1、考研数学（数学三）模拟试卷 334 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 3 4 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则1， A(1+2)线性无关的充分必要条件是（A） 10（B） 20（C） 1=0（D） 2=05 设 其中 f(x)为连续踊数，则 等于( )（A）a 2 （B） a2f(a) （C） 0 （D）不存在6 下列说法中正确的是( )（A）若 z=f(x，y)在 M0 点任一方向的方向导数都存在，则 z 在该点存在偏导数（B）若 z=f(x，y)在 M0 点可微，则它在 M0 点的一阶偏导数连续
2、（C）若 z=f(x，y)在 M0 点存在二阶偏导数，则它在 M0 处的一阶偏导数连续（D）若 z=f(x，y)在 M0 点不连续，则它在 M0 点不可微7 设 A 为反对称矩阵，且A0，B 可逆，A、B 为同阶方阵，A 为 A 的伴随矩阵，则A TA(BT)-1=( )（A）（B）（C）（D）8 二、填空题9 10 11 设当 x0 时，(1-cosx)ln(1+x 2)是比 xsinxn 高阶的无穷小，而 xsinxn 是比 ex2-1 高阶的无穷小，则正整数 n 等于12 设 a=(1，0，-1) T，矩阵 A=aaT，n 为正整数，则 aE-An=_13 微分方程 y+y=-2x 的通
3、解为_14 设 则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 17 18 19 20 21 求下列幂级数的收敛域：22 设 f(x)在a，b上连续，在(a，6) 内二阶可导，f(a)=f(b)=0， ab)dx=0证明： ()存在 i(a，b)，使得 f(i)=f(i)(i=1，2)； ()存在 (a，b)，使得 f()=f()23 考研数学（数学三）模拟试卷 334 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 2 【正确答案】 D【试题解析】 3 【正确答案】 A【试题解析】 4 【正确答案】 D【试题解析】 按
4、特征值和特征向量的定义，有 A(1+2)=A1+A2=11+22 1， A(1+2)线性无关 k11+k2A(1+2)=0，k 1，k 2 恒为 0 (k1+1k2)1+2k22=0，k 1，k 2 恒为 0 由于不同特征值的特征向量线性无关，所以口1， 2 线性无关【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 解法一 故应选B。解法二 解法三取 f(x)=2，则显然 A、C、D 均不正确，故应选 B【知识模块】 定积分的计算及其应用6 【正确答案】 D【试题解析】 设 f(x，y)= ，则 f(x，y)在点(0，0)处的任一一方向的方向导数 但由于f(0，0)不存在，故 A 错设则
5、其在点(0，0)可微，但在点(0，0)不连续，故 B 不正确由于二元函数在某点处存在偏导数与函数在该点处是否连续之间没关系，所以二阶偏导数存在与一一阶偏导数在该点处是否连续无关，故 C 不对事实上，若 z=f(x，y)在 M0 点可微，则它在 M0 点必连续，故 D 对【知识模块】 多元函数的微分与应用7 【正确答案】 C【试题解析】 A TA(B-1)-1=(B-1)T-1 一 A-1 一(A T)-1【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 C二、填空题9 【正确答案】 -1/310 【正确答案】 1，1，1.11 【正确答案】 2【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 a 2(a-2n
6、)【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 c 1cosx+c2sinx-2x【试题解析】 特征方程 2+1=0，=i ，于是齐次方程通解为 设特解为 y*=Ax，代入方程得 y*=-2x，所以 y=c1cosx+c2sinx-2x【知识模块】 二阶常系数微分方程的解法14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 导数与微分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 【知识模块】 综合22 【正确答案】 () 令 F(x)=axf(t)dt，F(a)=F(b)=0， 由罗尔定理，存在 c(a，b)，使得 F(c)=0，即 f(c)=0 令 h(x)=e-x(x)，则 h(a)=h(c)=h(b)=0， 由罗尔定理，存在1(a， c)， 1(c，b) ，使得 h(1)=h(2)=0， 而 h(x)=e-xf(x)-f(x)且 e-x0，所以 f(x)=f(i)(i=1，2) ()令 H(x)=exf(x)-f(x)，H (x)=exf(x)-f(x) H( 1)=H(2)=0，由罗尔定理，存在 (1， 2)(a，b)，使得H()=0， 注意到 ex0，所以 f()=f()23 【正确答案】
