1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 65 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=a 处二阶可导，则 等于( )（A）-f(a)（B） f(a)（C） 2f(a)（D） f(a)2 下列说法中正确的是( )（A）若 f(x0)0，则 f(x)在 x0 的邻域内单调减少（B）若 f(x)在 x0 取极大值，则当 x(x0-，x 0)时，f(x)单调增加，当 x(x0，x 0+)时，f(x)单调减少（C） f(x)在 x0 取极值，则 f(x)在 x0 连续（D）f(x)为偶函数，f(0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值3 若由曲线
2、曲线上某点处的切线以及 x=1，x=3 围成的平面区域的面积最小，则该切线是( ) 二、填空题4 (1)设 ，则 a=_(2)设 x-(a+bcosx)sinx 为 x 的 5 阶无穷小，则 a=_，b=_(3)设当 x0 时，f(x)= 0x2ln(1+t)dtg(x)=x a(ebx-1)，则 a=_，b=_5 设 在 x=0 处连续，则a=_，b=_6 设 f(x)在 x=a 的邻域内二阶可导且 f(a)0，则=_.7 求 =_.8 =_.9 设 f(x)=0xecostdt，求 0f(x)cosxdx=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 f(x)可导且 f
3、0)=6，且11 设 f(x)= ，求 f(x)的间断点并判断其类型12 已知 ，求 a，b 的值13 设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义，且满足 f(x)-2ex(x-1) 2，研究函数 f(x)在 x=1 处的可导性14 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶连续可导证明：存在 (a，b)，使得15 求由方程 x2+y2-xy=0 确定的函数在 x0 内的极值，并指出是极大值还是极小值16 设函数 y=f(x)二阶可导，f(x)0，且与 x=(y)互为反函数求 (y)17 0218 设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0，令 f(x)=M证明： 0af(x)
4、dx M19 证明： 0xasinxdx. ，其中 a0 为常数20 没 u=f(x， y，xyz)，函数 z=z(x，y)由 exyz=xyzh(xy+z-t)dt 确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求21 已知二元函数 f(x，y)满足 且f(x，y)=g(u，v)，若 =u2+v2，求 a，b22 计算 (x2+y2)dxdy，其中 D=(x，y)x 2+y24，x 2+y22x23 设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明：24 设二阶常系数线性微分方程 y+ay+by=cex 有特解 y=e2x+(1+x)ex确定常数a，b，c，并求该方程的通解25 细菌的增长率
5、与总数成正比如果培养的细菌总数在 24h 内由 100 增长到400，求前 12h 后的细菌总数考研数学二（高等数学）模拟试卷 65 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 选(D)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 当 (n) 时，f(x)= 0，则 f(x)在 x=0 的任意邻域内都不单调减少，(A) 不对； f(x)在 x=0 处取得极大值，但其在 x=0 的任一邻域内皆不单调，(B)不对；f(x)在 x=1 处取得极大值，但 f(x)在 x=1 处不连续，(C)不对；由 f(0)存在，得 f(0)存在
6、又 f(x)为偶函数，所以 f(0)=0，所以 x=0 一定为 f(x)的极值点，选(D)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 曲线 y= 在点 处的切线方程为由于切线位于曲线 的上方，所以由曲线 ，切线及 x=1，x=3 围成的面积为当 t(0，2)时，S(t) 0；当 t(2，3)时，S(t)0，则当 t=2 时， S(t)取最小值，此时切线方程为，选(A) 【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 ln2； ；3，【试题解析】 (1) =e3a，由 e3a=8，得a=ln2(2)x-(a+bcosx)sinx=x-asinx- sin2x=x-a(x- +o(
7、x5)-+o(x5)=(1-a-b)x+ x5+o(x5)，则 解得 a= ，b= (3)由再由 g(x)=xa(ebx-1)bx a+1 得 a=3，b=【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 -1，1【试题解析】 =a+4b，f(0)=3 ，因为 f(x)在x=0 处连续，所以 a+4b=3=2b+1，解得 a=-1，b=1【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 e -1-e【试题解析】 0f(x)cosxdx=0f(x)d(si
