1、考研数学（数学一）模拟试卷 379 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 x0，若 f(x)在 x=0 处可导且导数不为零，则k 为( )（A）3（B） 4（C） 5（D）62 曲线 的渐近线条数为( )（A）3（B） 2（C） 1（D）03 设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x2 一 1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解，则为( ) （A）一 ln3（B） ln3（C）（D）4 设 f(x，y)在(0，0)处连续，且 ，则( ) （A）f(x，y)在(0，0)处不可偏导（B） f(x，y)在(0，0)处可偏导但不可微（C） fx(
2、0， 0)=fy(0，0)=4 且 f(x，y)在(0，0)处可微分（D）f x(0，0)=f y(0，0)=0 且 f(x，y)在(0 ，0)处可微分5 设 A 为三阶矩阵，其特征值为 1=2=1， 3=2，其对应的线性无关的特征向量为1， 2， 3，令 P=(1 一 2，2 1+2，4 3)，则 P-1AP=( )6 设 ， 为四维非零的正交向量，且 A=T，则 A 的线性无关的特征向量个数为( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个7 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=02F 1(x)+08F 1(2x)，其中 F1(y)是服从参数为1 的指数分布的随机变量的分布函
3、数，则 D(X)为( )（A）036（B） 0.44（C） 0.64（D）18 学生考试成绩服从正态分布 N(，3 2)，任取 36 个学生的成绩，平均成绩为 60，则 的置信度为 095 的置信区间为 ( )二、填空题9 10 设函数 y=y(x)由 xy=0xy dt 确定，则11 12 y“一 2y一 3y=e-x 的通解为_13 设 A 为三阶实对称矩阵， 1=(m,-m,1)T 是方程组 AX=0 的解， 2=(m，1，1 一m)T 是方程组 (A+E)X=0 的解，则 m=_14 设总体 XN(0, 2)，且 X1，X 2，X 16 为来自总体 X 的简单随机样本，则统计量三、解答
4、题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内三阶可导，且 f(1)=1，f(2)=6证明：存在 (0，2)，使得 f“()=916 设 u=f(x2+y2，xz)，z=z(x ，y) 由 ex+ey=ez 确定，其中 f 二阶连续可偏导，求：17 椭球面 1 是椭圆 L： 绕 x 轴旋转而成，圆锥面 2 是由过点(4，0)且与椭圆 L: 相切的直线绕 x 轴旋转而成()求 1 及 2 的方程；()求位于 1 及 2 之间的立体体积18 设 ()用变换 x=t2 将原方程化为 y 关于 t 的微分方程；() 求原方程的通解19 计算曲面积分 ，其中
5、是曲面 2x2+2y2+z2=4 的外侧20 设矩阵 A 满足 A(E-C-1B)TCT=E+A，其中, 求矩阵 A21 设 可对角化()求常数 a；()求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵22 设随机变量 X 的分布律为 PX=k=p(1 一 p)k-1(k=1，2，)，Y 在 1k 之间等可能取值，求 PY=323 设 X1，X 2，X n(n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i=Xi 一(i=1，2，n)求( )D(Y i)(i=1，2，n)；()Cov(Y 1，Y n)；()PY1+Yn0考研数学（数学一）模拟试卷 379 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只
6、有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在x=0 处可导，所以 k-2=3，即 k=5，选(C)2 【正确答案】 A【试题解析】 3 【正确答案】 D【试题解析】 令 P(x，y)=2xy，Q(x，y)=x 2 一 1，因为 所以2xydx+(x2 一 1)dy=0 为全微分方程由 2xydx+(x2 一 1)dy=0，得 2xydx+x2dydy=0，整理得 d(x2yy)=0，通解为 x2y 一 y=C由初始条件 y(0)=1 得 C=一 1，从而特解为 y(x)= ，于是 应选 D4 【正确答案】 D【试题解析】 由 得 f(0，0)=1，因为 一 1x
