1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 39 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0 使得( )（A）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)（B）对任意的 x(0，)有 f(x)0，求 f(x)17 18 19 求曲线 y=3-x 2-1与 x 轴围成的封闭区域绕直线 y=3 旋转所得的旋转体的体积20 求椭圆 所围成的公共部分的面积21 设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+yxP(t)dt 确定 u 为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，(u)连续，且 (u)1，求22 23 设 f(x
2、，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D ，使得24 一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 18m，运动开始时链条一边下垂 8m，另一边下垂 10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?25 质量为 1g 的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在 t=10s 时，速度等于 50cms外力为 392cm s 2，问运动开始1min 后的速度是多少?考研数学二（高等数学）模拟试卷 39 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(0)0，所以 ，根
3、据极限的保号性，存在0，当 x(0，)时，有 ，即，(x)f(0)，选(A)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(x)=x，显然 ，(a)不对，同理，(b)也不对；令 f(x)=x2，则对任意的 M0，存在 X00，当 xX0 时，有 f(x)M，于是当 xX0 时，f(x)-f(X 0)=f()(x-X0)，其中 (X0，x)，即 f(x)f(X0)+M(x-X0)，根据极限的保号性，有 ，选(C) 【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1(x)， 2(x)， 3(x)为方程 y“+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解
4、， 所以 1(x)-3(x)， 2(x)-3(x)为方程 y“+a1(x)y+a2(x)y=0 的两个线性无关解，于是方程 y“+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的通解为 C 11(x)-3(x)+C22(x)-3(x)+3(x) 即C11(x)+C22(x)+C33(x)，其中 C3=1-C1-C2 或 C1+C2+C3=1，选(D)【知识模块】 高等数学部分二、填空题4 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 y=2x-4【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 4，-2【试题
5、解析】 令 P(x，y)=ay-2xy 2，Q(x ，y)=bx 2y+4x+3，因为(ay-2xy 2)dx+(bx2y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，所以 ，于是 a=4，b=-2【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 因为正数的算术平均数不小于几何平均数，所以有【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 当x=0 时， (0)=01f(0)dt=0 因为，所以 (x)在 x=0 处连续【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 因为 f(x)在(a ，b)内二阶可导，所以有因为
6、 f“(x)在(a ，b) 内连续，所以 f“(x)在 1， 2上连续，从而 f“(x)在 1， 2上取到最小值 m 和最大值 M，故m M，由介值定理，存在故【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 不妨设 f+(a)0，f -(b)+(a)= 0，则存在 0(0，即 f(x)f(a)，所以存在 x1(a，b)，使得 f(x1)f(a)同理由 f-(b)2(a，b)，使得 f(x2)f(b)因为 f(x)在a，b上连续，且 f(x1)f(a)，f(x 2)f(b)，所以 f(x)的最大值在(a，b)内取到，即存在 (a，b)，使得 f()为 f(x)在a，b上的最大值，故 f()=0【知
7、识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 先作一个函数 P(x)=ax3+bx2+cx+d，使得 P(0)=f(0)=1，P(1)=f(1)=0，P(2)= ，P(1)=f(1) 令g(x)=f(x)-P(x)，则 g(x)在 0，2上三阶可导，且 g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在c1(0，1)，c 2(1，2) ，使得 g(c1)=g(1)=g(c2)=0，又存在 d1(c1，1)，d 2(1，c 2)使得 g“(d1)=0(d2)=0，再由罗尔定理，存在 (d1，d 2) (0，2)，使得 g“()=0，而g“(x)=f“(x)-2，所以“()=2【知识模块】 高等数学部分14
8、【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 两边积分得 F2(x)= ，解得 F2(x)= ，由 F(0)=1，F(x)0 ，得 ，于是【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 令 lnx=t，则 ，当 t0 时，f(t)=t+C 1；当 t0 时，f(t)=et+C2显然 f(t)为连续函数，所以 f(t)也连续，于是有 C1=1+C2，【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 显然所给的函数为偶函数，只研究曲线的右半部分绕 y=3 旋转所成的体积【知识模块】 高等数学部分20
9、 【正确答案】 根据对称性，所求面积为第一象限围成面积的 4 倍，先求第一象限的面积 则第一象限围成的面积为【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 因为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上取到最大值 M 和最小值 m，故 mf(x，y)M，又由 g(x，y)0 得 mg(z，y)f(x，y)g(x，y)Mg(z，y)积分得【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 设链条的线密度为 ，取 x 轴正向为垂直向下，设 t 时刻链条下垂 x(t)m，则下垂那段的长度为(10+x)m，另一段长度为(8-x)m，此时链条受到的重力为(10+x)g-(8-x)g=2(x+1)g链条的总重量为 18，由牛顿第二定理 F=ma 得，且 x(0)=0，x(0)=0，解得，当链条滑过整个钉子时，x=8，【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 由题意得 ，因为当 t=10 时，v=50，F=392，所以k=196，从而 ，分离变量得vdv=196tdt，所以 =98t2+C，由 vt=10=50 ，得 C=-8550，【知识模块】 高等数学部分