8、nx)=f(x)sinx 0-0f(x)sinxdx =-0ecosxsinxdx=e 0=e-1-e.【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 由 =0 得 f(0)=0，f(0)=0 ，=e3.【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 f(x)的间断点为 x=k(k=0，1，)及 x=k+ (k=0，1，)因为 ，所以 x=0 为 f(x)的可去间断点；因为，所以 x=k(k=1，2，)为 f(x)的第二类间断点；因为 (k=0，1，)为 f(x)的可去间断点【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 由 ln(1+ax)=ax- +o(x2
9、)，e bx=1+bx+ +o(x2)，cosx=1-+o(x2)得 ln(1+ax)-ebx+cos=(a-b)x- x2+o(x2)，于是由解得【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 把 x=1 代入不等式中，得 f(1)=2e当 x1 时，不等式两边同除以z-1，得【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 因为 f(x)在(a ，b)内二阶可导，所以有其中1 ， 2 两式相加得 f(a)+f(b)- f(1)+f(2)因为 f(x)在(a，b)内连续，所以 f(x)在 1， 2上连续，从而 f(x)在1， 2上取到最小值 m 和最大值 M，故 m M，由介值定理，存在 1， 2 故 f
10、a)+f(b)-f(1)+f(2)= f()【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 根据隐函数求导数法，得 y= 令 y= =0，得y=2x，再将 y=2x 代入原方程得 x= ，函数值为 y= y=，y=0 代入 y得 为函数的极大值点，且极大值为 y= .【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为倒数，所以 (y)= 于是【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 令 f(x)=，当 1x2 时，=x2，则 02 =01xdx+12xdx=【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)-f(0)=f()x，其中 介于 0 与
11、 x 之间，因为f(0)=0，所以f(x) =f()xMx ，x 0，a，从而 0af(x)dx 0af(x)dx 0aMxdx M【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 因为 0xasinxdx= 0asinxdx= acosxdx所以 0xasinxdx. a-cosxdx=acosxdx. a-cosxdx【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 zyzh(xy+z-t)dt zxyh(u)(-du)=xyzf(u)du，解得 =f1+yz+xy. f3，由对称性得 =f2+xz+xy.f3， =f1+xyz+x2y2. f3=yf2-xyz+x2y2. f3=xf1-yf2【知识模块
12、 高等数学21 【正确答案】 =(av2-bu2)+(au2-by2) =u2+v2，又=4，所以有(a+b)(v 2-u2)+4(au2-bv2)=u2+v2，于是【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 (x2+y2)dxdy= (x2+y2)dxdy- (x2+y2)dxdy 令(02，0r2)，而 (x2+y2)dxdy=02d02r3dr=8， (x2+y2)dxdy= d02cosr3dr= cos4d= 所以(x2+y2)dxdy=【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 等价于 01f2(x)dx01xf(x)dx01f(x)dx01xf2(x)dx，等价于 01f2(x)d
13、x01yf(y)dy01f(x)dx01yf2(y)dy，或者 01dx01yf(x)f(y)f(x)-f(y)ay0 令 I=01dx01yf(x)f(y)f(x)-f(y)dy，根据对称性，I= 01dx01xf(x)f(y)f(y)-f(x)dy，2I= 01dx01f(x)f(y)(y-x)f(x)-f(y)dy，因为 f(x)0 且单调减少，所以(y-x)f(x)-f(y)0，于是 2I0，或 I0，所以【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 将 y=e2x+(1+x)ex 代入原方程得(4+2a+b)e 2x+(3+2a+b)ex+(1+a+b)xex=cex，则有 解得 a=-3，b=2，c=-1，原方程为 y-3y+2y=-ex原方程的特征方程为 2-3+2=0，特征值为 1=1， 2=2，则 y-3y+2y=0 的通解为 y=C1ex+C2e2x，于是原方程的通解为 y=C1e2x+C2e2x+e2x+(1+x)ex【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 设 t 时刻细菌总数为 S，则有 =kS，S(0)=100，S(24)=400，S=Cekt，C=100，k= 所以 S= ，S(12)=100eln2=200【知识模块】 高等数学
