1、考研数学（数学三）模拟试卷 364 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)是( 一，+)上连续的偶函数，且f(x)M 当 x(一，+)时成立，则F(x)= 是(一，+) 上的（A）无界偶函数（B）有界偶函数（C）无界奇函数（D）有界奇函数2 设 f(x)=minsinx，cosx，则 f(x)在区间0，2内（A）没有不可导的点（B）只有 1 个不可导的点（C）共有 2 个不可导的点（D）共有 3 个不可导的点3 若方程 y“+py+qy=0 的一切解都是 x 的周期函数，则一定有（A）p0，q=0（B） p=0，q0（C） p0，q=0 （D
2、）p=0，q04 设 f(x)在 一 ，有定义，且 f(0)=f(0)=0，f“(0)=a 0，又 收敛，则 p 的取值范围是5 设 A 是 mn 矩阵，则下列 4 个命题若 r(A)=m，则非齐次线性方程组 Ax=b 必有解；若 r(A)=m，则齐次方程组 Ax=0 只有零解；若 r(A)=n，则非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解；若 r(A)=n，则齐次方程组 Ax=0 只有零解中正确的是（A） （B） （C） （D） 6 下列矩阵 中两两相似的是（A）A 3，A 4（B） A1，A 2（C） A1，A 3（D）A 2，A 37 设 XN(0 ，1) ，X 1，X 2，X 7 是取自 X
3、 的简单随机样本 服从 t(n)分布，则 (c，n) 为8 设 X1，X 2，X n 是取自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，其样本均值和方差分别为 ，则服从自由度为 n 的 2 分布的随机变量是二、填空题9 =_10 设 f(x)是单调减函数，满足 f(0)=1若 F(x)是 f(x)的一个原函数，G(x)是 的一个原函数，且 F(x)G(x)=一 1，则 f(x)=_11 微分方程 2x3y=y(2x2 一 y2)的通解为_12 一阶常系数差分方程 yt+1 一 4yt=16(t+1)4t 满足初值 y0=3 的特解是yt=_13 已知三元二次型 xTAx=x12+ax22+x32+2
4、x1x2+2ax1x3+2x2x3 的秩为 2，则其规范形为_14 设随机变量 X 取非负整数值的概率为 PX=n=an，则 EX=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 从抛物线 y=x2 一 1 的任意一点 P(t，t 21)引抛物线 y=x2 的两条切线， (I)求这两条切线的切线方程； (II)证明该两条切线与抛物线 y=x2 所围面积为常数16 证明下列命题： (I)设 f(x0)=0，f“(x 0)0，则存在 0 使得 y=f(x)在(x 0 一，x 0单调减少，在x 0，x 0+)单调增加； ()设 f(x)在0，1连续，在(0，1)二阶可导且 f(0)=f(1
5、)=0，f“(x)0(x (0，1)，则 f(x) 0(x(0，1)17 计算二重积分 ，其中 D 为 x2+y2=1，x 2+y2=2x 所围中间一块区域18 设幂级数 的系数a n满足 a0=2，na n=an-1+n 一 1，n=1，2，3，求此幂级数的和函数 S(x)，其中 x(一 1，1) 19 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，试证：对任意正数a，b，在(0，1)内存在不同的两点 ，使 =a+b20 已知 1=(1，3，5，一 1)T， 2=(2，7，a，4) T， 3=(5，17，一 1，7) T， (I)若1， 2， 3 线性相关
6、，求 a 的值； ()当 a=3 时，求与 1， 2， 3 都正交的非零向量 4； ()当 a=3 时，证明 1， 2， 3， 4 可表示任一个 4 维列向量21 已知 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的 3 维列向量，满足 A1=一 1 一3233，A 2=41+42+3，A 3=一 21+33 (I)求矩阵 A 的特征值； ()求矩阵A 的特征向量； () 求矩阵 A*一 6E 的秩22 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，方差 DX=4，而随机变量 Y 的密度函数为2f(一 2y)，且 X 与 Y 的相关系数 ，记 Z=X+2Y(I)求 EZ，DZ。()用切比雪夫不等
