1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)可导，则当x0 时，y-dy 是 x 的( )（A）高阶无穷小（B）等价无穷小（C）同阶无穷小（D）低阶无穷小2 设 f(x)dx=x2+C，则xf(1-x 2)dx 等于( ) （A） (1-x2)2+C（B） (1-x2)2+C（C） 2(1-x2)2+C（D）-2(1-x 2)2+C3 设区域 D 由 x=0，y=0 ，x+y= ，x+y=1 围成，若 I1= ln(x+y)3dxdy，I 2= (x+y)3dxdy，I 3= sin3(x+y)dxdy，则( )
2、（A）I 1I 2 I3（B） I2I 3I 1（C） I1I 2I 3（D）I 2I 3 I14 设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x2-1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解，则 y(x)dx 为( )（A）-ln3（B） ln3（C） ln3（D）12ln3二、填空题5 =_6 设 f(x)连续可导，f(0)=0 且 f(0)=b，若 F(x)= 在 x=0 处连续，则 A=_7 曲线 在点(0，1)处的法线方程为_8 设 f(x，y)满足 =2，f(x，0)=1，f y(x，0)=x，则 f(x，y)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求10 11
3、 求12 设 f(x)= ，求 f(x)的间断点，并分类13 设 f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)(x+100)，求 f(0)14 设 =0xcos(x-t)2dt 确定 y 为 x 的函数，求15 设 ba0，证明：15 设 f(x)在1，2上连续，在 (1，2)内可导，且 f(x)0(1 存在，证明：16 存在 (1，2)，使得17 存在 (1，2)，使得 12f(t)dt=(-1)f()ln218 求19 20 0nxcosxdx21 求22 求由圆 x2+y2=2y 与抛物线 y=x2 所围成的平面图形的面积23 设 z= ，其中 f，g 二阶可导，证明：24 设 且 F 可
4、微，证明： =z-xy25 计算 sinx2cosy2dxdy，其中 D：x 2+y2a2(x0， y0)26 设二阶常系数齐次线性微分方程以 y1=e2x，y 2=2e-x-3e2x 为特解，求该微分方程考研数学二（高等数学）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)可导，所以 f(x)可微分，即y=dy+o(x)，所以y-dy 是x 的高阶无穷小，选(A)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 B【试题解析】 xf(1-x 2)dx= f(1-x2)d(1-x2)= (1-x2)2+C，选(B)
5、【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 B【试题解析】 由 x+y1 得ln(x+y) 30，于是 I1= ln(x+y)3dxdy0；当 x+y1 时，由(x+y) 3sin3(x+y)0 得 I2I30，故 I2I3I1，应选(B)【知识模块】 高等数学部分4 【正确答案】 D【试题解析】 由 2xydx+(x2-1)dy=0 得 =0，积分得 ln(x2-1)+lny=lnC，从而 y= 由 y(0)=1 得 C=-1，于是 y= 故，选(D)【知识模块】 高等数学部分二、填空题5 【正确答案】 4【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 a+b【试题解析】 因为 F
6、(x)在 x=0 处连续，所以 A=a+b【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 y=-2x+1【试题解析】 在点(0，1)处 t=0， ，则对应点处法线的斜率为-2，所以法线方程为 y-1=-2(x-0)，即 y=-2x+1【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 y 2+xy+1【试题解析】 =2y+1(x)，因为 fy(x，0)=x ，所以 1(x)=x，即=2y+x，再由 =2y+x 得 f(x，y)=y 2+xy+2(x)，因为 f(x，0)=1 ，所以 2(x)=1，故 f(x，y)=y 2+xy+1【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
7、9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 显然 x=0、x=1 为 f(x)的间断点因为 f(0-0)f(0+0)，所以 x=0 为f(x)的跳跃间断点 因为 f(1-0)f(1+0)，所以 x=1 为f(x)的跳跃间断点【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 由 f(x)=(x-1)(x+2)(x+100)+x(x+2)(x+100)+x(x-1)(x-99)得 f(0)=(-1)2(-3)100=100！【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 0xcos(x-t)2
8、dt x0cosu2(-du)=0xcost2dt 等式 =0xcost2dt 两边对 x 求导，得 =cosx2 于是【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 (a+b)(lnb-lha)-2(b-a)0令 (x)=(a+x)(lnx-lna)-2(x-a)，(a)=0 ，(x)=lnx-lna+ -1，(a)=0，“(x)= 0(xa)由(x)0(xa)，再由 (x)0(xa) (b)0，原不等式得证【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 令 h(x)=lnx，F(x)= 1xf(x)dt，且 F(x)=f(x)0，由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得
9、【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 由 得 f(1)=0，由拉格朗日中值定理得 f()=f()-f(1)=f()(-1)，其中 112f(t)dt=(=1)fln2【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 0ncosx dx= 0xcosxdx+ 2xcosx dx+ (n-1)nxcosx dx， 0xcosxdx= 0cosx dx= cosxdx=， 02xcosxdx0(t+)costdt= 0tcost dt+ 0costdt=+2=3 23xcosxdx 0(t+2)costd
10、t= 0tcost dt+2 0costdt=5，则0nxcosxdx=+3+(2n-1)=n 2【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 由 所围成的面积为【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 两边对 x 求偏导得【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 由对称性得 I= sinx2cosy2dxdy siny2cosx2dxdy【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 因为 y1=e2x，y 2=2e-x-3e2x 为特解，所以 e2x，e -x 也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为 1=-1， 2=2，特征方程为(+1)(-2)=0 即 2-2=0，所求的微分方程为 y“-y-2y=0【知识模块】 高等数学部分
