1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 68 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=0xdt0ttln(1+u2)du，g(x)= 0sinx2(1-cost)dt，则当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价的无穷小2 设 f(x)在 x=a 处的左右导数都存在，则 f(x)在 x=a 处( )（A）一定可导（B）一定不可导（C）不一定连续（D）连续3 设 f(x)二阶连续可导，且 ，则( )（A）f(0)是 f(x)的极小值（B） f(0)是 f(x)的极大值（C） (0，f(0
2、)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 是 f(x)的驻点但不是极值点二、填空题4 设 f(x)连续，f(0)=0 ，f(0)=1，则 =_.5 设由方程 xef(y)=ey 确定 y 为 x 的函数，其中 f(x)二阶可导，且 f1，则=_.6 求 =_.7 =_.8 设连续非负函数 f(x)满足 f(x)f(-x)=1，则 =_.9 设 f(x)连续，则 =_.10 微分方程 yy-2(y)2=0 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求12 求函数 的反函数13 设 f(x)连续可导，14 设 且 f(0)存在，求 a，b，c15 设 f(x)在 x0 的邻
3、域内四阶可导，且f(x) (4)M(M0) 证明：对此邻域内任一异于 x0 的点 x，有f(x 0)- (x-x0)2，其中 x为 x关于 x0 的对称点16 设 f(x)在0，+)内二阶可导，f(0)=-2f(0)=1，f(x)0证明：f(x)=0 在(0，+) 内有且仅有一个根17 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内存在二阶导数，且 f(0)=0，f(1)=1，证明：对任意的 a0， b0，存在 ， (0，1)，使得 =a+b18 19 设 f(x)在0，+)上连续，非负，且以 T 为周期，证明：20 设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)=0证明： f(x)ab
4、f(x)dx(a xb)21 设 f(x)Ca，b，在(a ，b)内二阶可导，且 f(x)0，(x)是区间a ，b上的非负连续函数，且 ab(x)dx=1证明： abf(x)(c)dxfabx(x)dx22 设 讨论 f(x，y)在(0，0)处的连续性、可偏导性与可微性23 计算 ，其中 D=(x，y)-1x1，0y224 设 y=y(x)二阶可导，且 y0，x=x(y) 是 y=y(x)的反函数(1) 将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)= 的解25 某人的食量是 2500 卡天(1 卡=4186
5、8 焦) ，其中 1200 卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中，他所消耗的为 16 卡千克天乘以他的体重假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量 10000 卡，求该人体重怎样随时问变化26 早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午 2 点扫雪 2km，到下午 4 点又扫雪 1km，问降雪是什么时候开始的?考研数学二（高等数学）模拟试卷 68 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由m=6 且 x0 时，g(x) x6，故 x0 时，f(x) 是 g(x)的低阶无穷小，应选(A)
6、【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)在 x=a 处右可导，所以 存在，于是f(x)=f(a)，即 f(x)在 x=a 处右连续，同理由 f(x)在 x=a 处左可导，得 f(x)在 x=a处左连续，故 f(x)在 x=a 处连续，由于左右导数不一定相等，选(D) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)二阶连续可导，且 f(x)=0，即f(0)=0又 =-10，由极限的保号性，存在 0，当 0x 时，有 0，即当 x(-，0)时，f(x)0，当 x(0，)时，f(x)0，所以(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点，选(C)【知识
7、模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 0【试题解析】 当 x0 时， f2(x)， 0xlncos(x-t)dt=-0xlncos(x-t)d(x-t)d(x-t) -x0lncosudu=0xlncosudu，【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 方程 xef(y)=ey 两边对 x 求导，得 ef(y)+xef(y)f(y) 解得【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 0rtf(r2-t2)d
8、t= 0x(r2-t2)d(r2-t2)= 0r2f(u)du， cos(x+y)d=r2cos(+)，其中 2+2r2 原式【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 y=C 或者 =C1x+C2【试题解析】 令 y=p，得 y= ，代入原方程得， -2p2=0 或=0则 p=0，或 =0当 p=0 时，y=C；当=0 时，p=C 1 =C1y2，即 =C1y2由 =C1y2，得 =C1dx，从而 =C1x+C2，所以原方程的通解为 y=C 或者 =C1x+C2【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】
