1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f“(x)连续，f(0)=0， =1，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是 y=f(x)的拐点（D）f(0)非极值，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点2 设 x2+y22ay(a0)，则 f(x，y)dxdy 在极坐标下的累次积分为( )（A） 0d02acosf(rcos，rsin)rdr（B） 0d02asinf(rcos， rsin)rdr（C） d02acosf(rcos，rsin)rdr（D） d0
2、2asinf(rcos， rsin)rdr3 设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y1=ex，y 2=2xex，y 3=3e-x，则该微分方程为( )（A）y“-y“-y+y=0（B） y“+y“-y-y=0（C） y“+2y“-y-2y=0（D）y“-2y“-y+2y=0二、填空题4 =_5 若 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a=_6 设 =_7 =_8 01xarctanxdx=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 10 11 12 讨论函数 f(x)= (x0)的连续性13 设 y= 求 y14 设对一切的 x，有 f(x+1)=2f(x)，且当 x0，1时 f(
3、x)=x(x2-1)，讨论函数 f(x)在x=0 处的可导性15 证明：当 0x1 时，(1+x)ln 2(1+x)216 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，在(a ，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：存在(a， b)，使得 f()+f()g()=017 求18 19 20 求20 设 L：y=e -x(x0)21 求由 y=e-x、x 轴、y 轴及 x=a(a0)所围成平面区域绕 x 轴一周而得的旋转体的体积 V(a)22 设 V(c)= ，求 C23 设 u= ，求 du24 设 y=y(x)， z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和 F(x，y， z)=0 所确定
4、的函数，其中 f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求25 求26 求微分方程 y“+4y+4y=0 的通解考研数学二（高等数学）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 =1 及 f“(x)的连续性，得 f“(0)=0，由极限的保号性，存在 0，当 0 0，从而 f“(x)0，于是 f(x)在(-，)内单调增加，再由 f(0)=0，得当 x(-，0) 时，f(x)0，x=0 为 f(x)的极小值点，选(B)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 B【试题解析】 令 其中 0，0r2asin，则 f
5、(x，y)dxdy=0d02asinf(rcos，rsin)rdr ，选(B)【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 A【试题解析】 由 y1=ex，y 2=2xex，y 3=3e-x 为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征 值为 1=2=1， 3=-1，其特征方程为(-1) 2(+1)=0，即 3-2-+1=0，所 求的微分方程为 y“-y“-y+y=0，选(A)【知识模块】 高等数学部分二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 2【试题解析】 因为f(x)在 x=0 处连续，所以 1+ =a，故 a=2【知识模块】 高等数学部分6 【正
6、确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 【试题解析】 注解求 n 项之积或和的极限常用方法有：(1)先计算其积或和，再计算其极限；(2)夹逼定理；(3)定积分【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 当 x(0，e) 时，f(x)= 当x=e 时，f(e)=1，当 xe 时， f(x)= 故f(x)= 因为
7、f(e-0)=f(e)=f(e+0)=1，所以 f(x)在 x0 处处连续【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 当 x-1，0时，f(x)= f(x+1)= (x+1)(x2+2x)，因为 f-(0)f+(0)，所以f(x)在 x=0 处不可导【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 令 f(x)=x2-(1+x)ln2(1+x)，f(0)=0f(x)=2x-ln 2(1+x)-2ln(1+x)，f(0)=0；f“(x)= 0(0x得 f(x)0(0x1)；再由 得 f(x)0(0 x1)，故当 0x1 时，(1+x)ln 2(1+x)
8、x 2【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 令 (x)=f(x)eg(x)， 由 f(a)=f(b)=0 得 (a)=(b)=0，则存在 (a，b)，使得 ()=0， 因为 (x)=eg(x)f(x)+f(x)g(x)且 eg(x)0，所以 f()+f()g()=0【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 V(a)= 0ae-2xdx= (1-e-2a)【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 由 V(c)=【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 z=xf(x+y)及 F(x，y，z)=0 两边对 x 求导数，得解得【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 特征方程为 2+4+4=0，特征值为 1=2=-2，则原方程的通解为y=(C1+C2x)e-2x【知识模块】 高等数学部分
