1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在0，a上连续，在(0，a) 内二阶可导，且 f(0)=0，f“(x) 在(0，a上( )（A）单调增加（B）单调减少（C）恒等于零（D）非单调函数2 设 f(x)为可导函数，F(x) 为其原函数，则( )（A）若 f(x)是周期函数，则 F(x)也是周期函数（B）若 f(x)是单调函数，则 F(x)也是单调函数（C）若 f(x)是偶函数，则 F(x)是奇函数（D）若 f(x)是奇函数，则 F(x)是偶函数3 极坐标下的累次积分 d02cosf(rcos，rsin)
2、rdr 等于( )4 设 1(x)， 2(x)为一阶非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( ) （A）C 1(x)+2(x)（B） C1(x)-2(x)（C） C1(x)-2(x)+2(x)（D） 1(x)-2(x)+C2(x)二、填空题5 =_6 设 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a=_7 设曲线 y=lnx 与 y=k 相切，则公共切线为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 求9 10 11 设 f(x)= ，求 f(x)的间断点并判断其类型12 设 y= ，求 y13 设 f(x)= 求 f(x)并讨论其连续性14 证
3、明：对任意的 x，yR 且 xy，有14 设 f(x)在0，3上连续，在 (0，3)内二阶可导，且 2f(0)=02f(t)dt=f(2)+f(3)证明：15 1， 2(0， 3)，使得 f(10)=f(2)=016 存在 (0，3)，使得 f“()-2f()=017 18 19 0ncosxdx20 求20 设 y=f(x)为区间0，1上的非负连续函数21 证明存在 c(0，1) ，使得在区间0，c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c，1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；22 设 f(x)在(0，1)内可导，且 f(x)- ，证明 (1)中的 c 是唯一的23 设 z=yf(x2-
4、y2)，其中 f 可导，证明：24 设 y=f(x， t)，其中 t 是由 g(x，y，t)=0 确定的 x，y 的函数，且 f(x，t)，g(x，y ，t) 一阶连续可偏导，求25 求26 求微分方程 y“-y+2y=0 的通解考研数学二（高等数学）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 令 h(z)=xf(x)-f(x)，h(0)=0，h(x)=xf“(x)得，h(x)上为单调减函数，选(B)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)=cosx-2，F(x)=sinx-2x+C ，
5、显然 f(x)为周期函数，但 F(x)为非周期函数，(A) 不对；令 f(x)=2x，F(x)=x 2+C，显然 f(x)为单调增函数，但 F(x)为非单调函数，(B)不对；令 f(x)=x2，F(x)= x3+2，显然 f(x)为偶函数，但 F(x)为非奇非偶函数，(C) 不对；若 f(x)为奇函数，F(x)= axf(t)dt，因为 F(-x)=a-xf(t)dt -axf(-u)(-du)=-axf(u)du=-aaf(u)du+axf(u)du=axf(u)du=F(x)，所以 F(x)为偶函数，选(D)【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 D【试题解析】 累次积分所对应的二重积
6、分的积分区域为 D：x 2+y22x(y0)，则D=(x，y)0x2，0y ，选(D)【知识模块】 高等数学部分4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1(x)， 2(x)为方程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以1(x)-2(x)为方程 y+P(x)y=0 的一个解，于是方程 y+P(x)y=Q(x)的通解为 C1(x)-2(x)+2(x)，选(C)【知识模块】 高等数学部分二、填空题5 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 【试题解析】 因为所以 a=e-1【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 y= x+1【试题解析】 设当 x=a 时
7、，两条曲线相切，由 得 a=e2两条曲线的公共切线为 y-lne2= (x-e2)，整理得切线为 y= x+1【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 因为 f(x)为初等函数，所以 f(x)的间断点为 x=0 和 x=1因为x0 时，1- -x，所以 =-1，即 x=0 为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点；因为 f(1-0)= ，所以x=1 为 f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点【知识模块】 高等数
8、学部分12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 当 x0 时，f(x)= ，当 x-(0)= =1，f +(0)=1，得 f(0)=1，则 容易验证=1=f(0)，所以 f(x)连续【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 令 f(t)=et，因为 f“(t)=et0，所以函数 f(t)=et 为凹函数，根据凹函数的定义，对任意的 x，yR 且 xy，有【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)f(t)dt，F(x)=f(x)， 02f(t)dt=F(2)-F(0)=F(c)(2-0)=2f(c)，其中 0 M
9、，由介值定理，存在 x02，3，使得 f(x0)= ，即 f(2)+f(3)=2f(x0)，于是 f(0)=f(c)=f(x0)，由罗尔定理，存在 1(0，c) (0，3)，2(c， x0) (0，3)，使得 f(1)=f(2)=0【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 令 (x)=e-2xf(x)，( 1)=(2)=0，由罗尔定理，存在 (1， 2)(0， 3)，使得 ()=0，而 (x)=e-2xf“(x)-2f(x)且 e-2x0，故 f“()-2f()=0【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分19 【
10、正确答案】 0ncosxdx=n 0cosxdx= cosxdx= cosxdx=2n【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 因为 ln(x+ )为奇函数，所以【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 S 1(c)=cf(c)，S 2(c)=c1f(t)dt=-1cf(t)dt，即证明 S1(c)=S2(c)，或 cf(c)+1cf(t)dt=0令 (x)=x1xf(t)dt，(0)=(1)=0，根据罗尔定理，存在 c(0，1)，使得(c)=0，即 cf(c)+1cf(t)dt=0，所以 S1(c)=S2(c)，命题得证【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 令 h(x)=xf(x)-x1f(t)dt，因为 h(x)=2f(x)+xf(x)0，所以 h(x)在01上为单调函数，所以(1)中的 c 是唯一的【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 将 y=f(x，t)与 g(x，y，t)=0 两边对 x 求导得解得【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 由对称性得【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 特征方程为 2-+2=0，特征值为 12 = 则原方程的通解为y=【知识模块】 高等数学部分