9、令 f(x)= 因为 f(-x)=-f(x)，所以函数为奇函数，于是即函数 的反函数为 x=shy【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 由 0xf(x-t)dt xxf(u)(-du)=0xf(u)du，x0 时，x-ln(1+x)=x-x- +o(x2) 得【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 c=0，即 f(x)=f-(0)= f+(0)=由 f(x)在 x=0 处可导，得 b=1，即 f(x)= 于是 f-(0)=f+(0)=由 f(0)存在，得 a= ，即 a=，b=1 ， c=0【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 由 f(x)f(
10、x0)+f(x0)(x-x0)+ (x-x0)2+ (x-x0)3+ (x-x0)4，f(x)=f(x 0)+f(x0)(x-x0)+ (x-x0)2+ (x-x0)3+ (x-x0)4，两式相加得 f(x)+f(x)-2f(x0)=f(x0)(x-x0)2+ f(4)(1)+f(4)(2)(x-x0)4，于是f(x 0)- f(4)(1)+f (4)(2)(x-x 0)2，再由f (4)(x)M ，得 f(x0)- (x-x0)2【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 因为 f(x)0，所以 f(x)单调不减，当 x0 时，f(x)f(0)=1当x0 时，f(x)-f(0)=f()c，从而
11、 f(x)f(0)+x，因为 f(0)+x=+，所以 f(x)=+由 f(x)在0 ，+)上连续，且 f(0)=-20，f(x)=+，则 f(x)=0 在(0，+)内至少有一个根，又由 f(x)10，得方程的根是唯一的【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上连续，f(0)=0，f(1)=1，且 f(0) f(1) ，所以由端点介值定理，存在 c(0，1)，使得 f(c)= 由微分中值定理，存在(0， c)， (c，1) ，使得整理得【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 因为 所以【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nT
12、x(n+1)T ，因为 f(x)0，所以 0nTf(t)dt0xf(t)dt0(n+1)Tf(t)dt，即 n0Tf(t)dt0xf(t)dt(n+1)0Tf(t)dt，由，得 注意到当 x+时，n+，且由迫敛定理得【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 因为 且 f(a)=f(b)=0，所以两式相加得f(x) abf(x) dx.【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 因为 f(x)0，所以有 f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0) 取 x0=abx(x)dx，因为 (x)0，所以以 a(x)x(x)b(x)，又 ab(x)dx=1，于是有 aabxqx(x)dx=x0b把 x0=a
13、bx(x)dx 代入 f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)中，再由 (x)0，得 f(x)(x)f(x0)(x)+f(x0)x(x)-x0(x)， 上述不等式两边再在区间a，b上积分，得 abf(x)(x)dxfabx(x)dx【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 0f(x，y)xy，因为 xy=0，由迫敛定理得f(x，y)=0=f(0，0)，即 f(x，y) 在(0，0)处连续由 得fx(0，0)=0，同理 fy(0，0)=0，即 f(x，y)在(0，0) 处可偏导令0 x，由迫敛定理得 =0，即f(x，y)在(0，0)处可微【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 令 D1=(x
14、，y)-1x1，0yx 2，D 2=(x，y)-1x1，x 2y2，【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 代入原方程得 y-y=sinx，特征方程为 r2-1=0，特征根为 r1,2=1，因为 i 不是特征值，所以设特解为y*=acosx+bsinx，代入方程得 a=0，b= ，故 y*= sinx，于是方程的通解为y=C1ex+C2e-x- sinx，由初始条件得 C1=1，C 2=-1，满足初始条件的特解为 y=ex-e-x-sinx【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 输入率为 2500 卡天，输出率为(1200+16w)，其中 w 为体重，根据题意得 ，w(0)=w 0，由，代入初始条件得 C=w0- 于是【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 设单位面积在单位时间内降雪量为 a，路宽为 b，扫雪速度为 c，路面上雪层厚度为 H(t)，扫雪车前进路程为 S(t)，降雪开始时间为 T，则 H(t)=a(t-T)，又 bH(t)s=ct，于是 ，且S(12)=0，S(14)=2，S(16)=3，由T2-26T+164=0，T=【知识模块】 高等数学
