1、考研数学（数学一）模拟试卷 498 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 Zf(x ，y)在点 O(0， 0)的某邻域内有定义，向量 与 表示相应的方向导数 存在的（A）充分条件而非必要条件（B）必要条件而非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件2 设 ，则 （A）2（B） 4（C） 6（D）83 设 y(x)是初值问题 的解，则 （A）一 1 一 b2a （B）一 1b 一 2a（C）一 1 一 b 一 2a（D）一 1b2a 4 空间 n 个点 Pi(xi，y i，z i)，i1，2，n，n4 矩阵的秩记为 r，则 n 个点共面的充
2、分必要条件是（A）r1（B） r2（C） r3（D）1r35 设 E 是 n 阶单位阵EA 是 n 阶可逆阵，则下列关系式中不恒成立的是（A）(EA)(EA) 2(EA) 2(EA)（B） (EA)(EA) T(EA) T(EA)（C） (EA)(EA) 1 (EA) 1 (EA)（D）(EA)(EA) *(EA) *(EA)6 设 A则（A）AB，CD（B） AD，BC（C） AC ， BD（D）A，B，C，D 中没有相似矩阵7 设 X 为非负的连续型随机变量且期望存在，对任意 t 0，下列正确的是8 网球男子单打决赛由纳达尔与费德勒进行比赛，比赛采用 7 局 4 胜制，假设每局比赛相互独立
3、按照以往的胜率统计每局比赛纳达尔战胜费德勒的概率为 06，则纳达尔以 4：2 战胜费德勒的概率为（A）1506 404 2（B） 1006 304 2（C） 1506 304 2（D）1006 404 2二、填空题9 反常积分 _.10 空间曲线 在 xOy 平面上的投影在 x0 处围成的区域记为D，则 _.11 微分方程 满足初始条件 的特解为y_.12 _.13 直线 相交于一点，则a_.14 独立重复试验中事件 A 发生的概率为 1/3，若随机变量 x 表示事件 A 第一次发生时前面已经发生的试验次数，则 EX_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设当 x一 1，1时
4、 f(x)连续，F(x) |x 一 t|f(t)dt，x一 1，115 若 f(x)为偶函数，证明：F(x)也是偶函数；16 若 f(x)0(1x1)，证明：曲线 yF(x)在区间一 1，1上是凹的17 设 0xy，a 0，b 0证明：17 设 an ，n1，2，18 证明：a n 1a n(n1)，且19 求幂级数 的收敛半径、收敛区间及收敛域20 设 f(x)具有一阶连续导数，f(0) 0，且表达式 xy(1y)一 f(x)ydxf(x)x 2ydy 为某可微函数 u(x，y) 的全微分求 f(x)及 u(x，y) 21 设平面区域 D 用极坐标表示为 D=求二重积分21 回答下列问题22
5、 设 A 是 n 阶方阵，AO 是否是 A2O 的充分必要条件，说明理由；23 设 A 是 2 阶方阵，证明 A3O 的充分必要条件是 A2O23 回答下列问题24 A 是竹阶实对称阵 1， 2， n 是 A 的特征值， 1， 2， n 是 A 的分别对应于 1， 2， n 的标准正交特征向量证明：A 可表示成 n 个秩为 1 的实对称矩阵的和；25 设 A ，将 A 表示成三个秩为 1 的实对称阵的和26 设随机变量 X 的概率分布为 PX1一 PX 一 2 ，在给定 Xi(i1，2)的条件下，随机变量 Y 服从均匀分布 U(0，i)求随机变量 ZXY 的分布函数26 设总体 X 的概率密度
6、 f(x) (一 x )，其中 为未知参数27 若总体 X 有以下样本值：1 000，1 100，l 200，求 的矩估计值；28 若总体 X 有以下样本值：1 000，1 100，1 200 ，求 的最大似然估计值；29 若总体 X 有以下样本值：1 000，1 100，则 的最大似然估计值唯一吗?考研数学（数学一）模拟试卷 498 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B2 【正确答案】 C3 【正确答案】 C4 【正确答案】 D5 【正确答案】 B6 【正确答案】 B7 【正确答案】 C8 【正确答案】 D二、填空题9 【正确答案】 l
7、n(322)【试题解析】 将|2xx 2|去掉绝对值符号，写成分段表达式为因此积分 的上限 x0 是瑕点，则积分的下限 x0 和上限 x2 是瑕点，10 【正确答案】 160 256【试题解析】 由 两式相减，得 x2y 2-8z0，即 z于是得投影曲线方程为 4,化简即得(x2y 2)232(x 2 一 y2)化成极坐标，上述方程成为 r232cos 2则11 【正确答案】 2xtan(x2)【试题解析】 由全微分知 原微分方程可写成令 u，上式化成 du 分离变量 dx，两边积分 arctan xC 以 x2，y0，u0 代入上式，得C2，于是得 yux2xtan(x2)12 【正确答案】
