1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 43 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=2x+3x 一 2，则当 x0 时（A）f(x)与 x 是等价无穷小（B） f(x)与 x 是同阶但非等价无穷小（C） f(x)是比 x 较高阶的无穷小（D）f(x)是比 x 较低阶的无穷小2 设 f(x)= 则 f(x)在点 x=0 处（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导3 设 y=f(x)满足 f“(x)+2f(x)+ =0，且 f(x0)=0，则 f(x)在（A）x 0 某邻域内单调增加（B） x0 某邻域内单调减少（C） x0
2、处取得极小值（D）x 0 处取极大值4 若 f(x)的一个原函数是 arctanx，则 xf(1 一 x1)dx=（A）arctan(1 一 x2)+C（B） xarctan(1 一 x2)+C（C） arctan(1 一 x 2)+C（D） xarctan(1 一 x2)+C5 下列广义积分中发散的是6 二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处两个偏导数 fx(x0，y 0)，f y(x0，y 0)存在是 f(x，y)在该点连续的（A）充分条件而非必要条件（B）必要条件而非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件又非必要条件二、填空题7 设函数 f(x)=ax(a0，a1)，则 l
3、nf(1) f(2)f(n)=_8 设 f(x)连续，且 f(1+x)一 3f(1 一 x)=8x(1+|x|)，则 f(1)=_9 设 f(x)连续，且 f(t)dt=x，则 f(5)+05f(t)dt=_10 设 u= 则 du|(1，1，1) =_11 (x+1) +2y2dxdy=_12 微分方程(y 2+x)dx 一 2xydy=0 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 求极限14 讨论函数 f(x)= 的连续性，并指出间断点的类型15 设 f(x)= 求 f(n)(x)16 设 a1， n1，试证17 求证方程 x+p+qcosx=0 恰有一个实根，其中
4、 p，q 为常数，且 0q118 设 f(x)在a，b上可导，在(a，b) 内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f(a)f(b)0试证：1) (a，b)，使 f()=02) (a，b)，使 f“()=f()19 20 21 22 设函数 f(x)可导，且 f(0)=0，F(x)= 0z tn 一 1f(xn 一 tn)dt，试求23 设 f(x)=一 1x(1 一|t|)dt(x一 1)，求曲线 y=f(x)与 x 轴所围图形面积24 设 u=f(x， y，z)，(x 2，e y，z)=0，y=sinx，其中 f， 都具有一阶连续偏导数，且25 求函数 z=xy(4 一 x 一 y)在 x=1
5、，y=0 ，x+y=6 所围闭区域 D 上的最大值与最小值26 计算27 计算 1+yf(x2+ y2)dxdy，其中 D 是由 y=x3，y=1，x=一 1 所围成的区域，f(x，y)是连续函数28 已知 y1=3，y 2=3+x2， y3=3+ex是二阶线性非齐次方程的解，求方程通解及方程29 设 (x)连续，且 (x)+0x(x 一 u)(u)du=ex+2x01(xu)du 试求 (x)30 在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点 P(x，y) 处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 长度的导数(Q 是法线与 x 轴的交点) ，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行考研数学二（高
6、等数学）模拟试卷 43 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 A【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 D【知识模块】 高等数学二、填空题7 【正确答案】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 2【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 dx 一 dy【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 y
7、 2= x(ln|x|+C)【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 0【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 x=0 为可去间断点，x=1 为跳跃间断点，x=2k(k=1，2，) 为无穷间断点，其余点处连续【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 利用拉格朗日中值定理【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 令 f(x)=x+p+qcosx，注意 =+，而f(x)=1 一 qsinx0【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 1)利用连续函数介值定理证明， (a，b)，使 f()=02)先对辅助函数
8、 (x)=exf(x)用罗尔定理，再对辅助函数 F(x)=e 一 xf(x)+f(x)用罗尔定理【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 ， f mln(3，3)=一 18【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 所求方程为(2x 一 x2)y“+ (x22)y+2(1 一 x)y=6(1 一 x)通解为：y=C1x2+ C2ex+3【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 (x)=e x+2xex + x2ex【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 y+ =e(x 一 1)【知识模块】 高等数学
