1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 36 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设a n与b n为两个数列，下列说法正确的是( )（A）若a n与b n都发散，则a nbn一定发散（B）若 an与b n都无界，则a nbn一定无界（C）若 an无界且（D）若 an 为无穷大，且 ，则 bn 一定是无穷小2 下列命题成立的是( ) （A）若 f(x)在 x0 处连续，则存在 0，使得 f(x)在x-x 0（B）若 f(x)在 x0 处可导，则存在 0，使得 f(x)在 x-x0（C）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导，在 x0 处连续且 存在，则 f(x)
2、在 x0 处可导，且 f(x0)=（D）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导，在 x0 处连续且 不存在，则 f(x)在 x0处不可导3 设 f(x)，g(x) 是连续函数，当 x0 时，f(x)与 g(x)是等价无穷小，令 F(x)=0xf(x-t)dtG(x)=01xg(xt)dt，则当 x0 时，F(x)是 G(x)的( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶但非等价无穷小（D）等价无穷小4 设 F(x)=xx+2esintsintdt，则 F(x)( )（A）为正常数（B）为负常数（C）为零（D）取值与 x 有关5 设 ，则当 x0 时，两个无穷小的关系是( )（A）高阶无穷小
3、（B）低阶无穷小（C）同阶非等价无穷小（D）等价无穷小6 设 则 g(x)在(0，2)内( )（A）单调减少（B）无界（C）连续（D）有第一类间断点7 设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )（A） axf(t)dt（B） -xaf(t)dt（C） -x0f(t)dt-x0f(t)dt（D） -xxtf(t)dt8 累次积分 等于( )二、填空题9 设 f(x)连续，f(0)=0，f(0)=1，则 =_10 设两曲线 y=x2+ax+b 与-2y=-1+xy 3 在点(-1 ，1)处相切，则a=_，b=_11 设 F(x)=(x 2-t2)f(t)
4、dt，其中 f(x)在 x=0 处连续，且当 x0 时，F(x)x 2，则f(0)=_12 设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx ，ty)=t 3f(x，y) ，且 fx(1，2)=1，f y(1，2)=4，则f(1，2)=_13 设 y(z)为微分方程 y“-4y+4y=0 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=2 的特解，则 01y(x)dx=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 15 16 设 x=x(t)由17 一质点从时间 t=0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于418 就
5、 k 的不同取值情况，确定方程 x3-3x+k=0 根的个数19 设 k 为常数，方程 在(0，+)内恰有一根，求 k 的取值范围20 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f“(x)21 设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f“(x)0证明：22 设函数 f(x，y，z) 一阶连续可偏导且满足 f(tx，ty，tz)=t kf(x，y，z)证明：23 计算二重积分 (x2+4x+y2)dxdy，其中 D 是曲线(x 2+y2)2=a2(x2-y2)围成的区域23 飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行，当飞机行至 O 时被发现，随即从 x 轴上(x 0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x 00)，
6、若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v24 求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；25 导弹运行方程考研数学二（高等数学）模拟试卷 36 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 an=2+(-1)n，b n=2-(-1)n，显然a n与b n都发散，但anbn=3，显然a nbn收敛；(B)、(C) 都不对，如 an=n1+(-1)n，b n=n1-(-1)n，显然an与b n都无界，但 anbn=0，显然a nbn有界且 ；正确答案为(D)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 C【试题解析】 设
7、显然 f(x)在 x=0 处连续，对任意的 x00，因为不存在，所以 f(x)在 x0 处不连续，(A) 不对；同理 f(x)在 x=0 处可导，对任意的 x00，因为 f(x)在 x0 处不连续，所以 f(x)在 x0 处也不可导，(B)不对；在，选(C)【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 A【试题解析】 F(x)= 0xf(x-t)dt=-0xf(x-t)d(x-t)=0xf(u)du，选(D)【知识模块】 高等数学部分4 【正确答案】 A【试题解析】 由周期函数的平移性质，F(x)= xx+2esintsintdt=-esintsintdt，再由对称区间积分性质得 F(x)=0(
8、esintsint-e-sintsint)dt=0(esint-e-sint)sintdt，又(e sint-e-sint)sint连续、非负、不恒为零，所以 F(x)0，选(A) 【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ，所以两无穷小同阶但非等价，选(C)【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在(0 ，2)内只有第一类间断点，所以 g(x)在(0，2)内连续，选(C)【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 D【试题解析】 设 (x)=-xxtf(t)dt=20xtf(t)dt，(x+T)=2 0x+Ttf(t)dt=20xtf
9、(t)dt+20x+Ttf(t)dt(x)，选(D)【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 D【试题解析】 积分所对应的直角坐标平面的区域为 D：0x1 ，0y ，选(D)【知识模块】 高等数学部分二、填空题9 【正确答案】 0【试题解析】 当 x0 时， ， 0xlncos(x-t)dt=-0xlncos(x-t)d(x-t) -x0lncosudu=0xlncosudu，【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 3，3【试题解析】 因为两曲线过点(-1，1)，所以 b-a=0，又由 y=x2+ax+b 得 =a-2，再由-2y=-1+xy 3 得 ，且两曲线在点(-1，1)处相切，
10、则a-2=1，解得 a=b=3【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 12【试题解析】 F(x)=x 20xf(t)dt-0xt2(t)dt，F(x)=2x 0xf(t)dt【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 3【试题解析】 f(tx，ty)=t 3f(x，y)两边对 t 求导数得 xf x(tx，ty)+yf y(tx，ty)=3t2f(x，y)， 取 t=1，x=1，y=2 得 fx(1，2)+2f y(1，2)=3f(1 ，2)，故 f(1，2)=3【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 【试题解析】 y“-4y+4y=0 的通解为 y=(C1+C2x)e2x，由初
11、始条件 y(0)=1，y(0)=2得 C1=1，C 2=0，则 y=e2x，于是【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 设运动规律为 S=S(t)，显然 S(0)=O，S(0)=0，S(1)=1 ，S(1)=0由泰勒公式两式相减，得 S“(2)-S“(1)=-8 ( 1)+S“( 2)8当S“( 1)S“( 2)时，S“( 1)4；当S“( 1) 2)时，S“( 2)4【知识模块】 高等数学部分18 【
12、正确答案】 令 f(x)=x3-3x+k， 由 f(x)=3x2-3=0，得驻点为 x1=-1，x 2=1f“(x)=6x ，由 f“(-1)=-6，f“(1)=6，得 x1=-1，x 2=1 分别为 f(x)的极大值点和极小值点，极大值和极小值分别为 f(-1)=2+k，f(1)=k-2(1)当k2 时，方程只有一个根【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 令 ，x(0，+)(1)若 k0，由，所以原方程在(0，+)内恰有一个实根；(2)若 k=0， ，所以原方程也恰有一个实根；【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 令 u=tx， v=ty，w=tz ，f(tx ，ty，tz)=t kf(x，y，z)，两边对 t 求导得 当 t=1 时，有【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 根据对称性 ，其中 D1 是 D位于第一卦限的区域【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 设 t 时刻导弹的位置为 M(x，y)，根据题意得【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分