8、 e -1【试题解析】 13 【正确答案】 0【试题解析】 将直线 L1 的标准方程(点向式方程)改为交面式方程L1 和 L2 相交于一点四个平面交于一点方程组 有唯一解r(A)r(A|b) 3对(A|b)作初等行变换，得故 a0 时，方程组有唯一解，两直线交于一点14 【正确答案】 2【试题解析】 法一 X 的所有可能取值为 0，1，2， ，其概率分布为 PXk)，k 0，1，2， ，由期望的定义有 EX法二 若记Y 为“A 第一次发生时的试验次数”，则 Y 服从参数为 的几何分布，又随机变量XY1，则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 因 x一 1，1 时
9、，f(x)为连续的偶函数，则所以 F(x)也是偶函数16 【正确答案】 F(x) f(x)f(x)2f(x)0所以曲线 yF(x)在区间 一 1，1上是凹的.17 【正确答案】 若 ab ，则欲证之式成为当 0xy 时， 此式显然是正确的若 a b，将欲证的不等式两边同时提出因子 a，于是成为要证即要去证明：当 0xy 时，令 即要去证明：在区间(0，)上 f(x)为严格单调减函数采用求导的方法，有 f(x) 所以 f(x)在区间(0 ，) 上严格单调减少类似地可证 ab 的情形怎么个类似法，要请读者完成啦!18 【正确答案】 因为 ，0tan x1，且仅在 x0 与 x 两处等号成立，所以
10、又且 ana n2 ，所以 2ana na n2 ，从而 因 2an2 ana n2 ，从而 ,于是 ,得证19 【正确答案】 由() 有 ，所以 发散又ana n2 ，并由已证 ，可知 所以由莱布尼茨定理知 收敛，所以 条件收敛从而知幂级数 的收敛半径为 Rl，收敛区间为(-1，1)，收敛域为一 1，1)20 【正确答案】 由题设知存在可微函数 u(x，y)，使 du(x，y)xy(1y) 一 f(x)ydxf(x)x 2ydy，于是知 又因 f(x)具有一阶连续导数，故 连续且相等，于是有即 f(x)f(x)x，此为一阶线性微分方程，结合条件 f(0)0 解得 f(x)x 一 1e -x所
11、以 du(x，y)xy(1y)一 y(x 一 1e -x)dx(x 1e -xx 2y)dy(xy 2yye -x)dx(x1 e-xx 2y)dy由 du(x，y)的表达式求 u(x，y)有多种方法法一 凑原函数法此方法有技巧性，要求读者对用微分形式不变性求微分相当熟练所以(C 为任意常数).法二 偏积分法由 du(x，y)的表达式知 所以其中 (y)对 y 可微由题设知 于是有 则(y)一 1，即 (y) yC(C 为任意常数)所以(C 为任意常数)法三 用第二型曲线积分求原函数由所给的 du(x，y) 知，它的 中的 P(x，y)与 Q(x，y)在全平面具有连续的一阶偏导数且 故可以用第
12、二型曲线积分，取起点为(0，0)较方便，计算 由于此曲线积分与路径无关，取折线(0，0)(0，y)(x ，y)，于是所以 u（x,y）1/2 x2y2xyye -x 一 yC(C 为任意常数)21 【正确答案】 如图所示，区域 D 为阴影部分，为清楚起见， 4 个圆只画出有关的 4 个半圆D 关于直线 yx 对称，交点 A，B，C 的极坐标分别为22 【正确答案】 因 AO，则 A2O，故 AO 是 A2O 的充分条件由反例：A O，但 A2 O，知 AO 不是 A2O 的必要条件23 【正确答案】 因 A2O，则 A3O，故 A2O 是 A3O 的充分条件现证A3OA 2O 因 A3O，故|
13、A 3|一|A| 30，即|A|0，则 A 是不可逆矩阵故r(A)2，即 r(A)O 或，r(A) 1当 r(A)0 时， A30A 20；当 r(A)1 时，AO，A 的两列成比例设 A (1，k)0，A 2其中 0，若0 已证 A2O 由 A3A 2AAA 2A 2O，0，得证 A2O.故当 A 是 2 阶方阵时，A 2O A3O24 【正确答案】 令 Q( 1， 2， 1)，则 Q 是标准正交矩阵且其中故 A 可表示成 n 个秩为 1 的实对称阵的和25 【正确答案】 |E 一 A| 故 A 有特征值 1一 4， 22， 35当 一 4 时，一 4E 一 A当 2 时，2E A当 5 时
14、，5E A故 A26 【正确答案】 Fz(z)PZz)PXYz PX1PXYz|XIPX2PXYz|X2 Px 一 1PYz|X1Px2PY |X227 【正确答案】 EX ，由 EX 得 的矩估计值 1 10028 【正确答案】 对于总体的样本值 l 000，1 100， 1 200，似然函数 L()由于 f()|1 000-|1 100-|1 200 一 |在 1 100时取得最小值，则 L()取得最大值，即 的最大似然估计值 1 10029 【正确答案】 对于总体的样本值 1 000，1 100，似然函数 L()由于 f()|l 000 一 |1 100 一 |在 1 000，1 100时取得最小值，L()取得最大值，即 的最大似然估计值不唯一