7、式估计概率 PZ4 23 设总体 X 的概率密度为 其中 a，b(b0)都是未知参数，又 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，试求 a 与 b 的最大似然估计量考研数学（数学三）模拟试卷 364 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 2 【正确答案】 C【试题解析】 在0，2上，画出 y=sinx 与 y=cosx 的图形，立即可得 y=f(x)的图形由图形直接看出，两个交点为 y=f(x)图形的尖点，因而是不可导点，其他均为可导点应选(C) 3 【正确答案】 B【试题解析】 这是二阶常系数齐次线性方程，其通
8、解形式由特征方程 r2+Pr+q=0的特征根4 【正确答案】 B【试题解析】 5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 是 mn 矩阵，若 r(A)=m，说明 A 的行向量组线性无关，那么它的延伸组必线性无关所以必有 从而 ，故线性方程组Ax=b 必有解，正确下面只需判断或 正确即可 若 r(A)=n，说明 A 的列向量组线性无关，亦即 Ax=0 只有零解，所以正确，故应选(B) 当 r(A)=m 时，必有 nm如果 m=n，则 Ax=0 只有零解，而 mn 时，Ax=0 必有非零解，所以不正确 当 r(A)=n 时， r(A)有可能是 n+1，方程组 Ax=b 可以无解所以不正确，你能举例
9、说明吗?6 【正确答案】 C【试题解析】 判断相似应当用相似的必要条件作第一轮判别相似的必要条件是：特征值一样，秩相等， A 3，A 4 虽特征值一样，但秩不相等，所以不相似A 1与 A2 或 A2 与 A3 虽秩相等但特征值不一样，因此不相似用排除法知应选(C) 实际上，A 1，A 3 的特征值都是 3，0，0，且 r(0E 一 A1)=1，r(OEA 3)=1，则 n一 r(OEA1)=31=2， n 一 r(0EA3)=3 一 1=2，说明齐次方程组(0EA 1)x=0 与(0EA3)x=0 都有两个线性无关的解，即对应于 =0，矩阵 A1 和 A3 都有 2 个线性无关的特征向量，所以
10、矩阵 A1 和 A3 都与对角矩阵 相似，从而 A1 与A3 相似7 【正确答案】 B【试题解析】 由于 XiN(0，1)且相互独立，故8 【正确答案】 D【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 e -x【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 (2t 2+2t+3)4t【试题解析】 应设特解为 yt=(At2+Bt+C)4t，其中 A，B，C 为待定常数令 t=0 可得 y0=C，利用初值 y0=3 即可确定常数 C=3于是待求特解为 yt=(At2+Bt+3)4t 把 yt+1=A(t+1)2+B(t+1)+34t+1=4At2
11、+(2A+B)t+A+B+34t 与 yt 代入方程可得 y t+1 一4yt=4(2At+A+B)4t， 由此可见待定常数 A 与 B 应满足恒等式 4(2At+A+B)16(t+1)A=B=2 故特解为 yt=(2t2+2t+3)4t13 【正确答案】 y 12-y32【试题解析】 14 【正确答案】 2【试题解析】 先求出 a 的值再求 EX三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (I) 抛物线 y=x2 在点(x 0，x 02)处的切线方程为 y=x 02+2x0(x 一 x0)，即 y=2x0x 一 x02若它通过点 P，则 t 2 一 1=2x0tx02，即 x02 一 2x0t+t2 一 1=0，解得 x0 的两个解 x 1=t 一 1， x2=t+1 从而求得从抛物线 y=x21 的任意一点P(t，t 2 一 1)引抛物线 y=x2 的两条切线的方程是 L 1：y=2x 1x 一 x12； L 2：y=2x 2x 一x22( ) 这两条切线与抛物线)y=x 2 所围图形的面积为16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 (I)()()21 【正确答案】 (I)()()22 【正确答案】 (I)()由切比雪夫不等式23 【正确答案】
