1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 63 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=a 处可导，且 f(a)0，则f(x)在 x=a 处( )（A）可导（B）不可导（C）不一定可导（D）不连续2 设 f(x)可导，则下列正确的是( )3 设函数 f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )（A） 0xtf(t)-f(-t)dt（B） 0xtf(t)+f(-t)dt（C） 0xf(t2)dt（D） 0xf2(t)dt4 对二元函数 z=f(x，y)，下列结论正确的是( )（A）z=f(x，y)可微的充分必要条件是 z=f(x，y)有
2、一阶连续的偏导数（B）若 z=f(x，y)可微，则 z=f(x，y)的偏导数连续（C）若 z=f(x，y)偏导数连续，则 z=f(x，y)一定可微（D）若 z=f(x，y)的偏导数不连续，则 z=f(z，y)一定不可微二、填空题5 =_.6 设 ，在 x=0 处连续，则 a=_7 设 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，f(0)=0，又在(-1，1)内 f(x)=x，则 =_.8 设xf(x)dx=arcsinc+c，则 =_.9 求 =_.10 计算 0 =_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求12 设 f(x)在0，1上有定义，且 exf(x)与 e-f(x)在0
3、，1上单调增加证明：f(x)在01 上连续13 求14 x=(y)是 y=f(x)的反函数，f(x) 可导，且 f(x)=ex2+x+1，f(0)=3，求 (3)15 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=0证明：存在 (a，b)使得f() f(b)-f(a)16 当 x0 时，证明：17 设 f(x)在0，2上三阶连续可导，且 f(0)=1，f(1)=0，f(2)= 证明：存在(0， 2)，使得 f()=218 -22(x2+3x+4)19 设 f(x)在a，b上连续且单调减少证明：当 0k1 时， 0kf(x)dxk01f(x)dx20 计算 1+ 21 求 z=x2+1
4、2xy+2y2 在区域 4x2+y225 上的最值22 设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 F(t)= f(x2+y2)dxdy(t0)求 F(0)23 设 f(x)为连续函数，计算 +yf(x2+y2)dxdy，其中 D 是由y=x2， y=1， x=-1 围成的区域24 利用变换 x=arctant 将方程 cos4x +cos2x(2-sin2x) +y=tanx 化为 y 关于 t 的方程，并求原方程的通解25 设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 ，又此曲线上的点(0，1) 处的切线方程为 y=x+1，求该曲线方程，并求函数 y(x)的极值考研数
5、学二（高等数学）模拟试卷 63 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 不妨设 f(a)0，因为 f(x)在 x=a 处可导，所以 f(x)在 x=a 处连续，于是存在 0，当x-a 时，有 f(x)0，于是=f(a)，即f(x)在 x=a 处可导，同理当 f(a)0 时，f(x)在 x=a 处也可导，选(A)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(x)=x，显然 ，(A) 不对，同理 =-，但 f(x)=1，(B)也不对；令 f(x)=x.2， f(x)=-，但f(x)=+，(D)不对；若 f(x)=+
6、，则对任意的 M0，存在 X00，当xX0 时，有 f(x)M ，于是当 xX0 时，f(x)=f(X 0)=f()(x-X0)，其中 (X0，x)，即 f(x)f(X0)+M(x-X0)，根据极限的保号性，有 f(x)=+，选(C)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 tf(t)-f(-t)为偶函数，所以 0xtf(t)-f(-t)dt 为奇函数，(A)不对； 因为 f(t2)为偶函数，所以 0xf(t2)dt 为奇函数，(C) 不对； 因为不确定 f2(t)的奇偶性，所以(D)不对；令 F(x)=0xtf(t)+f(-t)dt，F(-x)= 0-xtf(t)+f(-
7、t)dt=0x(-u)f(u)+f(-u)(-du)=F(x)，选(B)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 因为若函数 f(x，y)一阶连续可偏导，则 f(x，y)一定可微，反之则不对，所以若函数 f(x，y) 偏导数不连续不一定不可微，选(C)【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 ，因为函数f(x)在 x=0 处连续，所以 a=【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 因为在(-1，1)内 f(x)=x，所以在(-1，1) 内由 f(0)=0 得故【知识模块】 高等数学8 【正确答
8、案】 【试题解析】 由xf(x)dx=arcsinx+C 得【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 xarctanx- ln(1+x2)- (arctanx)2+C【试题解析】 arctanxdx=arctanxdx-arctanxd(arctanx)=xarctanx- (arctanx)2=xarctanx- ln(1+x2)-(arctanx)2+C【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 因为所以【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 对任意的 x00，1 ，因为 exf(x)与
