1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 69 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设a n与(b n为两个数列，下列说法正确的是 ( )（A）若a n与b n都发散，则a nbn一定发散（B）若 an与b n都无界，则a nbn一定无界（C）若 an无界且 anbn=0，则 bn=0（D）若 an 为无穷大，且 anbn=0，则 bn 一定是无穷小2 f(x)g(x)在 x0 处可导，则下列说法正确的是 ( )（A）f(x)，g(x) 在 x0 处都可导（B） f(x)在 x0 处可导，g(x)在 x0 处不可导（C） f(x)在 x0 处不可导，g(x) 在
2、 x0 处可导（D）f(x)，g(x) 在 x0 处都可能不可导3 设函数 f(x)二阶连续可导且满足关系 f(x)+f2(x)=x，且 f(0)=0，则( )（A）f(0)是 f(x)的极小值（B） f(0)是 f(x)的极大值（C） (0，f(0)是 y=f(x)的拐点（D）(0 ，f(0) 不是 y=f(x)的拐点二、填空题4 设 f(x)连续，且 f(1)=1，则 =_.5 设 y=y(x)由 yexy+xcosx-1=0 确定，求 dy x=0=_6 求 =_.7 =_.8 I(x)=0x 在区间-1，1上的最大值为_9 设 f(x，y)在区域 D：x 2y2t2 上连续且 f(0，
3、0)=4 ，则 =_.10 微分方程 xy= +y(x0)的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求12 求极限13 求14 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，f(0)=0， =1，f(1)=0证明：(1)存在 ，使得 f()=；(2) 对任意的 k(-，+)，存在 (0，)，使得f()-kf()-=115 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，在(a ，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f +(a)f-(b)0，且 g(x)0(xa，6)，g(x)0(axb)，证明：存在 (a，b)，使得16 设 fn(x)=x+x2+xn(n2)(1)证
4、明方程 fn(x)=1 有唯一的正根 xn；(2)求 xn.17 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)=0， abf(x)dx=0证明： (1)存在 c(a，b)，使得 f(c)=0； (2)存在 i(a，b)(i=1，2)，且 12，使得 f(i)+f(i)=0(i=1，2)； (3)存在 (a，b)，使得 f()=f()； (4)存在 (a，b)，使得 f()-3f()+2f()=018 19 设 f(x)在0，1上连续， f(0)=0， 01f(x)dx=0证明：存在 (0，1)，使得 0(x)dx=f()20 设 f(x)在a，b上连续可导，证明：
5、abf(x)dx +abf(x)dx21 令 f(x)=x-x，求极限22 设 (1)f(x，y)在点(0，0) 处是否连续?(2)f(x ，y)在点(0，0)处是否可微?23 计算 ，2(x 2+y2)dxdy24 设函数 f(x，y)可微，=ecoty，求 f(x，y)25 一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 18m，运动开始时链条一边下垂 8m，另一边下垂 10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?26 设 A 从原点出发，以固定速度 v0 沿 y 轴正向行驶， B 从(x 0，0)出发(x 00)，以始终指向点 A 的固定速度 v1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程考研数学二（高
6、等数学）模拟试卷 69 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 an=2+(-1)n，b n=2-(-1)n，显然a n与b n都发散，但anbn=3，显然a nbn收敛；(B)、(C) 都不对，如 an=n1+(-1)n，b n=n1-(-1)n，显然an与b n都无界，但 anbn=0，显然a nbn有界且 bn0；正确答案为(D) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)= 显然 f(x)，g(x)在每点都不连续，当然也不可导，但 f(x)g(x)-1 在任何一点都可导，选(D
7、)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(0)=0 得 f(0)=0，f(x)=1-2f(x)f(x) ，f(0)=10，由极限保号性，存在 0，当 0x 时，f(x)0，再由 f(0)=0，得故(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点，选(C)【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 -2dx【试题解析】 当 x=0 时，y=1，将 yexy+xcosx-1=0 两边对 x 求导得 exy+cosx-xsinx=0，将 x=0， y=1 代入上式得 =-2，故dy x=0=-2dx【知识模块】 高等数学6
8、【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 4-【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 ln3【试题解析】 令 I(x)= 时，I(x)0，当 x 时，I(x) 0，所以 x= 为 I(x)在-1，1上的最小值点，又 I(1)=01 =ln(u2-u+1) 01=0，I(-1)= 0-1 =ln(u2-u+1) -10=-(0-ln3)=ln3，故 I(x)在-1，1上的最大值为 ln3【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 8【试题解析】 由当 t0 时，t-ln(1+t)=t-t- +o(t2) t2(t0) ，由积分中值定理得 f(x，y)dxdy=
9、f(，).t 2，其中( ，) D，于是=2f(0，0)=8 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 lnx+C【试题解析】 所以【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 因为 01(1-u)sinxudu= sinx， 12(u-1)sinxudu= 所以原式【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 (1)令 (x)=f(x)=x，(x)在0，1上连续， ，(1)=-10，由零点定理，存在 ，使得 ()=0，即 f()=(2)设 F(x)=e-kx(x)，显