7、2+y2，所以其中 为当(x，y)(0，0)时的无穷小，于是f=f(x，y)一 f(0，0)=0x+0y+ ，故 f(x，y)在(0，0)处可微，且 fx(0，0)=f y(0，0)=0，选 D5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 1， 2 为 1=2=1 对应的线性无关的特征向量，所以 1 一2， 21+2 仍为 1=2=1 对应的线性无关的特征向量，又 43 显然是 3=2 对应的线性无关的特征向量，故 P-1AP= 应选 B6 【正确答案】 C【试题解析】 令 AX=X，则 A2X=2X，因为 ， 正交，所以T=T=0，A 2=T.T=O，于是 2X=0，故 1=2=3=4=0，因为
8、， 为非零向量，所以 A 为非零矩阵，故 r(A)1；又 r(A)=r(T)r()=1，所以 r(A)=1因为4 一 r(OEA)=4 一 r(A)=3，所以 A 的线性无关的特征向量是 3 个，选(C)7 【正确答案】 B【试题解析】 设 X1E(1)，其密度函数为 f1(x)= 其分布函数为 F1(x)= 且 E(X1)=D(X)=1，则 E(X12)=D(X1)+E(X1)2=2.由 E(x)=-+xf(x)dx=一 02 -+xf1(x)dx+16 -+xf1(2x)dx =02E(X 1)+04 -+2xf1(2x)d(2x)=02E(X 1)+04E(X 1)=06，E(X 2)=
9、-+x2f(x)dx=02 -+x2f1(x)dx+16 -+x2f1(2x)dx=02E(X 12)+02 -+(2x)2f1(2x)d(2x)=02E(X 12)+02E(X 12)=08，得 D(X)=E(X2)一E(X) 2=08036=0 44，选 B8 【正确答案】 C【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 2【试题解析】 10 【正确答案】 一 2【试题解析】 x=0 代入，得 y=011 【正确答案】 【试题解析】 因为 为奇函数，所以12 【正确答案】 【试题解析】 特征方程为 2 一 23=0，特征值为 1=一 1， 2=3，则方程 y”一2y一 3y=0 的通解为 y=
10、C1ex+C2e3x 令原方程的特解为 y0(x)=Axe-x，代入原方程得 A= ，于是原方程的通解为13 【正确答案】 1【试题解析】 由 AX=0 有非零解得 r(A)3，从而 =0为 A 的特征值， 1=(m，一m，1) T 为其对应的特征向量；由(A+E)X=0 有非零解得 r(A+E)3，A+E =0，=-1 为 A 的另一个特征值，其对应的特征向量为2=(m，1，1 一 m)T，因为 A 为实对称矩阵，所以 A 的不同特征值对应的特征向量正交，于是有 m=114 【正确答案】 t(5)【试题解析】 因为 XiN(0， 2)(i=1，2，10)，所以 (一 1)iXiN(0，10
11、2)，三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由 得 f(0)=0，f(0)=2作多项式 P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D，使得 P(0)=0，P(0)=2 ，P(1)=1 ，P(2)=6，则 (x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，且(0)= (1)=(2)=0，因此 (x)在0 ，1和1，2上都满足罗尔定理的条件，则存在1(0， 1)， 2(1，2)，使得 (1)=(2)=0又 (0)=0，由罗尔定理，存在1(0， 1)， 2(1,2)，使得 “(1)=“(2)=0，再由罗尔定理，存在 (1， 2)(0， 2)，使得 “()=0而 “(x)=f“(x)一
12、9，所以 f“()=916 【正确答案】 由 ex+ey=ez 得17 【正确答案】 () 1： 设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线方程为 ，因为切线经过点(4，0)，所以 x0=1， 切线方程为 则 2：(x 一 4)2=4(y2+z2)() 1 及 2 围成的几何体在 yOz 平面上的投影为 Dyz： 则18 【正确答案】 19 【正确答案】 令 0：x 2+y2+z2=1，取外侧，由及 0 构成的几何体为 ，20 【正确答案】 由 A(E-C1B)TCT=E+A 得 AC(EC-1B)T=E+A，即 E+A=A(CB)T， E=A(CB)一 ET，21 【正确答案】 () 由|E 一 A|= =( 一 1)2=0 得1=2=1， 3=0因为 A 可对角化，所以 r(EA)=1，()将 =1 代入(E-A)X=0 中得(E-A)X=0，由 EA 得 =1 对应的线性无关的特征向量为 1= ,2= 将 =0 代入(E-A)X=0 得 AX=0，由得 =0 对应的线性无关的特征向量为取 则 P-1AP=22 【正确答案】 令 Ak=X=k(k=1，2，)，B=Y=3)，P(B|A 1)=P(B|A2)=0，由全概率公式得23 【正确答案】 因为 X1，X 2，X n，独立且都服从正态分布，所以 Y1+Yn 服从正态分布，E(Y1+Yn)=0
