1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 67 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=0sinxsint2dt，g(x)=x 3+x4，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小2 设 f(x)连续可导，g(x) 连续，且 =0，又 f(x)=-2x2+01g(x-t)dt，则( )（A）x=0 为 f(x)的极大值点（B） x=0 为 f(x)的极小值点（C） (0，f(0)为 y=f(x)的拐点（D）x=0 既不是 f(x)极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点3
2、设 f(x)连续可导，g(x) 在 x=0 的邻域内连续，且 g(0)=1，f(x)=-sin2x+ 0xg(x-t)dt，则( )（A）x=0 为 f(x)的极大值点（B） x=0 为 f(x)的极小值点（C） (0，f(0)为 y=f(x)的拐点（D）x=0 非极值点，(0，f(0) 非 y=f(x)的拐点二、填空题4 =_.5 设 =_.6 求 =_.7 =_.8 01x4 =_.9 设 f(x)=0x ，则 0(x)dx=_10 微分方程 y-xe-y+ =0 的通解为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求12 设 f(x)= ，求 f(x)的间断点并指出其类型
3、13 确定 a，b ，使得 x-(a+bcosx)sinx 当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小14 设 求 y15 设 f(x)在-a，a(a 0)上有四阶连续的导数， 存在(1)写出 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式；(2)证明：存在 1， 2-a，a，使得16 设 f(x)=3x2+Ax-3(x0)A 为正常数，问 A 至少为多少时 f(x)20?17 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(1)=0证明：存在 (0，1)，使得18 设 f(x)连续，且 f(x)=20x(x-t)dt+ex，求 f(x)19 设 S(x)=0xcostdt (1)证明：当 nx(n+1)
4、时，2nS(x) 2(n+1) ；(2)求20 设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=0证明： ab(x)dx abf(x)2dx21 设 f(x)在a，b上连续，且对任意的 t0，1 及任意的 x1，x 2a，b满足： f(tx1+(1-t)x2)tf(x1)+(1-t)f(x2)证明：22 求二元函数 z=f(x，y)=x 2y(4-x-y)在由 z 轴、y 轴及 z+y=6 所围成的闭区域 D 上的最小值和最大值23 设 f(x，y)= 且 D：x 2+y22x求 f(x，y)dxdy.24 设函数 f(x)在0，+)内可导，f(0)=1，且 f(x)+f(x)- 0xf(t)d
5、t=0(1)求 f(x)；(2)证明：当 x0 时，e -xf(x)125 在 t=0 时，两只桶内各装 10L 的盐水，盐的浓度为 15gL，用管子以 2Lmin的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以 2Lmin 的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用 1Lmin 的速度输出求在任意时刻 t0。从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程26 设函数 f(x)二阶连续可导，f(0)=1 且有 f(x)+30xf(t)dt+2x01f(tx)dt+e-x=0，求f(x)考研数学二（高等数学）模拟试卷 67 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选
6、项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ，所以正确答案为(B)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 由 0xg(x-t)dt=0xg(t)dt 得 f(x)=-2x2+0xg(t)dt，f(x)=-4x+g(x)，因为=-40，所以存在 0，当 0x 时，0，即当 x(-，0)时，f(x)0；当 x(0，)时，f(x)0，故(0，f(0)为 y=f(x)的拐点，应选 (C)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 由 0xg(x-t)dt 0xg(u)du 得 f(x)=-sin2x+0xg(u)du，f(0)=0，因为所以 x=0 为 f(x)
7、的极大值点，应选 (A)【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 由得【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 ln3【试题解析】 -22 =ln(2+x2) 02=ln3【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 因为收敛，于是【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 2【试题解析】 0f(x)dx=0dx0x dt=0dtt dx=0sindt=2【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 x3+C)【试题解析】 由 y-xe-y+ =0，得 eyy-x+
8、ey=0，即 ey=x，令 z=ey，则x3+C)，所以原方程的通解为 ey= x3+C)【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 首先其次 f(x)的间断点为 x=k(k=0，1，)，因为 ，所以 x=0 为函数 f(x)的第一类间断点中的可去间断点，x=k(k=1，)为函数 f(x)的第二类间断点【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 令 y=x-(a+bcosx)sinxy=1+bsin 2x-(a+bcosx)cosx y=bsin2x+ sin2x+(a+bcosx)sinx=asinx+2
