1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 58 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0 使得( )（A）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)（B）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)（C）当 x(0，)时，f(x)为单调增函数（D）当 x(0，)时，f(x) 是单调减函数2 设 f(x)为单调可微函数，g(x) 与 f(x)互为反函数，且 f(2)=4，f(2)= ，f(4)=6，则 g(4)等于( )3 设 k0，则函数 f(x)= 的零点个数为 ( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个4
2、 设 f(x)，g(x) 是连续函数，当 x0 时，f(x)与 g(x)是等价无穷小，令 F(x)=0x(x-t)dt，G(x)= 01xg(xt)dt，则当 x0 时，F(x)是 G(x)的( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶但非等价无穷小（D）等价无穷小5 累次积分 d0cosrf(rcos，rsin)dr 等于( )6 设 y(x)是微分方程 y+(x-1)y+x2y=ex 满足初始条件 y(0)=0，y(0)=1 的解，则( )（A）等于 1（B）等于 2（C）等于 0（D）不存在二、填空题7 =_.8 =_.9 设两曲线 y=x2+ax+b 与-2y=-1+xy 3 在点
3、(-1 ，1)处相切，则 a=_，b=_.10 设 在 x=1 处可微，则 a=_，b=_.11 求 =_.12 设 a2ln2 ，则 a=_13 设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx ，ty)=t 3f(x，y) ，且 f1(1，2)=1，f 2(1，2)=4，则f(1，2)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 f(x)在1，+)内可导，f(x)0 且 f(x)=a0，令 an= f(k)-1nf(x)dx证明：a n收敛且 0 anf(1)15 设 f(x)=a1ln(1+x)+a2ln(1+2x)+anln(1+nx)，其中 a1，a 2，a n 为常数，且
4、对一切 x 有f(x)e x-1证明：a 1+2a2+nan116 设 f(x)Ca，b，在(a ，b)内可导，f(a)=f(b)=1证明：存在 ， (a，b)，使得 2e2-=(ea+eb)f()+f().17 设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，对任意的 x1，x 2a，b及 01，证明：fx1+(1-)x2f(x1)+(1-)f(x2)18 设 k 为常数，方程 kx- +1=0 在(0 ，+)内恰有一根，求 k 的取值范围19 设 f(x)在0，1连续可导，且 f(0)=0证明：存在 0，1，使得 f()=201f(x)dx20 21 设 f(x)有界，且 f(x)连续，对任意
5、的 x(-，+)有f(x)+f(x) 1证明：f(x)1 22 设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式：ln 01f(x)dx01lnf(x)dx.23 设函数 f(x，y，z) 一阶连续可偏导且满足 f(tx，ty，tz)=t kf(x，y，z)证明：24 计算 ，其中 D 为单位圆 x0+y0=1 所围成的第一象限的部分25 位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x， y)处的曲率与 及 1+y2 化之积成反比，比例系数为 k= ，求 y=y(x)考研数学二（高等数学）模拟试卷 58 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有
6、一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(0) 0，所以 ，根据极限的保号性，存在 0，当 X(0，) 时，有 ，即 f(x)f(0)，选(A)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 g (4)= ，所以选(B)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 函数 f(x)的定义域为(0 ，+) ，由 f(x)= =0 得 x=e，当0xe 时， f(x)0；当 xe 时，f(x)0，由驻点的唯一性知 x=e 为函数 f(x)的最大值点，最大值为 f(e)=k0，又 ，于是f(x)在(0，+)内有且仅有两个零点，选(C)【知识模块】 高等数
7、学4 【正确答案】 D【试题解析】 F(x)= 0xf(x-t)dt=-0xf(x-t)d(x-t)=0xf(u)du，G(x)= 01xg(xt)dt=0xg(u)du，则 ，选(D) 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 积分所对应的直角坐标平面的区域为 D：0x1 ，0y ，选(D)【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 A【试题解析】 微分方程 y+(x-1)y+x2y=ex 中，令 x=0，则 y(0)=2，于是，选(A)【知识模块】 高等数学二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 0xsin(x-t)2dt x0sinu2(-du)=0xsinu2du，则【知识
