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即 a+b=1 由 f(x)在x=1 处可微得 a=2，所以 a=2，b=-1【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 ln3【试题解析】 故 I(x)在-1，1上的最大值为 ln3【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 f+xf“+x y-1g1+yxy-1lnxg1+yx2y-1lnxg
8、“11+2y2xy-1g“12+2xy+1lnxg“21+4xyg“22【试题解析】 由 z=xf(x+y)+g(xy，x 2+y2)，得 =f(x+y)+xy(x+y)+yxy-1g1(xy，x 2+y2)+2xg2(x，x 2+y2) =f+xf“+xy-1g1+yxy-1lnxg1+yx2y-1lnxg“11+2y2xy-1g“12+2xy+1lnxg“21+4xyg“22【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 【试题解析】 在 D1=(x，y)- 2：0x+y1 上，f(x+y)=x+y，则在D1D2=(x，y)-yx1-y，0y1)上，f(y)f(x+y)=y(x+y)，所以【
9、知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 y“-3y“+4y-2y=0【试题解析】 特征值为 1=1， 23 =1i，特征方程为(-1)(-1+i)(-1-i)=0，即 3-32+4-2=0，所求方程为 y“-3y“+4y-2y=0【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上二阶可导，所以 f(x)在0，1上连续且 f(0)=f(1)=0， 由闭区间上连续函数最值定理知，f(x) 在0，1取到最小值且最小值在(0 ，1) 内
10、达到，即存在 C(0，1)，使得 f(c)=-1，再由费马定理知 f(c)=0，根据泰勒公式 整理得所以存在 (0，1)，使得 f“()8【试题解析】 在使用泰勒中值定理时，若已知条件中给出某点的一阶导数，则函数在该点展开；若结论中是关于某点的一阶导数，则在该点展开；若既未给出某点的一阶导数的条件，结论中又不涉及某点的一阶导数，往往函数在区间的中点处展开【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 令 n(x)=fn(x)-1，因为 n(0)=-1n(1)=n-10，所以 n(x)在(0，1)(0， +)内有一个零点，即方程 fn(x)=1 在(0 ，+)内有一个根因
11、为 n(x)=1+2x+nxn-10，所以 n(x)在(0，+) 内单调增加，所以 n(x)在(0，+)内的零点唯一，所以方程 fn(x)=1 在(0，+)内有唯一正根，记为 xn【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 由 fn(xn)-fn+1(xn+1)=0，得(x n-xn+1)+(xn2-xn+12)+(xnn-xn+1n)=xn+1n+10，从而 xnx n+1，所以x nn-1，单调减少，又 xn0(n=1 ，2，)，故，显然 Axnx1=1，由 xn+xn2+xnn=1，得 ，两边求极限得【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分21 【正确答
12、案】 因为 f(x)在a ，b上连续，所以f(x)在a，b上连续，令根据积分中值定理， ，其中 a，b由积分基本定理，f(c)=f(e)+ cf(x)如，取绝对值得 f(f)f()+ cf(x)dxf() +abf(x)dx，即【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 故原方程的通解为 y=C1cosex+C2sinex【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 因为曲线是上凸的，所以 y“因为曲线 y=y(x)在点(0，1)处的切线方程为 y=x+1，所以 p x=0=1，从而 y=因为曲线过点(0，1)，所以 C2=【知识模块】 高等数学部分
