1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 51 及答案与解析一、填空题1 设 f(x)的一个原函数为 ln2x，则xf(x)dx=_二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，证明：至少存在一点 (0，)，使得 f()=一 f()cot3 设 f(x)在-a，a上连续，在 (一 a，a)内可导，且 f(一 a)=f(a)(a0)，证明：存在(一 a，a) ，使得 f()=2f()4 设函数 f(x)在0，1上可微，且满足 f(1)= xf(x)dx(01)，证明：存在(0， 1)，使得 f()=5 设 f(x)在0，1上有二阶导数，且 f(1)=f(
2、0)=f(1)=f(0)=0，证明：存在 (0，1)，使 f“()=f()6 设 f(x)在a ，b上连续可导，f(x)在(a ，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0， abf(x)dx=0，证明：(1)在(a，b) 内至少存在一点 ，使得 f()=f()； (2)在(a，b)内至少存在一点()，使得 f“()=f()7 设奇函数 f(x)在一 1， 1上二阶可导，且 f(1)=1，证明：(1)存在 (0，1) ，使得 f()=1；(2)存在 (一 1，1) ，使得 f“()+f()=18 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，证明：存在 (0，1) ，使得 f(1)一f(0)=
3、(1+2)f()9 设 f(x)在 上二阶连续可导，且 f(0)=0，证明：存在 ， ，使得10 若函数 f(x)在0，1上二阶可微，且厂 f(0)=f(1)，|f”(x)|1 ，证明：|f(x)| 在0，1上成立11 设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，证明：2x 0xf(t)dt=1 在(0，1)内有且仅有一个实根12 证明：方程 xa=lnx(a0) 在(0，+)内有且仅有一个根13 设 fn(x)=Cn1cosxCn2cos2x+(一 1)n-1Cnncosnx，证明：对任意自然数 n，方程在区间 内有且仅有一个根14 设 f(x)在0，1上连续、单调减少且 f(x)0，证明：
4、存在 c(0，1)，使得 0cf(x)dx=(1 一 c)f(c)15 求在 x=1 时有极大值 6，在 x=3 时有极小值 2 的三次多项式16 求函数 f(x)= (2 一 t)e-tdt 的最小值和最大值17 设 f(x)为 一 2，2上连续的偶函数，且 f(x)0， F(x)=-22|xt|f(t)dt，求 F(x)在一 2， 2上的最小值点18 求函数 f(x)= 在0，1上的最大值和最小值19 f(x，y)=x 3+y3 一 3xy 的极小值20 设 y=f(x)= (1)讨论 f(x)在 x=0 处的连续性；(2)f(x)在何处取得极值?21 设 f(x)= 求 f(x)的极值2
5、2 设 g(x)在 a，b 上连续，且 f(x)在a ，b上满足 f“(x)+g(x)f(x)一 f(x)=0，又 f(a)=f(b)=0，证明： f(x)在a， b上恒为零23 求函数 的单调区间与极值，并求该曲线的渐近线24 设 y=y(x)由 x2y2+y=1(y0)确定，求函数 y=y(x)的极值25 求 f(x)=01|xt|dt 在0，1上的最大值、最小值26 当 x0 时，证明：27 当 x0 时，证明： 0x(t 一 t2)sin2ntdt (n 为自然数)28 证明：当 0x1 时，e -2x29 设 0a b30 求 的渐近线31 求微分方程 yy“+(y)2=0 的满足初
6、始条件 y(0)=1，y(0)= 的特解考研数学二（高等数学）模拟试卷 51 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 2lnx 一 ln2x+C【试题解析】 由题意得 则xf(x)dx=xdf(x)=xf(x)一f(x)dx=2lnxln2x+C【知识模块】 高等数学二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 【正确答案】 令 (x)=f(x)sinx，(0)=()=0，由罗尔定理，存在 (0，) ，使得 ()=0，而 (x)=f(x)sinx+f(x)cosx，于是 f()sin+f()cos=0，故 f()=一 f()cot【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 由 f(一 a)=
7、f(a)得 (-a)=(a)， 由罗尔定理，存在 (一 a，a)，使得 ()=0， ，故 f()=2f()【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 令 (x)=xf(x)，由积分中值定理得 f(1)= .cf(c).=cf(c)，其中c0，从而 (c)=(1)，由罗尔中值定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 ()=0而 (x)=f(x)+xf(x)，故 f()=【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 令 (x)=e-xf(x)+f(x)， (0)=(1)=0，由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()=0， 而 (x)=e-af“(x)一 f(x)且 e-x0，故 f”()=f()【知识模块】
8、 高等数学6 【正确答案】 (1)令 F(x)=axf(t)dt，F(a)=F(b)=0， 由罗尔定理，存在 c(a，b)，使得 F(c)=0，即 f(c)=0 令 h(x)=e-xf(x)，h(a)=h(c)=0 ， 由罗尔定理，存在 (a，c)，使得 h()=0， 由 h(x)=e-xf(x)一 f(x)且 e-x0，故 f()=f() (2)同理，由 h(c)=h(b)=0，则存在 (c，b)，使得 f()=f() 令 (x)=exf(x)一 f(x),()=()=0， 由罗尔定理，存在 (， ) (a，b)，使得 ()=0， 而 (x)=exf“(x)一 f(x)且ex0，故 f“()
9、=f()【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 (1)令 h(x)=f(x)一 x， 因为 f(x)在一 1，1上为奇函数，所以 f(0)=0， 从而 h(0)=0，h(1)=0， 由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 h()=0， 而 h(x)=f(x)一 1，故 (0，1)，使得 f()=1 (2) 令 (x)=exf(x)一 1， 因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)为偶函数，由 f()=1 得 f(一 )=1 因为 (一 )=()，所以存在(一 ，) (一 1，1) ，使得 ()=0， 而 (x)=exf“(x)+f(x)一 1且 ex0， 故f“()+f()=1【知识模块】 高等数学