8、模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 2，3【试题解析】 因为两曲线过点(-1，1)，所以 b-a=0，又由 y=x2+ax+b 得=a-2，再由-2y=-1+xy 3 得 ，且两曲线在点(-1，1)处相切，则 a-2=1，解得 a-b=3【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 2，-1【试题解析】 因为 f(x)在 x=1 处可微，所以 f(x)在 x=1 处连续，于是 f(1-0)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即 a+b=1又 f-(1)= =2f +(1)=a，由 f(x)在 x=1 处可微得 a=2，所以a=2，b=-1【知识
9、模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 因为所以【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 ln2【试题解析】 因为所以则，故 a=ln2【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 3【试题解析】 f(tx，ty)=t 3f(x，y)两边对 t 求导数得 xf 1(tx，ty)+yf 2(tx，ty)=3t2f(x，y)， 取 t=1，x=1，y=2 得 f1(1，2)+2f 2(1，2)=3f(1 ，2)，故 f(1，2)=3【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 因为 f(x)0，所以 f(x)单调减少又因为 an+1-an=f(n
10、+1)-nn+1f(x)dx=f(n+1)-f()0(n，n+1)，所以a n单调减少因为 an= kk+1f(k)-f(x)dx+f(n)，而 kk+1f(k)-f(x)dx0(k=1，2，n-1) 且 f(x)=a0，所以存在 X0，当xX 时，f(x)0由 f(x)单调递减得 f(x)0(x -1，+)，故 anf(n)0，所以an 存在.由 an=f(1)+f(2)-12f(x)dx+f(n)- n-1n(x)dx，而 f(k)-k-1kf(x)dx0(k=2，3，n)，所以 anf(1)，从而 0 anf(1)【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 当 x0 时，由f(x)le x
11、-1得 而=a1+2a2+nan，且 ，根据极限保号性得a 1+2a2+nan1【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 令 (x)=exf(x)，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得=ef()+f()，再由 f(a)=f(b)=1，得 =ef(77)+f()，从而=(ea+eb)ef()+f()，令 (x)=e2x，由微分中值定理，存在 (a，b) ，使得 =2e2即 2e2=(ea+eb)ef()+f()，或 2e2-=(ea+eb)f()+f()【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 令 x0=x1+(1-)x2，则 x0a，6，由泰勒公式得 f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x
12、0)+ (x-x0)2，其中 介于 x0 与 x 之间，因为 f(x)0，所以 f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)，于是两式相加，得fx1+(1-)x2f(x1)+(1-)f(x2)【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 令 f(x)=kx- +1，f(x)=k+ ，x (0，+) (1)若 k0，由=+，又 f(x)=k+ 0，所以原方程在(0，+)内恰有一个实根；(2)若 k=0，所以原方程也恰有一个实根；(3)若又 f(x)= 0，所以 f(x0)= 为 f(x)的最大值，令 ，得 k= ，所以 k 的取值范围是kk= 或 k0【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 因为 f
13、(x)在区间0，1上连续，所以 f(x)在区间0，1上取到最大值 M 和最小值 m，对 f(x)-f(0)=f(c)x(其中 c 介于 0 与 x 之间)两边积分得 01f(x)dx=01f(c)cdx， 由 mf(c)M 得 m0xdx0f(f)xdxM0xdx， 由 mf(c)M 得01xdx01f(c)xdxM01dx， 即 m201f(c)xdxM 或 m201f(c)dcM， 由介值定理，存在 0，1，使得 f()=201f(x)dx【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 由 得【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 令 (x)=exf(x)，则 (x)=exf(x)+f(x)，
14、 由f(x)+f(x)1得(x)e x，又由 f(x)有界得 (-)=0，则 (x)=(x)-(-)= -x(x)dx，两边取绝对值得 e x f(x) -x(x)dx -xexdx=ex，所以f(x)1【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 令 g(t)=lnt(t0)，g(t)= 00 ，再令 x0=01f(x)dx，则有 g(t)g(x0)+g(x0)(t-x0) gf(x)g(x0)+g(x0)f(x)-x0，两边积分，得 01lnf(x)dxln01f(x)dx【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 令 u=tx， v=ty，w=tz ，f(tx ，ty，tz)=t kf(x，y，z)，两边对 t 求导得 =ktk-41f(x，y，z)当 t=1时，有 =kf(x，y，z)【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 令 则原式因为所以原式【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 根据题意得令 y=p，则有 因为 p(0)=0，所以 C1=0，故 y=p= 进一步解得 +C2，因为 y(0)=2，所以 C2=0，故曲线方程为 y= +2【知识模块】 高等数学