9、bsin2x，y=acosx+4bcos2x，显然y(0)=0，y(0)=0 ，所以令 y(0)=y(0)=0 得故当 a= 时，x-(a+bcosx)sinx 为阶数尽可能高的无穷小【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 当x1 时，y= 当 x1 时，y=1；当 x-1 时，y=-1；由 得 y 在 x=-1处不连续，故 y(-1)不存在；由由 得 y+(1)=1，因为 y-(1)y+(1)，所以 y 在x=1 处不可导，故【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 (1)由 存在，得 f(0)=0，f(0)=0，f(0)=0 ，则 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为 f(x)= x
10、4，其中 介于 0 与 x 之间(2)上式两边积分得 -aaf(x)dx= -aa()x4dx因为 f(4)(x)在-a，a 上为连续函数，所以 f(4)(x)在-a，a上取到最大值 M 和最小值 m，于是有 mx4f(4)()x4Mx4，两边在-a，a上积分得 a5-aaf(4)()x4dx a5，从而 -aa -a-af(x)dx 于是 m -aaf(c)dxM，根据介值定理，存在 1-a，a ，使得 f(4)(1)= -aaf(x)dx，或 a5f(4)()=60-aaf(x)dx.再由积分中值定理，存在 2-a，a，使得a5f(4)(1)=60-aaf(x)dx=120af(2)，即
11、a4f(4)(1)=120f(2)【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 f(x)20 等价于 A20x3-3x5，令 (x)=200x3-3x5，由 (x)=60x2-15x4=0，得 x=2，(x)=120x-60x 3，因为 (2)=-2400，所以 x=2 为 (x)的最大值点，最大值为 (2)=64，故 A 至少取 64 时，有 f(x)20【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 令 (x)=(x-1)2f(x)，显然 (x)在0，1上可导由 f(0)=f(1)=0，根据罗尔定理，存在 c(0， 1)，使得 f(c)=0，再由 (c)=(1)=0，根据罗尔定理，存在 (c，1)
12、(0，1)，使得 ()=0，而 (x)=2(x-1)f(x)+(x-1)2f(x)，所以 2(-1)f()+(-1)2f()=0，整理得 f()=【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 0x(x-t)dt x0f(u)(-du)=0xf(u)du，f(x)=2 0xf(u)du+ex 两边求导数得 f(x)-2f(x)=ex，则 f(x)=(ex.e-2dxdx+C)e-2dx=Ce2x-ex，因为 f(0)=1，所以C=2，故 f(x)=2e2x-ex【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 (1)当 nx(n+1)n 时， 0ncostdt 0xcostdt 0(n+1)costdt，
13、0ncostdt=n 0costdt= costdt=2n， 0(n+1)costdt=2(n+1)，则 2nS(x)2(n+1).(2)由 nx(n+1)，得从而 ，根据迫敛定理得【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 由 f(a)=0，得 f(x)-f(a)=f(x)=axf(t)dt，由柯西不等式得 f2(x)=(axf(t)dt)ax12dtaxf2(t)dt(x-a)abf2(x)dx 积分得 abf2(x)dxab(x-a)dx.abf2(x)dx= abf2(x)dx【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 因为 abf(x)dx =(b-a)01fta(1-t)bdt(b-a
14、)f(a)01tdt+f(b)01(1-t)dt=(b-a) 所以又 abf(x)dx所以【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 (1)求 f(x，y)在区域 D 的边界上的最值，在 L1：y=0(0x6) 上，z=0；在 L2： x=0(0y6)上，z=0；在 L3：y=6-x(0x6)上，z=-2x 2(6-x)=2x3-12x2，由 =6x2-24x=0 得 x=4，因为 f(0，6)=0，f(6，0)=0，f(4 ，2)=-64，所以 f(x，y)在 L1 上最小值为-64 ，最大值为 0(2) 在区域 D 内，由得驻点为(2，1)，因为 AC-B20 且 A0，所以(2，1)为 f
15、(x，y) 的极大值点，极大值为 f(2，1)=4，故z=f(x，y)在 D 上的最小值为 m=f(4，2)-64，最大值为 M=f(2，1)=4【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 令 D1=(x，y)1x2， yx，则 f(x，y)dxdy= x2ydxdy=12x2dx =12(x4-x3)dx=【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 (1)(x+1)f(x)+(x+1)f(x)- 0xf(t)dt=0，两边求导数，得(x+1)f(x)=-(x+2)f(x) f(x)= 再由 f(0)=1，f(0)+f(0)=0，得 f(0)=-1，所以 C=-1，于是f(x)= (2)当 x0
16、时，因为 f(x)0 且 f(0)=1，所以 f(x)f(0)=1令 g(x)=f(x)-e-x，g(0)=0，g(x)=f(x)+e -x= ex0，由e-x(x0)【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 设在任意时刻 t0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为 m1(t)m2(t)，在时间t，t+dt内有 dm1= ，且满足初始条件m1(0)=150，解得 m1(t)= ；在时间t，t+dt内有 dm2=，且满足初始条件 m2(0)=150【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 因为 x01f(tx)dt=0xf(u)du，所以 f(x)+30xf(t)dt+2x01(tx)dt+e-x=0 可化为 f(x)+30xf(t)dt+20xf(t)dt+e-x=0， 两边对 x 求导得 f(x)+3f(x)+2f(x)=e-x， 由2+3+2=0 得 1=-1， 2=-2， 则方程 f(x)+3f(x)+2f(x)=0 的通解为 C1e-x+C2e-2x 令 f(x)+3f(x)+2f(x)=e-x 的一个特解为 y0=axe-x，代入得 a=1， 则原方程的通解为f(x)=C1e-x+C2e-2x+xe-x 由 f(0)=1，f(0)=-1 得 C1=0，C 2=1，故原方程的解为 f(x)=e-2x+xe-x【知识模块】 高等数学