10、然 F(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且 F(0)=F()=0，由罗尔定理，存在 (0，)，使得 F()=0，整理得 f()-kf()-=1【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 设 f+(a)0，f -(b)0，由 f+(a) 0，存在 x1(a，b)，使得 f(x1)f(a)=0；由 f-(b)0，存在 x2(a，b) ，使得 f(2) f(b)=0，因为 f(x1)f(x2)0，所以由零点定理，存在 c(a，b)，使得 f(c)=0令 h(x)= ，显然 h(x)在a ，b上连续，由 h(a)=h(c)=h(b)=0，存在 1(a，c)， 2(c，b)，使得 h(1)=h(2)=
11、0，而令 (x)=f(x)g(x)-f(c)g(x)，( 1)=(2)=0，由罗尔定理，存在 (1， 2) (a，b)，使得 ()=0，而 (x)=f(x)g(x)-f(c)g(x)，所以【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 (1)令 n(x)=f(x)-1，因为 n(0)=-10， n(1)=n-10，所以 n(x)在(0，1) (0，+)内有一个零点，即方程 fn(x)=1 在(0，+)内有一个根因为 n(x)=1+2x+nxn-10，所以 n(x)在(0，+)内单调增加，所以 n(x)在(0，+)内的零点唯一，所以方程 f(x)=1 在(0，+)内有唯一正根，记为 xn，(2)由 f
12、n(xn)-fn-1(xn-1)=0，得 (xn-xn-1)+(xn2-xn-12)+(xnn-xn+1n)=xn+1n+10，从而 xnx n-1，所以x nn-1 单调减少，又 xn0(n=1，2，) ，故 xn 存在，设 xn=A，显然 Axnx1=-1，由xn+xn2+xnn=1，得 =1，两边求极限得 =1，解得 A=【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 (1)令 F(x)=axf(t)dt，则 F(x)在a， b上连续，在(a ，b) 内可导，且F(x)=f(x)故存在 c(a，b)，使得 abf(x)dx=F(b)=F(a)=F(c)(b-a)=f(c)(b-a)=0，即 f
13、(c)=0(2)令 h(x)=exf(x)，因为 h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在 1(a，c)，2(c， b)，使得 h(1)=h(2)=0，而 h(x)=exf(x)+f(x)且 ex0，所以 f(i)+f(i)=0(i=1，2)(3)令 (x)=e-xf(x)+f(x)，( 1)=(2)=0，由罗尔定理，存在 (1， 2)(a，b)，使得 ()=0，而 (x)=e-xf(x)-f(x)且 e-x0，所以 f()=f()(4)令 g(x)=e-xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0，由罗尔定理，存在 1(a，c)， 2(c，b)，使得 g(1)=g(2)=0，而
14、 g(x)=e-xf(x)-f(x)且 e-x0，所以 f(1)-f(1)=0，f( 2)-f(2)=0令 (x)=e-2xf(x)-f(x)，( 1)=(2)=0，由罗尔定理，存在 (1， 2) (a，b)，使得 ()=0，而 (x)=e-2xf(x)-3f(x)+2f(x)且 e-2x0，所以 f()-3f()+2f()=0【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 d(x2lnx)=lnx 2lnx +C【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 令 ，因为 f(x)在0，1上连续，所以 (x)在0，1上连续，在(0，1) 内可导，又 (0)=0，(1)= 01f(x)dx=0，由罗尔定理，
15、存在 (0，1)，使得 ()=0，而 (x)= ，所以0f(x)dx=f()【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上连续，所以f(x)在a，b上连续，令f(c)= f(x)根据积分中值定理， abf(x)dx=f()，其中a， b由积分基本定理，f(c)=f()+f(x)dx，取绝对值得f(c) f()+ cf(x)dxf()+ abf(x)dx，即【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 因为x+m=x+m( 其中 m 为整数)，所以 f(x)=x-x是以 1 为周期的函数，又xx，故 f(x)0，且 f(x)在0，1上的表达式为 f(x)=对充分大的 x，存在自
16、然数 n，使得 nxn+1，则 0nf(x)dx0xf(x)dx0n+1f(x)dx，而 0nf(x)dx=n01f(x)dx=n01xdx= ，同理 0n+1f(x)dx=所以 ，得显然当 x+时，n+ ，由迫敛定理得【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 (1)因为 0f(x，y) f(x，y)=0=f(0 ，0)，故 f(x，y)在点(00)处连续。 (2)f(x，y)=f(x ，y)-f(0，0)=fx(0，0)=0因为，所以 f(x， y)在点(0，0)处不可微【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 令 =2(x2+y2)，解得 x2+y2= ，则，2(x 2+y2)dxdy【知
17、识模块】 高等数学24 【正确答案】 由解得 f(0，y)=Csiny由 =1，得 C=1，即 f(0，y)=siny又由 =-f(x，y)，得 lnf(x，y)=-x+ln(y) ，即 f(x，y)=(y)e -x，由 f(0，y)=siny，得 (y)=siny，所以f(x，y)=e -xsiny【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 设链条的线密度为 ，取 x 轴正向为垂直向下，设 t 时刻链条下垂 x(t)m，则下垂那段的长度为(10+x)m，另一段长度为(8-x)m，此时链条受到的重力为(10+x)g-(8-x)g=2(x+1)g链条的总重量为 18，由牛顿第二定律 F=ma 得且 x(0)=0，x(0)=0，解得 x(t)=，当链条滑过整个钉子时，x=8，由【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 设 t 时刻 B 点的位置为 M(x，y)，则 ，即x =y-v0t 两边对 x求导，得 ，代入(*)，得令 y=p，由两边积分，得，由 y(x0)=0，得 c0=x0k，从而 当k1 时， 由 y(x0)=0，得 c1=，则 B 的轨迹方程为当 k=1 时，B 的轨迹方程为【知识模块】 高等数学