10、8 【正确答案】 令 F(x)=arctanx，F(x)= 0，由柯西中值定理，存在(0， 1)，【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 令 F(x)=一 cos2x，F(x)=2 sin2x0 由柯西中值定理，存在 使得【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 由泰勒公式得由 x2x，(1一 x)21 一 x 得 x2+(1 一 x)21，故|f(x)|1【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 令 (x)=2x0xf(t)dt 一 1， (0)=一 1，(1)=1 一 01f(t)dt， 由 f(x)1 得 01f(t)dt1，从而 (1)=1-01f(t)dt0， 由零点定理，存在 c(
11、0，1)，使得(C)=0，即方程 2x 一 0xf(t)dt=1 至少有一个实根 因为 (x)=2 一 f(x)0，所以(x)在0，1上严格递增，故 2x-0xf(t)dt=1 在(0，1) 内有且仅有一个实根【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 令 f(x)=xa 一 lnx，f(x) 在(0，+)连续，因为 f(1)=10，所以 f(x)在(0 ，+)内至少有一个零点，即方程 xa=lnx 在(0，+) 内至少有一个根因为 f(x)=axa-1 一 0，所以 f(x)在(0，+)内严格递减，故 f(x)在(0，+) 内有且仅有一个零点，从而方程 xa=lnx 在 (0，+)内有且仅有一
12、个根【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 由 fn(x)=Cn1cosxCn2cos2x+(一 1)n-1Cnncosnx 得 f n(x)=1 一(1 一cosx)n， 因为 g(x)=一 n(1 一 cosx)n-1sinx0 所以 g(x)在 内有唯一的零点，从而方程 内有唯一根【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 令 (x)=(x 一 1)0xf(t)dt， 因为 (0)=(1)=0，所以存在 c(0，1)，使得 (c)=0， 而 (x)=0xf(t)dt+(x 一 1)f(x)， 于是 0cf(x)dx=(1 一 c)f(c)【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 令 f(
13、x)=ax3+bx2+cx+d， 由 f(1)=6，f(1)=0，f(3)=2，f(3)=0 得解得 a=1，b=一 6，c=9，d=2， 所求的多项式为 x3 一6x2+9x+2【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 显然 f(x)为偶函数，只研究 f(x)在0 ，+) 上的最小值和最大值【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 F(x)= -22|xt|f(t)dt=-2x(xt)f(t)dt+x2(t 一 x)f(t)dt =x-2xf(t)dt-2xtf(t)dt2xtf(t)dt+x2xf(t)dt， F(x)= -2xf(t)dt+-2xf(t)dt=-20f(t)dt+0xf(
14、t)dt+20f(t)dt+0xf(t)dt， 因为 -20f(t)dt=02f(t)dt，所以 F(x)=20xf(t)dt 因为 f(x)0，所以 F(x)=0 得x=0， 又因为 F“(x)=2f(x)，F”(0)=2f(0)0，所以 x=0 为 F(x)在(一 2，2)内唯一的极小值点，也为最小值点【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 由 得(x，y)=(0，0)，(x ，y)=(1，1) f xx“=6x，f xy“=一 3，f yy“=6y。当(x，y)=(0，0) 时，A=0 ，B=一 3，C=0，因为 ACB20，所以(0，0)不是
15、极值点；当(x，y)=(1，1)时，A=6，B=一3，C=6，因为 ACB20 且 A0，所以(1，1)为极小值点，极小值为 f(1，1)=一1【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 f(0)=f(00)=1，由 f(0)=f(00)=f(0+0)=1 得 f(x)在 x=0 处连续(2)当 x0 时，由 f(x)=2x2x(1+lnx)=0 得 当 x0 时，f(x)=10当 x0 时，f(x) 0；当 0x时，f(x)0；当 x 时，f(x) 0，则 x=0 为极大点，极大值为 f(0)=1；【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 因为 f-(0)f+(0)，所以 f(x)在 x=0
16、处不可导【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 设 f(x)在区间a ，b上不恒为零，不妨设存在 x0(a，b)，使得f(x0)0，则 f(x)在(a，b) 内取到最大值，即存在 c(a，b)，使得 f(c)=M0，且 f(c)=0，代入得 f“(c)=f(c)=M0，则 x=c 为极小值点，矛盾，即 f(x)0，同理可证明 f(x)0，故 f(x)0(axb)【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 得 x=一 1，x=0 当 x一 1 时，y0；当一 1x0 时，y0；当 x0 时，y0，得 y=x 一 2 为曲线的斜渐近线；【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 x 2y2+y=1
17、两边关于 x 求导得2xy2+2x2yy+y=0 两边对 x 求导得2y2+8xyy+2x2y2+2x2yy“+y“=0，将 x=0，y=1 ，y(0)=0 代入得 y”(0)=一 20，故x=0 为函数 y=y(x)的极大值点，极大值为 y(0)=1【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 f(x)= 01|x 一 t|dt=0x(xt)dt+x1(tx)dt【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 令 f(x)=0x(t 一 t2)sin2ntdt， 令 f(x)=(xx2)sin2nx=0 得x=1，x=k(k=1，2，) ， 因为当 0x1 时，f(x)0；当 x1 时，f(x)0 ， 所以 x=1 时，f(x) 取最大值，【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 等价于一 2xln(1-x)一 ln(1+x)，令 f(x)=ln(1+x)一ln(1 一 x)一 2x，f(0)=0，【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 由 yy”+(y)2=0 得(yy)=0，从而 yy=C1，【知识模块】 高等数学