9、 e-f(x)在0 ，1上单调增加，所以当 xx 0 时，有 故 f(x0)f(x)ex0-xf(x0)，令 xx 0-，由迫敛定理得 f(x0-0)=f(x0)；当 xx 0 时，有 故 ex0-xf(x0)f(x)f(x0)，令 xx 0+，由迫敛定理得 f(x0+0)=f(x0)，故 f(x0-0)=f(x0+0)=f(x0)，即 f(x)在x=x0 处连续，由 x0 的任意性得 f(x)在0，1上连续【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 因为=01exdx=e-1，所以【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 因为 ，而 f(0)=e，所以 (3)= f(x)=(2x+1)ex2+
10、x+1，f(0)=e，因为 所以【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 由泰勒公式得两式相减得 f(b)-f(a)= f(1)f( 2)，取绝对值得 f(b)-f(a) f( 1)+( 2)(1)当f( 1)f( 2)时，取 =1，则有f() f(b)-f(a)；(2)当f( 1)f( 2)时，取 =2，则有f() f(b)-f(a).【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 令 f(x)=arctanx，F(x)=ln(1+x)，f(x)= ，F(x)= 显然f(0)=0，F(0)=0由柯西中值定理，存在 (0，x)，使得令当 x时，f(x)0；当 x 时，f(x)0，则 x= 为(x)在
11、(0，+)内的最大值点，最大值为 所以【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 先作一个函数 P(x)=ax3+bx2+cx+d，使得 P(0)=f(0)=1，P(1)=f(1)=0，P(2)=f(2)= ，P(1)=f(1)则令 g(x)=f(x)-P(x)，则g(x)在0，2上三阶可导，且 g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在 c1(0，1)，c 2(1，2)，使得 g(c1)=g(1)=g(c2)=0，又存在 d1(c1，1)d 2(1，c 2)使得 g(d1)=g(d2)=0，再由罗尔定理，存在 (d1，d 2) (0，2)，使得 g()=0，而 g(x)=f(x)-2，所以 f
12、()=2【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 -22(x2+3x+4) =2(x-22+4)=202(x2+4) =202(x2+4) dx(2+2sint)2+4.2cost.2costdt= (2+2sint+sin2t).cos2tdt=16+sint.cos2tdt+ sin2t,cos2tdt=16- (1-cos2t).cos2tdt=18-【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 0kf(x)dx-k01f(x)dx=0kf(x)dx-k0kf(x)dx+k1f(x)dx=(1-k)0kf(x)dx-kk1f(x)dx=k(1-k)f(1)-f(2) 其中 0，k， k，1因
13、为 0k1 且 f(x)单调减少， 所以 0kf(x)dx-k01f(x)dx=k(1-k)f()-f()0，故 0kf(x)dxk01f(x)dx【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 当 4x2+y225 时，由 得驻点为(x，y)=(0，0) 当 4x2+y2=25 时，令 F=x2+12xy+2y2+(4x2+y2-25)，由因为z(0， 0)=0，z(2，3)=-50， ，所以目标函数的最大和最小值分别为 和 50【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 令 (02，0rt)，由 F(t)=02d0trf(r2)dr=20trf(r2)dr
14、=0t2f(u)du，得 F(t)=2tf(t2)，F(0)=0，F(0)=2f(0)=2【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 设 f(x)的一个原函数为 F(c)，则 +yf(x2+y2)dxdy=-11xdxx31 +yf(x2+y2)dy=-11xdx +-11xdxx31yf(x2+y2)dy=-11x(1-x3)dx+ -11xdxx31f(x2+y2)d(x2+y2)=-11x -11xF(x2+1)-F(x2+x6)dx=-01x4 sin4tcos2tdt=-2(I4-I6)=【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 代入整理得 的特征方程为 2+2+1=0，特征值为 1=2=-1，则 的通解为 y=(C1+C2t)e-t+t-2，故原方程通解为y=(C1+C2tanx)e-tanx+tanx-2【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 因为曲线是上凸的，所以 y0，由题设得令 y=p，y= =-(1+p2) arctanp=C1-x因为曲线 y=y(x)在点(0，1) 处的切线方程为 y=x+1，所以p x=0=1，从而 y=tan( -x)，积分得 y= +C2因为曲线过点(0，1)，所以 C2=1+ 所求曲线为因为 1，所以当 x= 时函数取得极大值 1+ .【知识模块】 高等数学
